Bất phương trình Logarit là một trong những nội dung vô cùng đặc biệt trong công tác toán 12. Do vậy, nắm rõ được thực chất và những cách giải bất phương Logarit là điều cực kỳ cần thiết.



Để gắng đượclý thuyết và bí quyết giải bài xích tập về bất phương trình Logarit hãy tìm hiểu kiến thức tổng quát về bất phương trình Logarit trước nhé. Xem tại bảng dưới đây:

*

1. Phương trình và bất phương trình Logarit

1.1. Phương trình Logarit

Phương trình Logarit là phương trình gồm chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu Logarit, gồm dạng $log_ax=b (a> b; a eq 1; x> 0)$ vào đó, x là ẩn số phải đi tìm.

Bạn đang xem: Bất phương trình logarit

Chứng minh phương trình trên gồm nghiệm:

- Áp dụng quan niệm Logarit ta có: $log_ax=b Leftrightarrow x=a^b$

- Minh họa bởi đồ thị hàm số, ta có:

*

Ta hoàn toàn có thể thấy đồ gia dụng thị của các hàm số $y=log_ax$ với y=b luôn cắt nhau tại một điểm $forall bin R$

Như vậy, phương trình Logarit$log_ax=b (a> b; a eq 1; x> 0)$ luôn luôn có nghiệm độc nhất vô nhị là $x=a^b$ với tất cả b

- Ví dụ: $log_3x=2 Leftrightarrow x=3^2=9$

1.2. Bất phương trình Logarit

Tương từ như phương trình Logarit,bất pt Logarit có dạng $log_ax> b; log_axgeqslant b; log_ax 0; a eq 1; x> 0$

Chứng minh bất phương trình Logarit $log_ax> b$ tất cả nghiệm

- Xét bất phương trình Loga, ta có:

+ Trường hòa hợp $a>1:log_ax> b Leftrightarrow x> a^b$

+Trường phù hợp $0 b Leftrightarrow 0

- Minh họa bất phương trình $log_ax> b$bằng đồ vật thị với 2 trường hợp, ta có:

*

Như vậy:

+ Trường phù hợp a>1:$log_ax> b$ khi và chỉ khi $x> a^b$

+ Trường đúng theo 0 b$ khi và chỉ còn khi $0

- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình Logarit $log_ax> b$ bao gồm

$log_ax> b$$a> 0$$a
Nghiệm$x> a^b$$0

Ví dụ: $log_3x> 5 Leftrightarrow x> 3^5 Leftrightarrow x= 243$

2. Những cách giải bất phương trình logarit

Để giải các bất pt Logarit, họ có những cách sau:

2.1. Giải bất PT Logarit bằng phương thức đưa về cùng cơ số

Ví dụ 1: (THPT Hàm long 2019) Bất phương trình $log_4(x+7)> log_2(x+1)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên

A. 3 B.1 C.4 D.2

Lời giải:Chọn D

Điều kiện xác minh của bất phương trình Logarit là:

$left{eginmatrixx+7> 0 và & \ x+1> 0 & & endmatrix ight.Leftrightarrow left{eginmatrixx> -7 và & \ x> -1& & endmatrix ight.Leftrightarrow x> -1$

Ta có: $log_4(x+7)> log^2(x+1)Leftrightarrow frac12log_2(x+7)> log^2(x+1)Leftrightarrow log_2(x+7)> log_2(x+1)^2$

$Leftrightarrow x^2+x-6

Kết hợp điều kiện bpt logarit ta được: $-1

Vì $xin Z $ đề xuất tìm đượcx=0, x=1

Ví dụ 2: (THPT 2 bà trưng - Huế - 2019) Có toàn bộ bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bpt logarit $log_frac12> 0$

A. vô vàn B.1 C.0 D.2

Lời giải: lựa chọn C

$log_frac12> 0$

$Leftrightarrow 0

$Leftrightarrow 1

$Leftrightarrow left{eginmatrix2-x^2 1& và endmatrix ight.Leftrightarrow left{eginmatrixx^2> 0& & \ x^2

Kết hợp với giả thiết x là số nguyên, ta thấy không có số nguyên x nào thỏa mãn nhu cầu bpt logarit$log_frac12> 0$

Từ 2 ví dụ như trên đến thấy, để áp dụng phương thức đưa về thuộc cơ số, ta chỉ cần phân tích, biến hóa các cơ số về thành cơ số chung. Từ đó ta mang về dạng bất phương trình cơ phiên bản và giải như bình thường.

