Ta gọi tích

*
(hoặc
*
) là vi phân của hàm số
*
tại x ứng với số gia
*
và cam kết hiệu là dy hoặc
*
. Như vậy, ta có:

*
hoặc
*

Áp dụng: với hàm số

*
, ta được:
*

Vậy ta có:

*
hoặc
*
.

Bạn đang xem: Bài tập về đạo hàm cấp 2

b) Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng:

Theo tư tưởng đạo hàm, ta có:

*

Do đó, với

*
đủ nhỏ dại thì:

*
*

*
*

Đó là phương pháp tính gần đúng đơn giản nhất.

2. Đạo hàm cấp cao

a) Định nghĩa:

Giả sử hàm số

*
có đạo hàm
*
.


+ Đạo hàm của hàm số
*
, trường hợp có, được call làđạo hàm cấp cho haicủa hàm số
*
.

Kí hiệu là

*
hay
*
.


+ Tương tự, đạo hàm của hàm số
*
, trường hợp có, được call làđạo hàm cấp cho bacủa hàm số
*
.

Kí hiệu là

*
hay
*
.


+ Đạo hàm của hàm số
*
, ví như có, được điện thoại tư vấn làđạo hàm cấp bốncủa hàm số
*
.

Kí hiệu là

*
hay
*
.

b) Ý nghĩa cơ học tập của đạo hàm cấp cho hai

Xét vận động thẳng xác định bởi phương trình:

*
với
*
là hàm số gồm đạo hàm.

Khi đó, vận tốc tức thời

*
của chuyển động tại thời điểm
*
là đạo hàm trung học cơ sở của hàm số
*
tại
*
*
.

B. Bài bác tập

Dạng 1. Tìm kiếm vi phân của hàm số

A. Phương pháp

Lời giải:

a)Ta có:

*
*

suy ra

*
.

b)Ta có:

*

Suy ra

*
.

c)Ta có:y"=sinxcosx2"=(sinx)".cosx2+sinxcosx2"=cosx.cosx2-12sinx.sinx2.

Suy rady=y".dx=cosx.cosx2-12sinx.sinx2dx.

d)Ta có:

*
= sinx + xcosx + sinx = 2sinx + xcosx.

Suy ra

*
.

Dạng 2. Tính gần giá chuẩn trị của hàm số

A. Phương pháp

Để tính gần giá chuẩn trị của hàm số

*
tại điểm
*
cho trước, ta áp dụng công thức:

*

B. Bài xích tập ví dụ

Lời giải:

a) Ta có

*
. Xét hàm số
*

chọn

*
*
, ta có
*

*
*

b) Ta có

*

Xét hàm số

*
.

Chọn

*
*
, ta có
*
.

*

c) Ta có

*

Xét hàm số

*

Chọn

*
*
, ta có
*

*

d) Ta có

*

Xét hàm số

*

Chọn

*
*
, ta có
*

*
.

e)

*

Xét hàm số

*

Chọn

*
*
, ta có
*

*

Dạng 3. Tính đạo hàm cao cấp của hàm số

A. Phương pháp

Áp dụng trục tiếp định nghĩa để tính đạo hàm cung cấp cao:

*

B. Bài bác tập ví dụ


Lời giải:

a) Có

*

*

*
*

*

b) Ta có

*

*

c)

*

*

*

d)

*

*

e)

*

*

f)

*

*
}^/}}left( x+2 ight)^4=frac-14left( x+2 ight)^3" />

*
}^/}}left( x+2 ight)^6=frac42left( x+2 ight)^4" />
*
}^/}}left( x+2 ight)^8=frac-168left( x+2 ight)^5" />

Ví dụ 3.2:Tìm đạo hàm cấp n của những hàm số sau:

a)

*
b)
*

Lời giải:

a)Bước 1: Ta có:

*

Dự đoán:

*
(1),
*

Bước 2: chứng minh (1) bằng quy nạp:

*

*
: (1) rõ ràng đúng.

* mang sử (1) đúng với

*
nghĩa là ta có:
*
ta phải minh chứng (1) cũng giống với
*
nghĩa là ta bắt buộc chứng minh

*
(2)

Thật vậy: vế trái (2)

*
}^/}=left< sin left( x+kfracpi 2 ight) ight>^/" />
*
vế cần (2)

*
đúng, nghĩa là (1) đúng với
*
.

Bước 3: Theo nguyên lí quy nạp suy ra

*

b)Ta có:

*
;

*
.

Dự đoán:

*
(1),
*
.

Chứng minh (1) bằng cách thức quy nạp:

*

*
hiển nhiên đúng.

* mang sử (1) đúng với

*
, tức thị ta có:
*
ta phải chứng minh (1) cũng đúng với
*
, tức là ta yêu cầu chứng minh:

*
(2)

Thật vậy, vế trái

*
}^/}=left< left( -1 ight)^kfrack!left( x+3 ight)^k+1 ight>^/" />
*
}^2}}.left< left( x+3 ight)^k+1 ight>^/" />

*

Vậy (2) đúng nghĩa là (1) đúng với

*
.

Theo nguyên lí quy hấp thụ ta suy ra

*

Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cung cấp cao

A. Phương pháp

Xét hoạt động thẳng xác định bởi phương trình:

*
với
*
là hàm số tất cả đạo hàm.

Khi đó,gia tốc tức thời

*
của hoạt động tại thời điểm
*
là đạo hàm cấp ba của hàm số
*
tại
*
.

Xem thêm: Lốc 4 Hộp 1 Lốc Sữa Th True Milk 180Ml Giá Bao Nhiêu, Lốc 4 Hộp 180Ml Sữa Tươi Th True Milk Ít Đường

*

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 4.1:Cho chuyển động xác định bởi vì phương trình

*
với
*
0" />,
*
tính bởi giây
*
*
tính bằng
*
.