Bài viết trình bày tương đối đầy đủ các hệ thức lượng vào tam giác cùng một số trong những dạng toán liên quan, trong những dạng toán, bài viết hướng dẫn chi tiết cách thức giải toán, các ví dụ minh họa và bài bác tập trường đoản cú luyện đi kèm.

Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 có lời giải

A. HỆ THỨC LƯỢNG trong TAM GIÁCCho tam giác $ABC$ gồm $a$, $b$, $c$ lần lượt là độ dài tía cạnh đối lập với ba góc $A$, $B$, $C$ của tam giác.

*

1. Định lí cosin:$a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A.$$b^2 = c^2 + a^2 – 2cacos B.$$c^2 = a^2 + b^2 – 2abcos C.$2. Định lí sin:$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C = 2R$ ($R$ là bán kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$).3. Độ dài đường trung con đường của tam giác: hotline $m_a$, $m_b$, $m_c$ là độ dài những đường trung tuyến đường lần lượt vẽ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC.$$m_a^2 = fracb^2 + c^22 – fraca^24.$$m_b^2 = fracc^2 + a^22 – fracb^24.$$m_c^2 = fraca^2 + b^22 – fracc^24.$4. Những công thức tính diện tích s tam giác: gọi $R$, $r$ theo lần lượt là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp, con đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, $p$ là nửa chu vi $left( p = fraca + b + c2 ight)$ và $S$ là diện tích của tam giác.$S = frac12absin C$ $ = frac12bcsin A = frac12casin B.$$S = fracabc4R = pr.$$S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ (công thức Hê-rông).

B. CÁC DẠNG TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG vào TAM GIÁCDạng 1: Tính một số trong những yếu tố trong tam giác theo một vài yếu tố mang đến trước (trong đó có ít nhất một cạnh). Giải tam giác.Phương pháp:+ thực hiện định lí cosin với định lí sin.+ giám sát và đo lường các nhân tố trung gian (trước lúc tính yếu tố đề xuất tìm) bằng các hệ thức lượng vào tam giác say mê hợp.Chú ý: bạn đọc hãy ôn tập lại các hệ thức lượng trong tam giác vuông (đã học tập ở lớp 9).

Bài toán 1: cho tam giác $ABC$ gồm $b = 23$ $cm$, $c = 14$ $cm$, $widehat A = 100^0 .$a) Tính các cạnh và góc sót lại của tam giác.b) Tính diện tích của tam giác.c) Tính đường cao $h_a$ vẽ từ $A$ của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ = 23^2 + 14^2 – 2.23.14.cos 100^0 $ $ approx 836,83.$Do đó: $a = sqrt 836,83 approx 28.9$ ($cm$).Từ định lí cosin ta cũng có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac(28,9)^2 + 14^2 – 23^22.28,9.14 approx 0,62.$Do đó $widehat B approx 51^0 41′ .$Khi đó: $widehat C approx 180^0 – left( 100^0 + 51^0 41′ ight) = 28^0 19′ .$b) Ta có: $S = frac12absin C$ $ = frac12.28,9.23.sin 28^0 19′ approx 157,6$ $left( cm^2 ight).$c) Ta có: $h_a = bsin C$ $ = 23.sin 28^0 19′ approx 10,9$ $(cm).$

Bài toán 2: đến tam giác $ABC$ gồm $a = 12$ $cm$, $widehat B = 70^0 $, $widehat C = 35^0 .$a) Tính những cạnh và các góc còn lại của tam giác.b) Tính nửa đường kính $R$ của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác.

*

a) Ta có: $widehat A = 180^0 – (widehat B + widehat C)$ $ = 180^0 – left( 70^0 + 35^0 ight) = 75^0 .$Theo định lí sin, ta có: $fracasin A = fracbsin B = fraccsin C.$Suy ra: $left{ eginarray*20lb = fracasin Bsin A\c = fracasin Csin Aendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb = frac12.sin 70^0 sin 75^0 \c = frac12.sin 35^0 sin 75^0 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb approx 11,7cm\c approx 7,1cmendarray ight.$b) Theo định lí sin, ta có: $2R = fracasin A$ $ Rightarrow R = fraca2sin A$ $ = frac122sin 75^0 approx 6,2$ $(cm).$Nhận xét:– Ta sử dụng định lí cosin lúc biết $2$ cạnh và góc xen giữa $2$ cạnh đó.– Ta thực hiện định lí sin lúc biết:+ $1$ cạnh với góc đối lập cạnh đó.+ $1$ cạnh và $2$ góc kề với nó (lúc này ta và tính được góc đối lập cạnh đó).– việc tìm và đào bới các nhân tố của tam giác khi biết những yếu tố khác nói một cách khác là giải tam giác.

