Cùng với chủ thể tổng và hiệu của nhị vectơ, đông đảo nội dung về tích của vectơ với 1 số cũng là phần con kiến thức đặc biệt quan trọng trong công tác toán lớp 10. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng randy-rhoads-online.com kiếm tìm hiểu chi tiết về lý thuyết, các dạng toán cũng như một số bài tập nổi bật về tích của vectơ với cùng 1 số, cùng khám phá nhé!. 


Lý thuyết tích của vectơ với một số

Định nghĩa tích của vectơ với 1 số

Cho số (k e0) cùng vectơ (overrightarrowa e0). Tích của vectơ (overrightarrowa) cùng với số (k) sẽ là 1 trong vectơ, được kí hiệu là (koverrightarrowa), cùng hướng cùng với (overrightarrowa) ví như (k>0), ngược phía với (overrightarrowa) nếu như (k


Ta quy cầu (0overrightarrowa=overrightarrow0,koverrightarrow0=overrightarrow0)

Tính hóa học tích của vectơ với 1 số

Với nhị vectơ (overrightarrowa,overrightarrowb) bất kì, với mọi số (h) cùng (k), ta có: 

(kleft ( overrightarrowa+overrightarrowb ight )=koverrightarrowa+koverrightarrowb)(left ( h+k ight )overrightarrowa=hoverrightarrowa+koverrightarrowa)(hleft ( koverrightarrowa ight )=left (hk ight )overrightarrowa)(1.overrightarrowa=overrightarrowa)(left (-1 ight ).overrightarrowa=-overrightarrowa)

Trung điểm của đoạn trực tiếp và trọng tâm của tam giác

Nếu (I) là trung điểm của đoạn trực tiếp của đoạn trực tiếp AB thì với mọi điểm M ta có (overrightarrowMA+overrightarrowMB=2overrightarrowMI)Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với tất cả điểm M ta tất cả (overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=3overrightarrowMG).

Bạn đang xem: Bài tập về tích của vectơ với một số

Chứng minh: 

(overrightarrowMA+overrightarrowMB=left (overrightarrowMI+overrightarrowIA ight )+left (overrightarrowMI+overrightarrowIB ight )=overrightarrowMI+overrightarrowMI+overrightarrowIA+overrightarrowIB=2overrightarrowMI) (do (overrightarrowIA+overrightarrowIB=overrightarrow0))(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=left (overrightarrowMG+overrightarrowGA ight )+left (overrightarrowMG+overrightarrowGB ight )+left ( overrightarrowMG+overrightarrowGC ight )=3overrightarrowMG+left (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC ight )=3overrightarrowMG) (do (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0))

Điều kiện để hai vectơ cùng phương là gì?

Điều kiện nhằm hai vectơ (overrightarrowa) và (overrightarrowb) thuộc phương (left (overrightarrowb eoverrightarrow0 ight )) khi và chỉ còn khi tất cả số (k) thỏa (overrightarrowa=koverrightarrowb).Điều cần và đủ để (A,B,C) thẳng sản phẩm là tất cả số (k) sao cho (overrightarrowAB=koverrightarrowAC)

Phân tích một vectơ theo nhì vectơ không thuộc phương 

Cho hai vectơ (overrightarrowa) cùng (overrightarrowb) không cùng phương và vectơ (overrightarrowx) tùy ý. Khi đó tồn tại nhì số thực (h,k) làm sao cho (overrightarrowx=hoverrightarrowa+koverrightarrowb)

Chúng minh: 

Lấy vectơ (overrightarrowOC=overrightarrowx). Mang (O) là vấn đề đầu với vẽ nhị vectơ (overrightarrowOA=overrightarrowa) với (overrightarrowOB=overrightarrowb). Từ C kẻ những đường thẳng tuy vậy song với những đường trực tiếp OA với OB.

*

Ta có: (overrightarrowOC=overrightarrowOA’+overrightarrowOB’).

Vì (overrightarrowOA’) và (overrightarrowOA) cùng phương buộc phải tồn trên số h làm sao cho (overrightarrowOA’=h.overrightarrowOA).

(overrightarrowOB’) với (overrightarrowOB) thuộc phương yêu cầu tồn tại số k làm thế nào để cho (overrightarrowOB’=k.overrightarrowOB).

