Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải

Đường trực tiếp vuông góc với mặt phẳng

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng d được hotline là vuông góc với mặt phẳng (α) giả dụ d vuông góc với mọi đường thẳng phía trong (α).

Bạn đang xem: Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải

Khi kia ta còn nói (α) vuông góc với d với kí hiệu d

(α) hoặc (α) d.

II. ĐIỂU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau bên trong mặt phẳng (α) thì d vuông góc với (α).

III. TÍNH CHẤT

1. Gồm duy duy nhất một phương diện phẳng đi sang 1 điểm đến trước và vuông góc với một con đường thẳng mang đến trước.

2. Có tuyệt nhất một con đường thẳng đi qua 1 điểm mang lại trước cùng vuông góc cùng với một phương diện phẳng mang đến trước.

IV. SỰ LIÊN quan lại GIỮA quan tiền HỆ VUÔNG GÓC VÀ quan liêu HỆ song SONG

1. a) Cho hai tuyến đường thẳng tuy vậy song. Phương diện phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) hai tuyến phố thẳng biệt lập cùng vuông góc với một khía cạnh phẳng thì tuy vậy song cùng với nhau.

2. a) cho hai phương diện phẳng tuy nhiên song. Đường thẳng làm sao vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) nhị mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì tuy nhiên song cùng với nhau.

3. a) mang lại đường thẳng a cùng mặt phẳng (α) tuy nhiên song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc cùng với (α) thì cũng vuông góc với

b) nếu như một đường thẳng cùng một mặt phẳng (không cất đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng không giống thì chúng tuy vậy song cùng với nhau.

V. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ tía ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa. Mang lại đường thẳng d vuông góc với phương diện phẳng (α). Phép chiếu tuy vậy song theo phương d lên mặt phẳng (α) được hotline là phép chiếu vuông góc lên khía cạnh phẳng (α).

2. Định lí ba đường vuông góc. Mang lại đường trực tiếp a phía bên trong mặt phẳng (α) với b là mặt đường thẳng ko thuộc (α) mặt khác không vuông góc với (α). điện thoại tư vấn b’ là hình chiếu vuông góc của b bên trên (α). Lúc đó a vuông góc cùng với b khi còn chỉ khi a vuông góc với b’

3. Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng

Cho con đường thẳng d và mặt phẳng (α). Ta tất cả định nghĩa :

Nếu mặt đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) bằng 90°.Nếu mặt đường thẳng d ko vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d với hình chiếu d’ của chính nó trên (à) được điện thoại tư vấn là góc giữa con đường thẳng d cùng mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳng ko vượt vượt 90°.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Chứng minh đưòng trực tiếp vuông góc với khía cạnh phẳng

1. Phương pháp giải

Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với phương diện phẳng (α) tín đồ ta hay sử dụng một trong nhị cách sau đây :

Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng giảm nhau nằm trong (α).Chứng minh con đường thẳng a song song với đường thẳng b mà lại b vuông góc với (α).

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình vuông ABCD tâm O và gồm cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Hotline H, I vầK theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.

a) minh chứng BC

(SAB), CD (SAD) và BD (SAC).

b) chứng minh SC 

(ẠHK) với điểm I trực thuộc (AHK).

c) chứng minh HK

(SAC), từ kia suy ra HK AI.

Giải

a) BC 

AB vị đáy ABCD là hình vuông (h.3.24)

BC 

SA vì SA (ABCD) và BC thuộc (ABCD).

Do kia BC

(SAB) bởi vì BC vuông góc với hai tuyến đường thẳng cắt nhau trong (SAB).

Lập luận tương tự như ta tất cả CD

AD và CD SA nên CD (SAD).

Ta bao gồm BD

AC vày đáy ABCD là hình vuông vắn và BD SA nên BD (SAC). 

b) BC

(SAB) mà AH ⊂ (,SAB) cần BC AH và theo giả thiết SB AH ta suy ra AH (SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) yêu cầu AH 

SC.

Lập luận tựa như ta chứng minh được AK

SC. Hai tuyến phố thẳng AH, AK cắt nhau và cùng vuông góc cùng với SC cần chúng phía bên trong mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc cùng với SC. Vậy SC (AHK). Ta bao gồm AI ⊂ (.AHK) do nó trải qua điểm A và cùng vuông góc với SC.

Hai tam giác vuông SAB với SAD đều nhau vì chúng tất cả cạnh SA tầm thường và AB AD (c.g.c). Cho nên vì vậy SB = SD, SH = SK đề xuất HK // BD.

Vì BD

(SAC) yêu cầu HK (SAC) và vày AI c= (SAC) đề xuất HK AI.

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD trung ương O và gồm SA = SC, SB = SD.

a) chứng minh so vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b) điện thoại tư vấn I, K theo thứ tự là trung điểm của những cạnh BA, BC.

Chứng minh rằng IK

(SBD) cùng IK SD.

Giải

a) O là trọng điểm hình thoi ABCD đề xuất O là trung điểm của đoạn AC (h.3.25). Tam giác SAC tất cả SA = SC nên so

ÁC. Chứng minh giống như ta bao gồm SO BD. Từ đó ta suy ra SO (ABCD).

b) bởi đáy ABCD là hình thoi cần AC

BD

Mặt không giống ta tất cả AC

SO. Cho nên AC (SBD). Ta tất cả IK là mặt đường trung bình của tam giác BAC cần IK // AC mà AC (SBD) đề xuất IK (SBD).

Ta lại sở hữu SD bên trong mặt phẳng (SBD) cần IK

SD.

Vấn đề 2

Chứng minh hai tuyến phố thẳng vuông góc cùng với nhau bằng cách chứng minh mặt đường thẳng nàỵ vuông góc với khía cạnh phẳng cất đường trực tiếp kia

1. Cách thức giảiMuốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt đường thẳng b, ta tìm mặt phẳng (β) cất đường trực tiếp b sao để cho việc chứng tỏ a (β) dễ dàng thực hiện.Sử dụng định lí bố đường vuông góc.2. Ví dụ

Ví dụ 1. mang đến tứ diện đầy đủ ABCD. Minh chứng các cặp cạnh đối lập của tứ diện này vuông góc cùng nhau từng song một.

Giải

Giả sử ta cần chứng tỏ AB

CD.

Gọi I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta bao gồm :

Do kia AB

CD bởi vì CD phía trong mặt phẳng (CID).

Bằng lập luận tương tự ta minh chứng được BC

AD cùng AC BD.

Ví dụ 2. đến tứ diện OABC có bố cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc cùng với nhau. Kẻ OH vuông góc với khía cạnh phẳng (ABC) trên H. Chứng minh :

a) OA 

BC, OB  CA với OC  AB

b) H là trực trung tâm của tam giác ABC;

Giải

⇒ OA 

(OBC) ⇒ OA  BC (h.3.27).

Tương từ ta chứng tỏ

OB

(OCA) ⇒ OB CA

OC

(OAB) ⇒ OC AB.b) bởi OH  (ABC) bắt buộc OH BC và OA BC

⇒ BC

(OAH) ⇒ BC AH. (1)

Chứng minh tựa như ta bao gồm AC

(OBH) ⇒ AC BH. (2)Từ (1) cùng (2) ta suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

Gọi K là giao điểm của AH với Trong tam giác AOK vuông trên O, ta có OH là con đường cao. Phụ thuộc vào hệ thức lượng vào tam giác vuông của hình học tập phẳng ta bao gồm :

Vì BC vuông góc vói phương diện phẳng (OAH) bắt buộc BC _L OK. Vì đố trong tam giác OBC vuông trên o với con đường cao OK ta gồm :

Ví dụ 3. Hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình chữ nhật ABCD cùng có ở kề bên SA vuông góc với phương diện phẳng đáy. Minh chứng các mặt mặt của hình chóp đã mang lại là các tam giác vuông.

Giải

SA

AB với SA AD (h.3.28).

Vậy những tam giác SAB và SAD là những tam giác vuông trên A.

Vậy tam giác SDC vuông trên D cùng tam giác SBC vuông trên B.

Chú thích. Muốn chứng tỏ tam giác SDC vuông trên D ta có thể áp dụng định lí ba đường vuông góc với lập luận như sau

Đường thẳng SD bao gồm hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí bố đường vuông góc do CD

AD đề nghị CD SD cùng ta bao gồm tam giác SDC vuông tại D.

Tương tự, ta chứng tỏ được CB

SB với ta tất cả tam giác SBC vuông trên B.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.16. Một đoạn trực tiếp AB không vuông góc với phương diện phẳng (α) cắt mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn thẳng đó. Những đường thẳng vuông góc cùng với (α) qua A cùng B lần lượt giảm mặt phẳng (α) trên A’ với B’.

Chứng minh bố điểm A’, O, B’ trực tiếp hàng cùng AA’ = BB’.

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.17. Cho tam giác gọi (α) là phương diện phẳng vuông góc với con đường thẳng CA trên A và (β) là khía cạnh phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (α) cùng (β) giảm nhau với giao tuyến d của bọn chúng vuông góc với phương diện phẳng (ABC).

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.18. Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. Hotline H là trực trọng tâm của tam giác ABC và hiểu được A’H vuông góc với khía cạnh phẳng (ABC). Minh chứng rằng :

a )AA’

BC và lAA’ B’C’.

b) hotline MM’ là giao con đường của phương diện phẳng (ẠHA’) cùng với mặt mặt BCC’B’ trong đó M ∈ BC cùng M’ ∈ B’C’. Minh chứng rằng tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật với MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.19. Hình chóp tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông trên A và có canh bên SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy là (ABC). Gọi D là vấn đề đối xứng của điểm B qua trung điểm o của cạnh AC. Minh chứng rằng CD

CA cùng CD (SCA).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.20. Hai tam giác cân ABC cùng DBC phía bên trong hai phương diện phẳng khác biệt có phổ biến cạnh lòng BC làm cho tứ diện call I là trung điểm của cạnh BC.

a) chứng minh BC

AD

b) call AH là đường cao của tam giác ADI

Chứng minh rằng AH vuông góc vói khía cạnh phẳng (BCD).

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

Xem thêm: Soạn Luyện Tập Vận Dụng Kết Hợp Các Thao Tác Lập Luận

3.21. Chứng minh rằng tập hợp phần lớn điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là con đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm O của con đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đó.