Số phức và các dạng toán về số phức là trong số những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng và khá khó khăn hiểu, một trong những phần nguyên nhân là chúng ta đã quá quen với số thực giữa những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Bài tập số phức 12


Vì vậy, ở bài viết này randy-rhoads-online.com sẽ hệ thống lại các dạng toán về số phức đôi khi hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài xích tập này. Trước lúc bắt tay vào giải những dạng bài bác tập số phức, chúng ta cũng yêu cầu nhớ những nội dung về lý thuyết số phức.

I. Kim chỉ nan về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập đúng theo số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bởi 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bởi 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
*

2. Màn trình diễn hình học tập của số phức

- Số phức: , (được biểu diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi 

*
 trong mặt phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- mang đến 2 số phức: , khi đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- cho 2 số phức: , lúc đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân tách số phức không giống 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- mang đến số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 bao gồm đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- mang đến phương trình bậc 2 số phức gồm dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức cho trước, A≠0).

- khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một trong những nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 trong những acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân tách số phức dưới dạng lượng giác

- đến z = r(cosφ + isinφ) với z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Phương pháp Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 gồm căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm n căn bậc n là:

 

*
*

II. Những dạng toán về Số phức và biện pháp giải

Dạng 1: những phép tính về số phức

* phương thức giải: Vận dụng những công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi đo lường các số thức rất có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng xuất xắc hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: mang đến số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân với số hạng trước tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- trường đoản cú giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả đk cho trước (giải phương trình số phức)

* cách thức giải: Vận dụng các đặc điểm của số phức, những phép biến hóa để giải quyết và xử lý bài toán.

° lấy một ví dụ 1: tìm kiếm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức đề nghị tìm là 1 + i cùng 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: xác minh phần thực phần ảo, tìm kiếm đối số, nghịch đảo module, liên hợp của số phức và màn biểu diễn hình học của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia thành nhiều loại bài bác toán tương quan tới đặc điểm của số phức.

♦ nhiều loại 1: tìm phần thực phần ảo của số phức

- biện pháp giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đang cho bao gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 cùng với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức sẽ cho có phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho tất cả phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ các loại 2: màn biểu diễn hình học tập của số phức

- biện pháp giải: thực hiện điểm M(a;b) màn biểu diễn số phức z xung quanh phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được màn trình diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là màn biểu diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức làm sao có biểu diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn trình diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ nhiều loại 3: Tính Module của số phức

- phương pháp giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ nhiều loại 4: tìm kiếm số đối của số phức

- cách giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ các loại 5: kiếm tìm số phức liên hợp của số phức z

- cách giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức phối hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z và giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- lúc đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ loại 6: tìm kiếm số phức nghịch đảo của số phức

- biện pháp giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch hòn đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm những số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- cách giải: sử dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y làm thế nào để cho z = x + yi vừa lòng z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn đk cho trước.

* phương thức giải:

♦ loại 1: Số phức z đống ý về độ lâu năm (module) khi đó ta sử dụng công thức 

♦ nhiều loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), lúc ấy ta áp dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 cùng b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập phù hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài xích ra,

 

*

- cùng với x ≠ 0 với y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) điện thoại tư vấn N là vấn đề biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy nhiên với Ox

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường thẳng qua N và tuy nhiên song với Ox, đó là đường trực tiếp y = -3.

c) điện thoại tư vấn I là vấn đề biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là con đường tròn trung khu I(1;-2) nửa đường kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh những biểu thức về số phức

* cách thức giải: Vận dụng những phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Triệu chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, trường đoản cú (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 với z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- khía cạnh khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- tự (1) với (2) tất cả VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức với phương trình bậc 2

* cách thức giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được hotline là căn bậc 2 của số phức z nếu w2 = z tốt (x + yi)2 = a + bi.

- lưu ý:

♦ khi b = 0 thì z = a, ta gồm 2 trường hợp đơn giản dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, hay x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình tất cả dạng: az2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là những số phức a≠0

- giải pháp giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình tất cả nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: hotline z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên bao gồm 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm m nhằm phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- hotline m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài xích toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta có hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình có 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình vẫn cho bao gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương thức giải: Đặt ẩn phụ và đem đến phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- dìm thấy, z=0 không hẳn nghiệm của phương trình phải chia 2 vế mang lại z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- cùng với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, lúc đó pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận thấy z=0 không phải là nghiệm của phương trình buộc phải chia 2 vế pt đến z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, khi đó pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương thức giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức quan trọng đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai số phận phức, bí quyết Euler.

- bí quyết 1: 

*

- công thức 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được call là argument của z cam kết hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ quá ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết những số phức sau dưới dạng lượng giác, từ kia hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính quý giá của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình sẽ cho gồm 2 nghiệm: 

*

- mặt khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã mang lại trở thành: 

*

 

*
 (*)

- bởi vì z=-1 chưa phải là nghiệm của phương trình cần nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình sẽ cho tất cả nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* cách thức giải: Vận dụng kiến thức và kỹ năng tìm rất trị

° ví dụ như 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z tất cả modul bé dại nhất.

Xem thêm: Lập Bảng So Sánh Cấu Tạo Và Chức Năng Trụ Não Não Trung Gian Và Tiểu Não

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vì chưng vậy các điểm M màn trình diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên phố tròn trung khu I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất khi còn chỉ khi điểm M∈(C) với gần O nhất. Khi đó M là giao điểm của (C) và con đường thẳng OI, cùng với M là giao điểm gần O hơn và 

*