Bài toán 3: đến tam giác $ABC$ bao gồm $a = 13$ $cm$, $b = 14$ $cm$, $c = 15$ $cm.$a) Tính $hat A$, $cos B$, $ an C.$b) Tính diện tích của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có:$cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ = frac14^2 + 15^2 – 13^22.14.15 = 0,6$ $ Rightarrow widehat A approx 53^0 7′.$$cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac13^2 + 15^2 – 14^22.13.15 approx 0,5.$Ta có: $sin ^2B = 1 – cos ^2B$ $ = 1 – (0,5)^2 = 0,75 = frac34$ $ Rightarrow sin B = fracsqrt 3 2.$Do $cos B approx 0,5 Rightarrow widehat B approx 60^0 .$Từ đó: $widehat C approx 180^0 – left( 53^0 7′ + 60^0 ight) = 66^0 53’$ $ Rightarrow an C = an 66^0 53′ approx 2,34.$

Dạng 2: chứng tỏ các hệ thức tương quan tới các yếu tố trong tam giác. Phương pháp: Sử dụng những hệ thức lượng đã gồm và các tính chất, các yếu tố vào tam giác để chứng minh.

Bài toán: cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a$, $b$, $c$, những đường cao khớp ứng là $h_a$, $h_b$, $h_c.$ hội chứng minh:a) $r = (p – a) an fracA2$ $ = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) $frac1h_a + frac1h_b + frac1h_c = frac1r.$

*

Ta có: $r = IE = AE. an fracA2$ $(*).$Mặt khác: $AE + AF + BF$ $ + BD + CD + CE = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2(BD + CD) = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2a = 2p$ $ Rightarrow AE = phường – a.$Thế vào $(*)$ ta có: $r = (p – a) an fracA2.$Tương trường đoản cú ta chứng tỏ được: $r = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) phụ thuộc công thức tính diện tích tam giác: $S = frac12ah_a = frac12bh_b = frac12ch_c = pr$, ta có: $frac1h_a = fraca2S$, $frac1h_b = fracb2S$, $frac1h_c = fracc2S$, $frac1r = fracpS.$

Dạng 3: nhấn dạng tam giác.Phương pháp: Sử dụng những hệ thức lượng trong tam giác và các tính chất của những tam giác sệt biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.Chú ý:+ nếu $b^2 + c^2 = a^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A.$+ giả dụ $b = c$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A.$+ trường hợp $a = b = c$ thì tam giác $ABC$ đều.

Bài toán 1: xác minh dạng của tam giác $ABC$, biết: $S = frac14(a + b – c)left( a – b + c ight).$

Theo bí quyết Hê-rông, ta có: $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$Do đó: $sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = frac14(a + b – c)(a – b + c)$ $ Leftrightarrow sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = (p – c)(p – b)$ $ Leftrightarrow p(p – a)(p – b)(p – c)$ $ = (p – c)^2(p – b)^2$ $ Leftrightarrow p(p – a)$ $ = (p – b)(p – c)$ $ Leftrightarrow p^2 – pa$ $ = p^2 – pb – pc + bc$ $ Leftrightarrow p(b + c – a) = bc$ $ Leftrightarrow (a + b – c)(b + c – a) = 2bc$ $ Leftrightarrow (b + c)^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + 2bc + c^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2.$Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

Bài toán 2: Tam giác $ABC$ có những góc và các cạnh thoả mãn: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 .$ minh chứng tam giác $ABC$ là tam giác cân.

