Tính thể tích khối nhiều diện là dạng toán quan trọng nhất ngơi nghỉ chương này, để hoàn toàn có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp những kiến thức hình học không gian đã được học cùng ghi nhớ được những công thức tính thể tích các khối đa diện thân thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được vận dụng để tính khoảng tầm cách với chứng minh hệ thức.

Bạn đang xem: Bài 3 toán hình 12


1. đoạn phim bài giảng

2. Bắt tắt lý thuyết

2.1. Tính chất của thể tích khối đa diện

2.2. Thể tích khối vỏ hộp chữ nhật

2.3. Thể tích khối chóp

2.4. Thể tích khối lăng trụ

3. Bài bác tập minh hoạ

4. Rèn luyện bài 3 hình học tập 12

4.1 Trắc nghiệm về tính chất thể tích khối đa diện

4.2 bài tập SGK và cải thiện về thể tích khối nhiều diện

5. Hỏi đáp về tính chất tính thể tích khối nhiều diện


Hai khối đa diện đều nhau thì có thể tích bằng nhau.Nếu 1 khối nhiều diện được phân tạo thành các khối nhiều diện bé dại thì thể tích của nó bằng tổng thể và toàn diện tích của các khối đa diện nhỏ.Khối lập phương gồm cạnh bằng 1 thì có thể tích bởi 1.

Giả sử có 1 khối hộp chữ nhật cùng với 3 kích cỡ a, b, c rất nhiều là đều số dương. Khi ấy thể tích của nó là:(V=a.b.c).

*


Thể tích của 1 khối chóp bắng một trong những phần ba tích số của dưới đáy và độ cao khối chóp đó:(V=frac13S_day.h.)

*

(V_S.ABCD=frac13S_ABC.SH)

Công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác:

*

Trên những đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta rước lần lượt các điểm

*
. Ta có:
*
.


Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích dưới mặt đáy với độ cao của khối lăng trụ đó:(V=S_day.h.)

*

(V_ABC.A"B"C"=S_ABC.C"H)


1. Tính thể tích khối chóp

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABC bao gồm tam giác ABC vuông trên B, (AB=a sqrt 2, AC=a sqrt 3), sát bên SA vuông góc với phương diện phẳng đáy và (SB=a sqrt 3.)Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Tam giác ABC vuông trên B yêu cầu (BC = sqrt AC^2 - AB^2 = a.)

Suy ra:( mS_Delta mABC = frac12BA.BC = frac12.asqrt 2 .a = fraca^2.sqrt 2 2)

Tam giác SAB vuông trên A bao gồm (SA = sqrt SB^2 - AB^2 = a.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: (V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.fraca^2.sqrt 2 2.a = fraca^3.sqrt 2 6.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh (asqrt2), ở kề bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và (SC=a sqrt5). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

*

Diện tích ABCD: ( mS_ mABCD = left( asqrt 2 ight)^2 = 2a^2.)

Ta có: (AC = AB.sqrt 2 = asqrt 2 .sqrt 2 = 2a.)

Tam giác SAC vuông trên A nên: (SA = sqrt SC^2 - AC^2 = a).

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: (V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA = frac13.2a^2.a = frac2a^33.)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp tam giác đa số S.ABC gồm cạnh đáy bởi (asqrt3), ở bên cạnh bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC.

O là trọng tâm tam giác ABC suy ra (SO ot (ABC).)

Tam giác ABC phần đa cạnh (asqrt3)suy ra:

(AM=asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a2.)

( mAO = frac m2 m3.AM = frac23.frac3a2 = a).

( mS_Delta mABC = frac12AB.AC.sin 60^0 = frac12.asqrt 3 .asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a^2.sqrt 3 4).

Tam giác SAO vuông trên A cần ta có(SO = sqrt SA^2 - AO^2 = a.sqrt 3.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.frac3a^2sqrt 3 4.a = fraca^3.sqrt 3 4.)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh a, bên cạnh SA vuông góc với phương diện phẳng đáy cùng SC sinh sản với mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

*

(SA ot (ABCD))nên AC là hình chiếu của SC lên phương diện mặt phẳng (ABCD).

Do đó: (widehat (SC,(ABCD)) = widehat (SC,AC) = widehat SCA = 60^o.)

Diện tích đáy là: ( mS_ mABCD = a^2.)

Tam giác SAC vuông tại A gồm (AC=a sqrt2, widehat SCA = 60^0 Rightarrow SA = AC. an 60^o = asqrt 6.)

Vậy thể tích khối chóp là: (V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA = frac13.a^2.asqrt 6 = fraca^3.sqrt 6 3.)

