Các bài toán về hàm số lượng giác 11 thông thường có trong ngôn từ đề thi vào cuối kỳ và trong đề thi thpt quốc gia, đó cũng là văn bản kiến thức quan trọng mà những em buộc phải nắm vững.

Bạn đang xem: Bài tập về hàm số lượng giác


Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm con số giác, từng dạng toán sẽ có ví dụ và trả lời giải chi tiết để những em dễ dàng vận dụng khi gặp mặt các dạng bài tập hàm con số giác tương tự.

I. Lý thuyết về Hàm số lượng giác

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ luân hồi 2π.

- Hàm số y = sinx nhận những giá trị sệt biệt:

 ° sinx = 0 khi 

 ° sinx = 1 khi 

*

 ° sinx = -1 khi 

*

+ Đồng thị hàm số y = sinx tất cả dạng:

*

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần trả với chu kỳ luân hồi 2π.

- Hàm số y = cosx nhận những giá trị quánh biệt:

 ° cosx = 0 khi

 ° cosx = 1 khi

*

 ° cosx = -1 lúc

*

+ Đồng thị hàm số y = cosx gồm dạng:

*

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: 

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ luân hồi π.

- Hàm số y = tanx nhận những giá trị quánh biệt:

 ° tanx = 0 khi 

 ° tanx = 1 khi

 ° sinx = -1 lúc

+ Đồng thị hàm số y = tanx bao gồm dạng:

*

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot:

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

- Hàm số y = cotx nhận những giá trị quánh biệt:

 ° cotx = 0 lúc

 ° cotx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = cotx tất cả dạng:

*

II. Những dạng toán về hàm số lượng giác

° Dạng 1: tra cứu tập xác minh của hàm số

* Phương pháp:

- Tìm đk của phát triển thành số x nhằm hàm số xác định và chăm chú đến tập xác minh của những hàm con số giác.

 Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Tìm tập khẳng định của hàm số:

a) b)

c) d)

° Lời giải bài 2 (trang 17 SGK Đại số với Giải tích 11):

a) Hàm số  xác định:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).

- Kết luận: Tập xác minh của hàm số là D = Rkπ, k ∈ Z.

b) Hàm số  xác định:

*
 (1)

- bởi vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên

*
 
*
 
*

- vì chưng đó, (1) ⇔ (1 - cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.

- Kết luận: Vậy tập xác minh của hàm số là D = Rk2π, k ∈ Z.

c) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

*
 

d) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập khẳng định của hàm số là:

 

*
 

° Dạng 2: xác minh hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ

* Phương pháp:

♦ Để xác minh hàm số y=f(x) là hàm chẵn xuất xắc lẻ, ta có tác dụng như sau:

 Bước 1: Tìm tập xác minh D của hàm y=f(x)

 Bước 2: với x bất kỳ: x ∈ D, ta minh chứng -x ∈ D

 Bước 3: Tính f(-x):

◊ Nếu f(-x) = f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số chẵn;

◊ trường hợp f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số lẻ;

◊ nếu như có x ∈ D:

f(-x) ≠ f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số chẵn;

f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số lẻ;

 Ví dụ 1: điều tra khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau:

 a) y = tanx + 3sinx

 b) y = 2cosx + sin2x

 c) y = 5sin2x.cos3x

 d) y = 2sinx + 3cosx

* Lời giải:

 a) y = tanx + 3sinx

+ Tập xác định: 

*

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx - 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.

 b) y = 2cosx + sin2x

+ Tập xác định: 

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 2cos(-x) + sin2(-x) = 2cos(x) + 2 = 2cosx + (-sinx)2 = 2cosx + sin2x = f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.

 c) y = 5sin2x.cos3x

+ Tập xác định: 

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng đều có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.

 d) y = 2sinx + 3cosx

+ Tập xác định: 

+ với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta xét với 

*

*
*

⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.

* lưu lại ý: Để chứng tỏ hàm số y=f(x) ko chẵn (hoặc ko lẻ) thì ta bắt buộc chỉ ra tất cả tồn trên x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).

° Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác định chu kỳ tuần hoàn

* Phương pháp:

♦ Để chứng tỏ y=f(x) (có tập xác minh D) tuần hoàn, cần chứng tỏ có T ∈ R sao cho:

 1) x + T ∈ D; x - T ∈ D, ∀x ∈ D.

 2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D.

♦ trả sử hàm số y=f(x) tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta đề xuất tìm số dương T nhỏ dại nhất vừa lòng 2 đặc thù 1) với 2) sinh hoạt trên.

 Ví dụ 1: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần trả với chu kỳ π.

* Lời giải: 

- Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x - π ∈ D, ∀x ∈ D.

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

+ trả sử bao gồm a, với 0 • Ví dụ 2: Chứng minh hàm số  là hàm số tuần hoàn cùng tìm chu kỳ luân hồi tuần hoàn của nó.

* Lời giải: 

- Hàm số:

+ TXĐ:

*
 
*

⇒ 

*
*

+ Ta có: 

*

+ Ta có: 

*
 
*
 
*
 

⇒ Hàm số  là hàm số tuần hoàn.

Xem thêm: Ý Nghĩa Hoa Bỉ Ngạn - Tìm Hiểu Truyền Thuyết Hoa Bỉ Ngạn

+ đưa sử tất cả a:

*

+ Hàm 

*

 Ví dụ 2: Xác định những khoảng đồng đổi mới và khoảng nghịch trở nên của hàm số y = |sinx| trên đoạn <0;2π>.

* Lời giải: 

+ Từ trang bị thị hàm số y = |sinx| sinh sống trên, ta xét vào đoạn<0;2π> , ta có:

 - Hàm số đồng trở nên khi 

*

 - Hàm số nghịch đổi thay khi 

*

° Dạng 5: Tìm giá chỉ trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ dại nhất (GTNN) của hàm số lượng giác

* Phương pháp:

- Vận dụng tính chất: -1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1

 Ví dụ: Tìm giá bán trị lớn nhất (GTLN) với giá trị bé dại nhất (GTNN) của những hàm số sau: