Ở lớp 9, chúng ta đã biết về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, bài học này cho chúng ta kiến thức vềCác hệ thức lượng trong tam giác thường,liệu chúng có khác gì kiến thức lớp dưới, và thế nào là giải tam giác?


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lí côsin trong tam giác

1.2. Định lí sin trong tam giác

1.3. Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác

1.4. Diện tích tam giác

1.5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 3 chương 2 hình học 10

3.1 Trắc nghiệm vềCác hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

4.Hỏi đáp vềbài 3 chương 2 hình học 10


*

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

*

Ta đã biết rằng:\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay\(\vec {BC}^2=\vec {AB}^2+\vec {AC}^2\)

Chứng minh ngắn gọn theo tích vô hướng của hai vectơ ở bài học trước ta có được điều trên.

Bạn đang xem: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Như vậy, ta có phát biểu về định lí côsin trong tam giác:

Trong tam giác ABC, gọi\(Ab=c;AC=b;BC=a\), ta có:

\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)

\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)

\(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\)

Từ đó, ta có hệ quả sau:

\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)


Cho hình vẽ:

*

Ta dễ dàng nhận thấy rằng:

\(a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC\)

Chứng minh tương tự với tam giác thường, hệ thức trên vẫn đúng!

Ta rút ra được định lí sau:

Với mọi tam giác ABC, ta có:

\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)


Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM.

*

Gọi\(m_a;m_b;m_c\)lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c. Khi đó:

\(m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)

\(m_{b}^{2}=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)

\(m_{c}^{2}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\)


Ngoài kiến thức tính diện tích đã học ở cấp dưới là bằng nửa tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng, ta còn được biết thêm với các công thức sau:

Với tam giác ABC, kí hiệu\(h_a;h_b;h_c\)lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC,\(p=\frac{1}{2}(a+b+c)\)là nửa chu vi của tam giác, ta có các công thức tính diện tích S của tam giác ABC như sau:

\(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\)

\(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA\)

\(S=\frac{abc}{4R}\)

\(S=pr\)

\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)


1.5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế


Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác dựa trên điều kiện cho trước.

Ví dụ: Cho hình vẽ sau:

*

Hãy giải tam giác ABC.

Ta có:

\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)

\(\Leftrightarrow 6^2=5^2+3,61^2-2.5.3,61.cosA\)

\(\Leftrightarrow 36=25+13,03-36,1.cosA\)

\(\Rightarrow cosA=0,056\)\(\Rightarrow \widehat{A}\approx 86,77^o\)

Tương tự:

\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)

\(\Leftrightarrow 3,61^2=6^2+5^2-2.6.5.cosB\)

\(\Rightarrow cosB=0,779\)\(\Rightarrow \widehat{B}\approx 36,92^o\)

\(\Rightarrow \widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}\approx 56,3^o\)


Bài tập minh họa


Bài tập cơ bản

Bài 1:Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^o, \widehat{B}=80^o,a=6\). Tính hai cạnh a và c.

Xem thêm: Giải Bài Tập Vật Lý 6 Bài Nhiệt Kế Thang Nhiệt Độ, Giải Sbt Vật Lý 6: Bài 22

Hướng dẫn:

*

Dễ dàng tìm được\(\widehat{C}=180^o-60^o-80^o=40^o\)

Ta sẽ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R:

\(\frac{a}{sinA}=2R=\frac{6}{sin60^o}=4\sqrt{3}\)

Vậy:\(\frac{b}{sinB}=4\sqrt{3}\Rightarrow b=sinB.4\sqrt{3}=6,823\)

\(\frac{c}{sinC}=4\sqrt{3}\Rightarrow c=sinC.4\sqrt{3}=4,45\)

Bài 2:Tam giác ABC có\(a=10,b=11,c=14\). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính độ dài AM.

Hướng dẫn:

*

Ta có:\(AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{11^2+14^2}{2}-\frac{10^2}{4}=11,55\)

Bài tập nâng cao

Bài 1:Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c lần lượt là 5, 7 ,10. Cạnh của hình vuông có diện tích bằng diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?