Bạn ước ao giải được những bài toán tương quan đến giải phương trình, nhân chia những đa thức, biến hóa biểu thức tại cấp cho học trung học cơ sở và thpt thì các bạn cần nắm rõ được 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng nhì lập phương và hiệu hai lập phương. Để tìm hiểu thêm về những hằng đẳng thức này, chúng ta cùng tò mò qua nội dung bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ


Công thức 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

*


1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng sẽ bằng bình phương của số trước tiên cộng nhị lần tích của số thứ nhất và số máy hai, tiếp đến cộng với bình phương của số thiết bị hai.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Ví dụ:

a) Tính ( a + 2)2.

b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 bên dưới dạng bình phương của một tổng.

Lơi giải:

a) Ta có: ( a + 2)2= a2+ 2.a.2 + 22 = a2 + 4a + 4.

b) Ta gồm x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu sẽ bằng bình phương của số đầu tiên trừ đi nhì lần tích của số đầu tiên và số vật dụng hai, tiếp đến cộng cùng với bình phương của số sản phẩm công nghệ hai.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ví dụ: Tính (3x -y)2

Ta có: (3x -y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2 

3. Hiệu của hai bình phương

Hiệu hai bình phương nhị số bằng tổng hai số đó, nhân cùng với hiệu hai số đó.

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Ví dụ: Tính (x – 2)(x +2)

Ta có: (x – 2)(x +2) = x2 – 22 = x2 – 4

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng hai số bởi lập phương của số sản phẩm công nghệ nhất, cộng với cha lần tích bình phương số đầu tiên nhân số thiết bị hai, cùng với bố lần tích số đầu tiên nhân với bình phương số thiết bị hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ví dụ: Tính: (2x2+3y)3

(2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu nhì số bằng lập phương của số sản phẩm công nghệ nhất, trừ đi bố lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số máy hai, cùng với tía lần tích số đầu tiên nhân cùng với bình phương số máy hai, tiếp nối trừ đi lập phương của số lắp thêm hai.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ví dụ: Tính (x – 3)3

(x – 3)3 = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27

6. Tổng hai lập phương

 Tổng của hai lập phương nhị số bằng tổng của hai số đó, nhân cùng với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích x3 + 64

x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhị lập phương

Hiệu của nhị lập phương của nhì số bằng hiệu nhị số kia nhân với bình phương thiếu thốn của tổng của nhì số đó.

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ví dụ:

a, Tính 53– 23.b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu nhì lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 53– 23= ( 5 – 2 )( 52 + 5.2 + 22 ) = 3.39 = 117.b) Ta bao gồm : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3 = x3 – 8y3.

Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức kỷ niệm trên thì họ còn tất cả hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến hóa lượng giác minh chứng đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab(a – b)2 = (a + b)2 – 4aba2 + b2 = (a + b)2 – 2ab(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac – 2bc

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a -b)(b – c)(c – a)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b +c)(c + a)

Hệ quả tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…+ a2bn-3 – a.bn-2 + bn-1)an – bn =(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Các dạng bài bác tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá bán trị của những biểu thức.

Tính quý hiếm của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 trên x = -1

Lời giải.

Ta tất cả : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9

⇒ Kết luận: Vậy trên x = -1 thì A = 9

Dạng 2: minh chứng biểu thức A nhưng không phụ thuộc vào biến.

Ví dụ: chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Lời giải.

Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không dựa vào vào trở nên x.

Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ dại nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

Ta bao gồm : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 với đa số x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 tuyệt A ≥ 4

Vậy giá bán trị nhỏ dại nhất của A = 4, vết “=” xẩy ra khi : x – 1 = 0 xuất xắc x = 1

⇒ tóm lại GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4: chứng tỏ đẳng thức bằng nhau.

Ví dụ: Tính giá trị lớn số 1 của biểu thức: A = 4x – x2

Lời giải:

Ta tất cả : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với đa số x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

⇔ A ≤ 4 lốt “=” xẩy ra khi : x – 2 = 0 giỏi x = 2

⇒ kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5: chứng tỏ bất đẳng thức

Ví dụ: chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

Đối cùng với dạng toán này bọn chúng ta chuyển đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy :(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Xem thêm: Bộ Đề Kiểm Tra 15 Phút Toán 7 Học Kì 1 Chuong 1 5 Phút, Bộ Đề Kiểm Tra 15 Phút Môn Đại Số Lớp 7

Ví dụ 1: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

Lời giải:

Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 gồm dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Dạng 7: Tìm quý hiếm của x

Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Hy vọng cùng với những kỹ năng và kiến thức về 7 hằng đẳng thức kỷ niệm và những dạng bài xích tập thường gặp gỡ mà cửa hàng chúng tôi vừa share có thể khiến cho bạn áp dụng vào bài bác tập nhé