1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng thông thường2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki tổng hợp3. Xem xét khi trở thành đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki4. Sai lạc thường gặp gỡ khi áp dụng Bunhiacopxki5. Lấy ví dụ như minh họa


Bạn đang xem: Bất đẳng thức bcs

Cùng Đọc tài liệu điểm danh những kiến thức cơ phiên bản đối với BĐT Bunhiacopxki em nhé:

Kiến thức cơ bản

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng thông thường

1. Dạng bài toán vận dụng bất đẳng thức này tương đối thông dụng trong lịch trình học của các em:
(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²Chứng minh: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)²↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad - bc)² ≥ 0 => luôn đúngDấu " = " xảy ra khi (displaystyle frac ac=frac bd)2. Cùng với a,b,x,y là các số thực, ta có các bất đẳng thức sau:- ((ax + by)^2 le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2))Dấu bằng xẩy ra khi (displaystyle frac xa=frac yb)- (dfrac(a+b)^2x+y le dfraca^2x+dfracb^2y)(với x,y > 0, a,b là số thực)3. Với bộ 3 số a, b, c với x, y, z ta có:- ((ax+by+cz)^2 le (a^2 +b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2))Dấu bằng xảy ra khi (dfracxa= dfracyb= dfraczc)- (dfrac(a+b+c)^2x+y+z le dfraca^2x+dfracb^2y+dfracc^2z)(x,y,z >0, a,b là số thực)

Bất đẳng thức Bunhiacopxki tổng hợp

Dạng 1Cho hai dãy số thực (​​​​a_1,a_2,…a_n) với (b_1,b_2,…b_n) ta có:
((a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)^2leq (a_1^2+a_2^2…+a_n^2)(b_1^2+b_2^2…+b_n^2))Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n)với quy cầu nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bởi 0Đây là bí quyết do tía nhà toán học tập độc lập Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz phạt hiện với đề xuất.Chứng minh: Đặt (A=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2,B=b_1^2+b_2^2+...+b_n^2,C=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)=> họ cần phải chứng minh được A.B > C²Nếu A = 0 thì (​​​​a_1=a_2=…a_n), bất đẳng thức được chứng minh. Cũng như vậy nếu B = 0. Do đó ta chỉ việc xét trường vừa lòng A với B không giống 0Với gần như x ta có:((a_1x-b_1)^2geq 0Rightarrow a_1^2x^2-2a_1b_1x+b_1^2geq 0 )((a_2x-b_2)^2geq 0Rightarrow a_2^2x^2-2a_2b_2x+b_2^2geq 0 ).........((a_nx-b_n)^2geq 0Rightarrow a_n^2x^2-2a_nb_nx+b_n^2geq 0)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên được:((a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)x^2-2(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)geq 0)tức là Ax² - 2Cx + B ≥ 0 (1)Vì (1) đúng với tất cả x phải thay (x=fracCA) vào (1) ta được:(A.fracC^2A^2-2.fracC^2A+Bgeq 0Rightarrow B-fracC^2Ageq 0Rightarrow AB-C^2geq 0Rightarrow ABgeq C^2)Xảy ra đẳng thức khi và chỉ còn khi(a_1x=b_1,a_2x=b_2,...,a_nx=b_n)tức là (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n) với quy mong rằng trường hợp mẫu bởi 0 thì tử phải bằng 0 => đpcmMột số dạng Bất đẳng thức Bunhiacopxki khác nhưng em rất có thể tham khảo:Dạng 2:(displaystyle sqrtleft( a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ight)left( b_1^2+b_2^2+…+b_n^2 ight)ge left| a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n ight|)Dấu "=" xẩy ra khi còn chỉ khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n)


Xem thêm: Dung Dịch Làm Quỳ Tím Hóa Xanh Quỳ Tím, Dung Dịch Chất Nào Sau Đây Làm Xanh Quỳ Tím

Dạng 3:(displaystyle sqrtleft( a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ight)left( b_1^2+b_2^2+…+b_n^2 ight)ge a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi (displaystyle fraca_1b_1=fraca_2b_2=…=fraca_nb_n ≥ 0)Dạng 4: Cho hai hàng số tùy ý (​​​​a_1,a_2,…, a_n) cùng (x_1,x_2,… , x_n) ta có: với (x_1,x_2,… , x_n)> 0Khi kia ta có:(displaystyle fraca_1^2x_1+fraca_2^2x_2+…+fraca_n^2x_nge fracleft( a_1+a_2+…+a_n ight)^2x_1+x_2+…+x_n)Dấu bằng xẩy ra khi: (displaystyle fraca_1x_1=fraca_2x_2=…=fraca_nx_nge 0)

Lưu ý khi đổi mới đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki

Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta rất có thể sử dụng một số trong những phép chuyển đổi như:Với một vài bất đẳng thức gồm giả thiết là ta có thể đổi biến:

Sai lầm thường gặp khi áp dụng Bunhiacopxki

Cho a là số thức dương thỏa mãn nhu cầu a ≥ 2. Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức:(displaystyle A=a^2+frac1a^2)Hướng dẫn:

Ví dụ minh họa

Tham khảo 2 việc áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki trong các bài toán thường xuyên gặp:Bài toán 1: Cho a, b, là những số thực dương thỏa mãn nhu cầu . Tìm giá bán trị bé dại nhất của biểu thức:(displaystyle A=sqrta^2+frac1a^2+sqrtb^2+frac1b^2)Bài làm:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:(displaystyle left{ eginarraylsqrta^2+frac1a^2=frac1sqrt17.sqrtleft( a^2+frac1a^2 ight).left( 4^2+1^2 ight)ge frac1sqrt17left( 4a+frac1a ight)\sqrtb^2+frac1b^2=frac1sqrt17.sqrtleft( b^2+frac1b^2 ight).left( 4^2+1^2 ight)ge frac1sqrt17left( 4b+frac1b ight)endarray ight.)Bài toán 2: mang lại a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Minh chứng rằng:(displaystyle sqrtfraca+ba+b+c+sqrtfracb+ca+b+c+sqrtfracc+aa+b+cle sqrt6) Bài làmÁp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được