2.2. Giải bất phương trình Logarit bằng phương thức đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: (Mã 123 2017) kiếm tìm tập nghiệm S của bpt logarit $log_2^2x-5log_2x+4geqslant 0$

A. $S=(-infty;1>cup <4;+infty >$

B.$S=<2;16>$

C.$S=(0;2>cup <16;+infty>$

D. $S= (-infty;2)cup<16;+infty)$

Lời giải: chọn C

- Điều kiện x>0

- BPT tương đương:$log_2xgeqslant 4$ hoặc $log _2xgeqslant 1log _2xgeqslant 1$

$xgeqslant 16$ hoặc $xleqslant 2$

- phối kết hợp điều kiện ta có: $S=(0;2>cup <16;+infty >$

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $log_x2(2+log_2x)> frac1log_2x2$

Lời giải:

Điều khiếu nại $left{eginmatrixx> 0 và & \ x eq 1& và \ x eq frac12& & endmatrix ight.$

(4) $log_x2(2+log_2x)> log_2(2x)Leftrightarrow log_x2(2+log_2x)> 1+log_2x$

Đặt $t=log_2x$, ta có:

$frac1t(2+t)> 1+tLeftrightarrow frac2+t-t(1+t)t> 0Leftrightarrow frac-t^2+2t> 0$ khi và chỉ còn khi: $0

+ cùng với trường thích hợp $0

+ với trường thích hợp $t

Vậy tập nghiệm của BPT (4) là $xin (0;2^-sqrt2)cup (1;2^sqrt2)$

Từ những ví dụ minh họatrên, ta có thể thấy mục đích của phương pháp này chủ yếu là thay đổi bất pt logarit sinh hoạt đề bài về các dạng bất phương trình logarit đại số quen thuộc thuộc. Để có tác dụng được như vậy, chúng ta chỉ yêu cầu phân tích cùng tìm ra điểm phổ biến giữa các cơ số. Tiếp nối đặt tên cho cơ số phổ biến rồi mang lại dạng bất phương trình $ax^2+bx+c geqslant 0$rồi giải như bình thường.

Xem thêm: Bí Thư Thứ Nhất Trung Ương Đoàn Tncs Hồ Chí Minh Hiện Nay Là Ai

2.3. Giải bất phương trình Logaritbằng phương thức hàm số

Ví dụ 1: Cho bất phương trình: $x+ log_2sqrtx+1+log_3sqrtx+9> 1 (5)$

Lời giải:

Điều kiện $x> -1$

Bất pt Logarit

$Leftrightarrow x+frac12log_2(x+1)+frac12log_3(x+9)> 1Leftrightarrow g(x)=2x+log_2(x+1)+ log_3(x+9)> 2$

$g"(x)= 2+ frac1(x+1)In2+frac1(x+9)In3> 0Rightarrow g(x)$ đồng vươn lên là trên $(-1;+infty )$

BPT $Leftrightarrow g(x)> g(0)Leftrightarrow x> 0$

Vậy nghiệm của BPT là $(0;+infty )$

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $2x^2-10x+10> log_2frac2x-2(x-2)^2$ (6)

Lời giải

Điều kiện: $x> frac12;x eq 2$

Khi kia BPT $Leftrightarrow 2(x-2)^2+ log_2(x-2)^2> 2.frac2x-12+log_2frac2x-12$

Ta có: $f<(x-2)^2)> > g frac2x-12Leftrightarrow (x-2)^2> frac2x-12$

Đáp số: $x> frac5+sqrt72; frac5-sqrt72> x> frac12$

Bên cạnh cách thức đưa về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ, họ hoàn toàn rất có thể áp dụng tính solo điệu của hàm số nhằm tìm ra tập nghiệm của các bất phương trình Logarit.

3. Các bài tập vềbất pt Logarit giỏi nhất, gồm lời giải

Tải trọn cỗ đề + đáp án bài xích tập Bất phương trình logarit tại:Tuyển lựa chọn BT bất phương trình logarit

Trên đó là những công thức cũng giống như bài tập vận dụng về bất phương trình Logarit mà những em có thể tham khảo. Chúc em học tốt!