Ví dụ 5:

Cho hình chóp S.ABC tất cả đáy ABC là tam giác vuông cân nặng tại A, cạnh (BC=asqrt2,)cạnh mặt SA vuông góc với phương diện phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo thành với mặt đáy (ABC) một góc bởi 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC ta có: (AM ot BC).

Mặt khác: (SA ot BC)do (SA ot left( ABC ight).)

Nên: (BC ot (SAM) Rightarrow SM ot BC.)

Suy ra: (widehat ((SBC),(ABC)) = widehat (SM,AM) = widehat SMA = 45^o).

Tam giác ABC vuông cận tại A bao gồm (BC=asqrt2)suy ra:

(AB = BC = a)và (AM = fracasqrt 2 2)(Rightarrow mS_Delta mABC = frac12AB.AC = frac12.a.a = fraca^22)

Tam giác SAM vuông trên A có(AM = fracasqrt 2 2)và(widehat SMA = 45^o)

Suy ra: (SA = AB. an 45^o = fracasqrt 2 2.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.fraca^22.fracasqrt 2 2 = fraca^3.sqrt 2 12).

2. Thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 6:

Cho lăng trụ đứng ABC.A"B"C"có đáy ABC là tam giác vuông trên B, AB=a, (AC=asqrt3), cạnh A"B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

*

Tam giác ABC vuông trên B bắt buộc (BC=sqrt AC^2 - AB^2 = asqrt 2.)

Suy ra: (S_ABC = frac12AB.BC = fraca^2sqrt 2 2.)

Tam giác A"AB vuông tại A nên: (A"A = sqrt A"B^2 - AB^2 = asqrt 3 .)

Vậy thể tích khối lăng trụ là: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = fraca^3sqrt 6 2.)

Ví dụ 7:

Cho lăng trụ ABC.A"B"C"có lòng ABC là tam giác đa số cạnh (2asqrt3), hình chiếu vuông góc của A"lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A"A phù hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC.

G là giữa trung tâm tam giác ABC suy ra: (A"G ot (ABC)).

Do kia AG là hình chiếu vuông góc của AA" lên khía cạnh phẳng (ABC).

Suy ra: (left( widehat A^/A,(ABC) ight) = widehat A^/AG = 30^0.)

Tam giác ABC số đông cạnh (2asqrt3)nên: (S_ABC = left( 2asqrt 3 ight)^2.fracsqrt 3 4 = 3a^2sqrt 3.)

Tam giác A"AG vuông tại G tất cả (widehat A = 30^0,AG = frac23AM = frac23.2asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = 2a.)

Suy ra: (A"G = AG. an 30^0 = frac2asqrt 3 3.)

Vậy: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = 6a^3.)

3. Phương pháp tính tỷ số thể tích

Ví dụ 8:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC hầu như cạnh 2a, bên cạnh SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy cùng (SA=asqrt3.)Gọi M, N theo lần lượt là trung điểm của SB với SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.

Lời giải:

*

Khối chóp S.AMN cùng S.ABC gồm chung đỉnh S cùng góc sinh sống đỉnh S.

Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:

(fracV_S.AMNV_S.ABC = frac mSA mSA.fracSMSB.fracSNSC = 1.frac12.frac12 = frac14)

Suy ra:(V_S.AMN = fracV_S.ABC4 = fracfrac13.a^2sqrt 3 .asqrt 3 4 = fraca^34)

Và:(V_A.BCNM = frac34.V_S.ABC = frac3a4^3.)

Ví dụ 9:

Cho hình chóp(S.ABCD)có đáy(ABCD)là hình bình hành, M với N theo trang bị tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích(fracV_S.CDMNV_S.CDAB).

Lời giải:

*

Ta có:

(V_S.MNCD = V_S.MCD + V_S.MNC)và(V_S.ABCD = V_S.ACD + V_S.ABC).

Xem thêm: Giải Toán Hình 12 Bài 1 : Khái Niệm Về Khối Đa Diện, Hình Học 12 Bài 1: Khái Niệm Về Khối Đa Diện

Khi đó:(fracV_S.MCDV_S.ACD = fracSMSA = frac12 Leftrightarrow V_S.MCD = frac14V_S.ABCD)

Mặt khác:(fracV_S.MNCV_S.ABC = fracSMSA.fracSNSB = frac14 Rightarrow V_S.MNC = frac18V_S.ABCD)

Từ trên suy ra(V_S.MNCD = left( frac14 + frac18 ight)V_S.ABCD = frac38V_S.ABCD).