Vậy (overrightarrowOC=h.overrightarrowOA+k.overrightarrowOB)

Hay là (overrightarrowx=h.overrightarrowa+k.overrightarrowb). 

Các dạng toán nổi bật về tích của vectơ với cùng một số 

Dạng 1: Dựng cùng tính độ nhiều năm vectơ chứa tích một vectơ với 1 số

Phương pháp giải: 

Sử dụng khái niệm tích của vectơ với một số và những quy tắc về phép toán vectơ nhằm dựng vectơ đựng tích của vectơ với cùng một số, phối hợp các định lý pitago và hệ thức lượng vào tam giác vuông để tính độ dài của chúng.

Ví dụ 1: Cho tam giác các (ABC) cạnh (a), điểm (M) là trung điểm của (BC). Dựng những vectơ sau với tính độ nhiều năm của chúng.

(frac12overrightarrowCB+overrightarrowMA)(overrightarrowBA-frac12overrightarrowBC)(frac12overrightarrowAB+2overrightarrowAC)(frac34overrightarrowMA+frac52overrightarrowMB)

Cách giải: 

*

Do (frac12overrightarrowCB=overrightarrowCM) suy ra theo quy tắc cha điểm ta có: 

(frac12overrightarrowCB+overrightarrowMA=overrightarrowCM+overrightarrowMA=overrightarrowCA)

Vậy (left |frac12overrightarrowCB+overrightarrowMA ight |=left |overrightarrowCA ight |=a)

2. Vì chưng (frac12overrightarrowBC=overrightarrowBM) ne theo quy tắc trừ ta bao gồm (overrightarrowBA-frac12overrightarrowBC=overrightarrowBA-overrightarrowBM=overrightarrowMA)

Theo định lý Pitago ta có: 

(MA=sqrtAB^2-BM^2=sqrta^2-left (fraca2 ight )^2=fracasqrt32)

Vậy (left |overrightarrowBA-frac12overrightarrowBC ight |=overrightarrowMA=fracasqrt32)

3. điện thoại tư vấn N là trung điểm AB, Q là điểm đối xứng của A qua C và p. Là đỉnh của hình bình hành AQPN.

Khi đó ta có (frac12overrightarrowAB=overrightarrowAN,2overrightarrowAC=overrightarrowAQ) suy ra theo luật lệ hình bình hành ta gồm (frac12overrightarrowAB+2overrightarrowAC=overrightarrowAN+overrightarrowAQ=overrightarrowAP)

Gọi L là hình chiếu của A lên QN

Vì (MNparallel ACRightarrow widehatANL=widehatMNB=widehatCAB=60^circ).

Xét tam giác vuông ANL ta có: 

(sinANL=fracALANRightarrow AL=AN.sinANL=fraca2sin60^circ=fracasqrt34)

(cosANL=fracNLANRightarrow NL=AN.cosANL=fraca2cos60^circ=fraca4)

Ta lại có (AQ=PNRightarrow PL=PN+NL=AQ+NL=2a+fraca4=frac9a4)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ALP ta có: 

(AP^2=AL^2+PL^2=frac3a^216+frac81a^216=frac21a^24Rightarrowfracasqrt212)

Vậy (left |frac12overrightarrowAB+2overrightarrowAC ight |=AP=fracasqrt212)

4. Hotline K là vấn đề nằm bên trên đoạn AM thế nào cho (MK=frac34MA), H thuộc tia MB thế nào cho (overrightarrowMH=frac52overrightarrowMB).

Khi đó (frac34overrightarrowMA=overrightarrowMK,frac52overrightarrowMB=overrightarrowMH)

Do đó (frac34overrightarrowMA-frac52overrightarrowMB=overrightarrowMK-overrightarrowMH=overrightarrowHK)

Ta bao gồm (MK=frac34AM=frac34.fracasqrt32=frac3asqrt38,MH=frac52MB=frac52.fraca2=frac5a4)

Áp dụng định lý Pitago đến tam giác vuông KMH ta có: 

(KH=sqrtMH^2+MK^2=sqrtfrac25a^216+frac27a^264=fracasqrt1278)

Vậy (left | frac34overrightarrowMA-frac52overrightarrowMB ight |=KH=fracasqrt1278)

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a.