Ta có: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 $ $ Leftrightarrow left( frac1 + cos Bsin B ight)^2 = left( frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 ight)^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^2sin ^2B = frac(2a + c)^24a^2 – c^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^21 – cos ^2B = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow frac1 + cos B1 – cos B = frac2a + c2a – c.$Theo định lí cosin, ta có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac.$Do đó: $frac1 + cos B1 – cos B$ $ = frac1 + fraca^2 + c^2 – b^22ac1 – fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac.$Tức là: $fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac$ $ = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow 2a^3 + 2ac^2 – 2ab^2 + 4a^2c$ $ – a^2c – c^3 + b^2c – 2ac^2$ $ = 2ab^2 – 2a^3 – 2a^2 – 4a^2c$ $ + b^2c – a^2c – c^3 + 2ac^2$ $ Leftrightarrow 4a^3 – 4ab^2 = 0$ $ Leftrightarrow 4aleft( a^2 – b^2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow a^2 = b^2$ $ Leftrightarrow a = b.$Vậy tam giác $ABC$ cân nặng tại $C.$

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài toán 1: Tính những góc, các cạnh còn lại, mặt đường cao $h_a$ và bán kính đường tròn nước ngoài tiếp $R$ của tam giác $ABC$ biết:a) $a = 118cm$, $b = 92cm$, $widehat C = 58^0 .$b) $b = 31,2cm$, $widehat A = 124^0 30’$, $widehat C = 18^0 .$c) $a = 153cm$, $b = 117cm$, $c = 134cm.$

Bài toán 2: hotline $m_a$, $m_b$, $m_c$ là những trung con đường ứng với những cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$:a) Biết $a = 26cm$, $b = 18cm$, $c = 16cm.$ Tính $m_a.$b) Biết $a = 7cm$, $b = 11cm$, $m_c = 6cm.$ Tính $c.$c) Biết $a = 5cm$, $b = 7 cm$, $widehat C = 46^0 .$ Tính $m_b.$

Bài toán 3: call $I$, $J$ theo lần lượt là trung điểm của các đường chéo cánh $AC$, $BD$ của tứ giác $ABCD$, hội chứng minh:a) $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4IJ^2.$b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2.$c) xác minh công thức tính đường chéo cánh $d$ của hình thang cân nặng biết đáy bé dại là $a$, đáy phệ là $b$ và ở kề bên là $c.$

Bài toán 4: minh chứng tập những điểm nhưng mà tổng những bình phương khoảng cách đến $2$ điểm cố định $A$, $B$ đến trước bằng một trong những không thay đổi $k^2$ là một đường tròn.

Bài toán 5: cho tam giác $ABC$, bệnh minh:a) $S = fracabc4R.$b) $S = pr.$c) $sin A = frac2bcsqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$d) $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$

Bài toán 6: gọi $r_a$, $r_b$, $r_c$ thứu tự là nửa đường kính đường tròn bàng tiếp trực thuộc cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ hội chứng minh:a) $r_a = p an fracA2$ $ = fracSp – a$ $ = frac(p – b)(p – c)r.$b) $frac1r_a + frac1r_b + frac1r_c = frac1r.$c) $S = sqrt r.r_a.r_b.r_c .$d) $r = p an fracA2 an fracB2 an fracC2.$e) $r_a + r_b + r_c – r = 4R$ (công thức Stây-nơ).

Xem thêm: Khi Nói Về Quá Trình Nhân Đôi Adn, Kết Luận Nào Sau Đây Không Đúng ?

Bài toán 7: mang lại tam giác $ABC$, triệu chứng minh:a) $h_a = frac2asqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$b) $c^2 = (a – b)^2 + 4S.frac1 – cos Csin C.$c) $ asin Bsin C = h_asin A.$d) $cot A + cot B + cot C$ $ = fracRleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)abc.$

Bài toán 8: mang đến tam giác $ABC$, bệnh minh:a) nếu như $m_a = c$ thì $ an B = 3 an C.$b) trường hợp $a + c = 2b$ thì $ac = 6Rr.$

Bài toán 9: chứng minh điều kiện buộc phải và đủ để tam giác $ABC$ vuông là:a) $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$b) $ an fracB2 = fracba + c.$c) $2R + r = p.$

Bài toán 10: khẳng định dạng tam giác $ABC$, biết rằng:a) $(p – b)cot fracC2 = p an fracB2.$b) $fracsin ^2Bsin ^2C = frac an B an C.$c) $S = frac23R^2left( sin ^3A + sin ^3B + sin ^3C ight).$d) $sin ^4C + 2sin ^4A + 2sin ^4B$ $ = 2sin ^2Cleft( sin ^2A + sin ^2B ight).$

Bài toán 11: minh chứng rằng nếu $left{ eginarray*20lc = 2acos B\fraca^3 + b^3 – c^3a + b – c = c^2endarray ight.$ thì tam giác $ABC$ đều.