Chứng minh rằng (overrightarrowu=4overrightarrowMA-3overrightarrowMB+overrightarrowMC-2overrightarrowMD) không dựa vào vào địa chỉ điểm M.Tính độ dài vectơ (overrightarrowu)

Cách giải: 

Gọi O là vai trung phong hình vuông 

Theo quy tắc cha điểm ta có: 

(eginalign onumberoverrightarrowu&=4overrightarrowMO+overrightarrowOA-3overrightarrowMO+overrightarrowOB+overrightarrowMO+overrightarrowOC-2overrightarrowMO+overrightarrowOD\ onumber&=4overrightarrowOA-3overrightarrowOB+overrightarrowOC-2overrightarrowOD endalign)

Mà (overrightarrowOD=-overrightarrowOB,overrightarrowOC=-overrightarrowOA) phải (overrightarrowu=3overrightarrowOA-overrightarrowOB)

Suy ra (overrightarrowu) không nhờ vào vào địa điểm của điểm M.

*

2. đem điểm (A’) trên tia OA làm thế nào cho (OA’=3OA) khi đó (overrightarrowOA’=3overrightarrowOA) vì vậy (overrightarrowu=overrightarrowOA’-overrightarrowOB=overrightarrowBA’)

Mặt không giống (BA’=sqrtOB^2+left (OA’ ight )^2=sqrtOB^2+9OA^2=asqrt5)

Suy ra (left | overrightarrowu ight |=asqrt5).

Dạng 2: chứng tỏ các đẳng thức vectơ từ dữ liệu đã cho

Phương pháp giải: 

Sử dụng các kiến thức sau để đổi khác vế này thành vế cơ hoặc cả nhì biểu thức ở nhì vế cùng bởi biểu thức thứ cha hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng: 

Các tính chất phép toán vectơCác quy tắc: Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừTính hóa học trung điểm:

M là trung điểm đoạn thẳng (ABLeftrightarrowoverrightarrowMA+overrightarrowMB=overrightarrow0)

M là trung điểm đoạn thẳng (ABLeftrightarrowoverrightarrowOA+overrightarrowOB=2overrightarrowOM) (Với O là điểm tùy ý)

Tính hóa học trọng tâm:

G là trọng tâm của tam giác (ABCLeftrightarrowoverrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0)

G là trung tâm của tam giác (ABCLeftrightarrowoverrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOG) (Với O là vấn đề tùy ý)

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB với CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: 

(overrightarrowAC+overrightarrowBD=2overrightarrowIJ)(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=overrightarrow0)(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC+overrightarrowMD=4overrightarrowMO) cùng với M là vấn đề bất kì

Cách giải: 

Theo quy tắc cha điểm ta có: 

(overrightarrowAC=overrightarrowAI+overrightarrowIJ+overrightarrowJC)

Tương tự (overrightarrowBD=overrightarrowBI+overrightarrowIJ+overrightarrowJD)

Mà I,J theo lần lượt là trung điểm của AB và CD cần (overrightarrowAI+overrightarrowBI=overrightarrow0,overrightarrowJC+overrightarrowJD=overrightarrow0)

Vậy (overrightarrowAC+overrightarrowBD=overrightarrowAI+overrightarrowBI+overrightarrowJC+overrightarrowJD+2overrightarrowIJ=2overrightarrowIJ) (đpcm)

*

2. Theo hệ thức trung điểm ta bao gồm (overrightarrowOA+overrightarrowOB=2overrightarrowOI,overrightarrowOC+overrightarrowOD=2overrightarrowOJ)

Mặt khác O là trung điểm IJ buộc phải (overrightarrowOI+overrightarrowOJ=overrightarrow0) 

Suy ra (overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=2left (overrightarrowOI+overrightarrowOJ ight )=overrightarrow0) (đpcm)

3. Theo câu 2. Ta bao gồm (overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=overrightarrow0) bởi đó với mọi điểm M thì 

(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC+overrightarrowOD=overrightarrow0\ LeftrightarrowoverrightarrowOM+overrightarrowMA+overrightarrowOM+overrightarrowMB+overrightarrowOM+overrightarrowMC+overrightarrowOM+overrightarrowMD=overrightarrow0\ LeftrightarrowoverrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC+overrightarrowMD=4overrightarrowMO) (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b và giữa trung tâm G. Call D, E, F thứu tự là hình chiếu G lên cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng (a^2.overrightarrowGD+b^2.overrightarrowGE+c^2.overrightarrowGF=overrightarrow0)

Cách giải: 

Trên tia GD, GE, MF thứu tự lấy các điểm N, P, Q sao để cho GN = a, GP = b, GQ = c với dựng hình bình hành GPRN.

*

Ta gồm (a^2.overrightarrowGD+b^2.overrightarrowGE+c^2.overrightarrowGF=overrightarrow0\ Leftrightarrow a.GD.overrightarrowGN+b.GE.overrightarrowGP+c.GF.overrightarrowGQ=overrightarrow0(*))

Ta có: (a.GD=2S_igtriangleup GBC,b.GE=2S_igtriangleup GCA,c.GF=2S_igtriangleup GAB), mặt khác G là giữa trung tâm tam giác ABC phải (S_igtriangleup GBC=S_igtriangleup GCA=S_igtriangleup GAB) suy ra (a.GD=b.GE=c.GF).

Vậy ((*)LeftrightarrowoverrightarrowGN+overrightarrowGP+overrightarrowGQ=overrightarrow0)

Ta tất cả (AC=GP=b,PR=BC=a) cùng (widehatACB=widehatGPR) (góc bao gồm cặp cạnh vuông góc với nhau)

Suy ra (igtriangleup ACB=igtriangleup GPRhspace0.7cmleft (c.g.c ight ))

(Rightarrow GR=AB=c) với (widehatPGR=widehatBAC)

Ta có (widehatQGP+widehatBAC=180^circRightarrowwidehatQGP+widehatGPR=180^circRightarrow Q,G,R) trực tiếp hàng do đó G là trung điểm của QR

Theo phép tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có: 

(overrightarrowGN+overrightarrowGP+overrightarrowGQ=overrightarrowGR+overrightarrowGQ=overrightarrow0)

Vậy (a^2.overrightarrowGD+b^2.overrightarrowGE+c^2.overrightarrowGF=overrightarrow0).

Dạng 3: xác định điểm M vừa lòng một đẳng thức vectơ cho trước

Phương pháp giải: 

Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng (overrightarrowAM=overrightarrowa) trong số đó điểm A cùng (overrightarrowa) sẽ biết. Khi đó tồn tại nhất điểm M làm thế nào để cho (overrightarrowAM=overrightarrowa), để dựng điểm M ta rước A có tác dụng gốc dựng một vectơ bởi vectơ (overrightarrowa) suy ra điểm ngọn vectơ này đó là điểm M.Ta biến đổi về đẳng thức vectơ sẽ biết của trung điểm đoạn trực tiếp và trọng tâm tam giác

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Khẳng định điểm M, N, p. Sao cho: 

(2overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=overrightarrow0)(overrightarrowNA+overrightarrowNB+overrightarrowNC+overrightarrowND=overrightarrow0)(3overrightarrowPA+overrightarrowPB+overrightarrowPC+overrightarrowPD=overrightarrow0)

Cách giải: 

*

Gọi I là trung điểm BC suy ra (overrightarrowMB+overrightarrowMC=2overrightarrowMI)

Do đó (2overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC=overrightarrow0)

(2overrightarrowMA+2overrightarrowMI=overrightarrow0LeftrightarrowoverrightarrowMA+overrightarrowMI=overrightarrow0)

Suy ra M là trung điểm AI

2. Hotline K, H theo thứ tự là trung điểm của AB, CD ta có 

(overrightarrowNA+overrightarrowNB+overrightarrowNC+overrightarrowND=overrightarrow0Leftrightarrow2overrightarrowNK+2overrightarrowNH=overrightarrow0\ Leftrightarrow overrightarrowNK+overrightarrowNH=overrightarrow0Leftrightarrow N) là trung điểm của KH

3. Hotline G là giữa trung tâm tam giác BCD khi đó ta bao gồm (overrightarrowPB+overrightarrowPC+overrightarrowPD=3overrightarrowPG)

Suy ra (3overrightarrowPA+overrightarrowPB+overrightarrowPC+overrightarrowPD=overrightarrow0Leftrightarrow 3overrightarrowPA+3overrightarrowPG=overrightarrow0\ LeftrightarrowoverrightarrowPA+overrightarrowPG=overrightarrow0Leftrightarrow P) là trung điểm của AG.

Ví dụ 2: Cho trước nhì điểm A, B với hai số thực (alpha,eta) thỏa mãn nhu cầu (alpha+eta e0). Chứng minh rằng tồn tại độc nhất điểm I thỏa mãn (alphaoverrightarrowIA+etaoverrightarrowIB=overrightarrow0).

Từ đó, suy ra với bất kỳ điểm M thì (alphaoverrightarrowMA+etaoverrightarrowMB=left ( alpha+eta ight )overrightarrowMI)

Cách giải: 

Ta có: (alphaoverrightarrowIA+etaoverrightarrowIB=overrightarrow0LeftrightarrowalphaoverrightarrowIA+etaleft ( overrightarrowIA+overrightarrowAB ight )=overrightarrow0\ Leftrightarrowleft ( alpha+eta ight )overrightarrowIA+etaoverrightarrowAB=overrightarrow0Leftrightarrow left ( alpha+eta ight )overrightarrowAI=etaoverrightarrowABLeftrightarrowoverrightarrowAI=fracetaalpha+etaoverrightarrowAB)

Vì A, B cố định nên vectơ (fracetaalpha+etaoverrightarrowAB) ko đổi, cho nên tồn tại tuyệt nhất điểm I thỏa mãn nhu cầu điều kiện.

Từ đó suy ra (alphaoverrightarrowMA+etaoverrightarrowMB=alphaleft ( overrightarrowMI+overrightarrowIA+ ight )+etaleft ( overrightarrowMI+overrightarrowIB ight )\ =left ( alpha+eta ight )overrightarrowMI+left ( alphaoverrightarrowIA+etaoverrightarrowIB ight )=left ( alpha+eta ight )overrightarrowMI) (đpcm).

Dạng 4: phân tích một vectơ theo nhì vectơ không thuộc phương

Phương pháp giải: 

Sử dụng đặc thù phép toán vectơ, tía quy tắc phép toán vectơ và đặc điểm trung điểm, giữa trung tâm tam giác.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Đặt (overrightarrowa=overrightarrowAB,overrightarrowb=overrightarrowAC).

Hãy dựng những điểm M, N vừa lòng (overrightarrowAM=frac13overrightarrowAB,overrightarrowCN=2overrightarrowBC)Hãy so với (overrightarrowCM,overrightarrowAN,overrightarrowMN) qua những vectơ (overrightarrowa) với (overrightarrowb)Gọi I là điểm thỏa: (overrightarrowMI=overrightarrowCM) chứng minh I, A, N thẳng hàng

Cách giải: 

*

Vì (overrightarrowAM=frac13overrightarrowAB) suy ra M ở trong cạnh AB và (overrightarrowAM=frac13overrightarrowAB;overrightarrowCN=2overrightarrowBC), suy ra N nằm trong tia BC với (CN=2BC).Ta có: 

(eginalign onumberoverrightarrowCM&=overrightarrowCA+overrightarrowAM=-overrightarrowAC+frac13overrightarrowAB=frac13overrightarrowa-overrightarrowb\ onumberoverrightarrowAN&=overrightarrowAB+overrightarrowBN=overrightarrowAB+3overrightarrowBC=overrightarrowAB+3left ( overrightarrowAC-overrightarrowAB ight )=-2overrightarrowa+3overrightarrowb\ onumberoverrightarrowMN&=overrightarrowMA+overrightarrowAN=-frac13overrightarrowa-2overrightarrowa+3overrightarrowb=-frac73overrightarrowa+3overrightarrowb endalign)

3. Ta có: 

(overrightarrowAI=overrightarrowAM+overrightarrowMI=frac13overrightarrowAB+overrightarrowCM=frac13overrightarrowa+frac13overrightarrowa-overrightarrowb=-frac13left ( -2overrightarrowa+3overrightarrowb ight )\ Rightarrow overrightarrowAI=-frac13overrightarrowANRightarrow A,I,N) trực tiếp hàng.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hotline M, N theo thứ tự là nhì điểm ở trên nhị cạnh AB cùng CD sao cho (AB=3AM,CD=2CN) cùng G là giữa trung tâm tam giác MNB. Phân tích các vectơ (overrightarrowAN,overrightarrowMN,overrightarrowAG) qua các vectơ (overrightarrowAB) với (overrightarrowAC)

Cách giải: Ta có: 

(eginalign onumberoverrightarrowAN&=overrightarrowAC+overrightarrowCN=overrightarrowAC-frac12overrightarrowAB\ onumberoverrightarrowMN&=overrightarrowMA+overrightarrowAN=-frac13overrightarrowAB+overrightarrowAC-frac12overrightarrowAB\ onumber&=-frac56overrightarrowAB+overrightarrowAC endalign)

Vì G là trung tâm tam giác MNB nên 

(3overrightarrowAG=overrightarrowAM+overrightarrowAN+overrightarrowAB=frac13overrightarrowAB+left ( overrightarrowAC-frac12overrightarrowAB ight )+overrightarrowAB=frac56overrightarrowAB+overrightarrowAC)

Suy ra (overrightarrowAG=frac518overrightarrowAB+frac13overrightarrowAC)

Dạng 5: chứng minh hai điểm trùng nhau, nhì tam giác cùng trọng tâm

Phương pháp giải: 

Để chứng minh hai điểm (A_1) cùng (A_2) trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai biện pháp sau: 

Cách 1: minh chứng (overrightarrowA_1A_2=overrightarrow0)

Cách 2: chứng minh (overrightarrowOA_1=overrightarrowOA_2) cùng với O là điểm tùy ý.

Để chứng tỏ hai tam giác ABC cùng A’B’C’ cùng trung tâm ta làm như sau: 

Cách 1: chứng minh G là trung tâm (igtriangleup ABC) trùng cùng với G’ là trung tâm (igtriangleup A’B’C’)

Cách 2: call G là trọng tâm (igtriangleup ABC) (tức ta có (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0)) ta đi minh chứng (overrightarrowGA’+overrightarrowGB’+overrightarrowGC’=overrightarrow0)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng (overrightarrowAB=overrightarrowCD) khi và chỉ khi trung điểm của nhì đoạn thẳng AD với BC trùng nhau.

Cách giải: 

Gọi I, J theo lần lượt là trung điểm của AD cùng BC suy ra (overrightarrowAI=overrightarrowID,overrightarrowCJ=overrightarrowJB)

Do kia (overrightarrowAB=overrightarrowCDLeftrightarrowoverrightarrowAI+overrightarrowIJ+overrightarrowJB=overrightarrowCJ+overrightarrowJI+overrightarrowID\ LeftrightarrowoverrightarrowIJ=overrightarrowJILeftrightarrowoverrightarrowIJ=overrightarrow0) xuất xắc I trùng cùng với J.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên những cạnh AB, BC, CA ta mang lần lượt các điểm M, N, P làm thế nào cho (fracAMAB=fracBNBC=fracCPCA). Minh chứng rằng nhì tam giác ABC cùng MNP tất cả cùng trọng tâm.

Cách giải: 

Giả sử (fracAMAB=k) suy ra (overrightarrowAM=koverrightarrowAB;overrightarrowBN=koverrightarrowBC;overrightarrowCP=koverrightarrowCA)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0)

Ta có: 

(overrightarrowGM+overrightarrowGN+overrightarrowGP=overrightarrowGA+overrightarrowAM+overrightarrowGB+overrightarrowBN+overrightarrowGC+overrightarrowCP\ =overrightarrowAM+overrightarrowBN+overrightarrowCP=koverrightarrowAB+koverrightarrowBC+koverrightarrowCA=kleft ( overrightarrowAB+overrightarrowBC+overrightarrowCA ight )=overrightarrow0)

Vậy hai tam giác ABC với MNP bao gồm cùng trọng tâm.

Dạng 6: kiếm tìm tập đúng theo điểm vừa lòng điều kiện vectơ mang đến trước

Phương pháp giải: 

Để tìm tập hòa hợp điểm M thỏa mãn điều khiếu nại vectơ ta quy về một trong số dạng sau: 

Nếu (left | overrightarrowMA ight |=left | overrightarrowMB ight |) với A, B phân biệt cho trước thì M thuộc mặt đường trung trực của đoạn AB.Nếu (left | overrightarrowMC ight |=kleft | overrightarrowAB ight |) cùng với A, B, C rành mạch cho trước thì M thuộc mặt đường tròn trung tâm C, bán kính bằng (k.left | overrightarrowAB ight |).Nếu (overrightarrowMA=k overrightarrowAB) cùng với A, B, C tách biệt và k là số thực thay đổi thì:M thuộc mặt đường thẳng qua A tuy nhiên song với BC với (kin R)M trực thuộc nửa đường thẳng qua A tuy nhiên song cùng với BC và thuộc hướng (overrightarrowBC) cùng với (k>0)M thuộc nửa con đường thẳng qua A tuy vậy song với BC với ngược hướng (overrightarrowBC) với (k

4. Trường hợp (overrightarrowMA=koverrightarrowBC,B e C) cùng với A, B, C trực tiếp hàng và k chuyển đổi thì tập thích hợp điểm M là mặt đường thẳng BC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.

Chứng minh rằng tồn tại độc nhất vô nhị điểm I thỏa mãn: (2overrightarrowIA+3overrightarrowIB+4overrightarrowIC=overrightarrow0)Tìm quỹ tích trữ M thỏa mãn: (left | 2overrightarrowMA+3overrightarrowMB+4overrightarrowMC ight |=left | overrightarrowMB-overrightarrowMA ight |)

Cách giải: 

Ta có: 

(2overrightarrowIA+3overrightarrowIB+4overrightarrowIC=overrightarrow0Leftrightarrow2overrightarrowIA+3left (overrightarrowIA+overrightarrowAB ight )+4left ( overrightarrowIA+overrightarrowAC ight )=overrightarrow0\ Leftrightarrow9overrightarrowIA=-3overrightarrowAB-4overrightarrowACLeftrightarrowoverrightarrowIA=-frac3overrightarrowAB+4overrightarrowAC9Rightarrow I) tồn tại cùng duy nhất.

2. Với I là vấn đề được khẳng định ở câu 1, ta có: 

(2overrightarrowMA+3overrightarrowMB+4overrightarrowMC=9overrightarrowMI+left ( 2overrightarrowIA+3overrightarrowIB+4overrightarrowIC ight )=9overrightarrowMI) và (overrightarrowMB-overrightarrowMA=overrightarrowAB) phải (left | 2overrightarrowMA+3overrightarrowMB+4overrightarrowMC ight |=left | overrightarrowMB-overrightarrowMA ight |Leftrightarrowleft | 9overrightarrowMI ight |=left | overrightarrowAB ight |Leftrightarrow MI=fracAB9)

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính (fracAB9)

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy những điểm M với N thế nào cho (overrightarrowAM=koverrightarrowAB,overrightarrowDN=koverrightarrowDC). Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn trực tiếp MN khi k nắm đổi.

Cách giải: 

Gọi O, O’ thứu tự là trung điểm của AD cùng BC.

*

Ta có: 

(overrightarrowAB-overrightarrowAO+overrightarrowOO’+overrightarrowO’B) và (overrightarrowDC-overrightarrowDO+overrightarrowOO’+overrightarrowO’C)

Suy ra (overrightarrowAB+overrightarrowDC=2overrightarrowOO’)

Tương tự vị O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN đề xuất (overrightarrowAM+overrightarrowDN=2overrightarrowOI)

Do kia (overrightarrowOI=frac12koverrightarrowAB+koverrightarrowDC=koverrightarrowOO’)

Vậy k vắt đổi, tập phù hợp điểm I là mặt đường thẳng OO’.

Dạng 7: xác minh tính chất của hình lúc biết một đẳng thức vectơ

Phương pháp giải:

Phân tính được định tính xuất hành từ các đẳng thức vectơ của trả thiết, xem xét tới những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác và hiệu quả “(moverrightarrowa+noverrightarrowb=overrightarrow0Leftrightarrow m=n=0) cùng với (overrightarrowa,overrightarrowb) là hai vectơ không thuộc phương”

Ví dụ 1: Gọi M, N thứu tự là trung điểm của những cạnh AD cùng DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM giảm nhau tại p Biết: (overrightarrowPM=frac15overrightarrowBM;overrightarrowAP=frac25overrightarrowAN). Chứng tỏ rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cách giải: 

Ta có: 

(eginalign onumberoverrightarrowAB&=overrightarrowAM+overrightarrowMB=overrightarrowAM+5overrightarrowMP\ onumber&=5overrightarrowAP-4overrightarrowAM=2overrightarrowAN-2overrightarrowAD\ onumber&=2left ( overrightarrowAD+overrightarrowDN ight )-2overrightarrowAD\ onumber&=2overrightarrowDN=overrightarrowDCRightarrow ABCD endalign) là hình bình hành

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thỏa mãn: (a^2overrightarrowGA+b^2overrightarrowGB+c^2overrightarrowGC=overrightarrow0). Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

Cách giải: 

G là giữa trung tâm tam giác ABC nên: 

(overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0LeftrightarrowoverrightarrowGA=-overrightarrowGB-overrightarrowGC)

Suy ra: 

(a^2overrightarrowGA+b^2overrightarrowGB+c^2overrightarrowGC=overrightarrow0\ Leftrightarrow a^2-overrightarrowGB-overrightarrowGC+b^2overrightarrowGB+coverrightarrowGC=overrightarrow0\ Leftrightarrow b^2-a^2overrightarrowGB+c^2-a^2overrightarrowGC=overrightarrow0hspace0.7cmleft ( * ight ))

Vì (overrightarrowGB) cùng (overrightarrowGC) là nhì vectơ không cùng phương, cho nên vì vậy (*) tương tự với:

(left{eginmatrix b^2-a^2=0\ c^2-a^2=0 endmatrix ight. Leftrightarrow a=b=c) tốt tam giác ABC đều.

Dạng 8: minh chứng bất đẳng thức và tìm rất trị liên quan độ lâu năm vectơ

Phương pháp giải: 

Sử dụng bất đẳng thức cơ bản: 

Với gần như vectơ (overrightarrowa,overrightarrowb) ta luôn luôn có: 

(left |overrightarrowa+overrightarrowb ight |(left |overrightarrowa+overrightarrowb ight |geleft | overrightarrowa ight |-left | overrightarrowb ight |), dấu bằng xẩy ra khi (overrightarrowa,overrightarrowb) ngược hướngĐưa bài toán thuở đầu về việc tìm rất trị của (left | overrightarrowMI ight |) cùng với M cầm đổiNếu M là điểm biến hóa trên đường thẳng (Delta) lúc đó (left | overrightarrowMI ight |) đạt giá chỉ trị nhỏ nhất khi và chỉ còn khi M là hình chiếu của M lên (Delta).Nếu M là điểm thay đổi trên con đường tròn (O) lúc đó (left | overrightarrowMI ight |) đạt giá trị nhỏ tuổi nhất khi còn chỉ khi M là giao điểm của tia OI với đường tròn; (left | overrightarrowMI ight |) đạt quý hiếm lớn nhất lúc và chỉ lúc M là giao điểm của tia IO với con đường tròn.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm kiếm điểm M thuộc con đường thẳng d nhằm biểu thức sau đạt giá chỉ trị bé dại nhất (T=left | overrightarrowMA+overrightarrowMB-overrightarrowMC ight |)

Cách giải: 

Gọi I là đỉnh thứ tứ của hình bình hành ACBI thì (overrightarrowIA+overrightarrowIB-overrightarrowIC=overrightarrow0)

Khi đó: 

(eginalign onumber T&=left | overrightarrowMI+overrightarrowIA+overrightarrowMI+overrightarrowIB-overrightarrowMI+overrightarrowIC ight |\ onumber&=left | overrightarrowMI+overrightarrowIA+overrightarrowIB-overrightarrowIC ight |=left | overrightarrowMI ight | endalign)

Vậy T đạt giá chỉ trị nhỏ nhất khi còn chỉ khi M là hình chiếu của I xuất phát thẳng d.

Xem thêm: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 7: Trường Hợp Đồng Dạng Thứ Ba, Lý Thuyết Toán 8: Bài 7

randy-rhoads-online.com sẽ cùng chúng ta tìm hiểu cụ thể và rõ ràng về siêng đề tích của vectơ với cùng một số. Với những nội dung bên trên đây, ý muốn rằng các bạn đã tìm thấy những kiến thức và kỹ năng hữu ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu và phân tích về chủ đề tích của vectơ với cùng một số. Chúc bạn luôn học tập thiệt tốt!.