Để tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ thì chúng ta sử dụng bình thường một công thức:

$left(dfracuv ight)’=dfracu’.v-u.v’v^2$

Một số dạng đặc biệt của hàm phân thức:

$ left (dfrac1x ight)’=dfrac-1x^2$; $ left (dfrac1u ight)’=dfrac-u’u^2$

Tuy nhiên cũng có thể có một số hàm phân thức chúng ta cũng có thể sử dụng những công thức tính đạo hàm nhanh. Thầy sẽ nói cụ thể trong từng dạng bên dưới nhé.

1. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

$y=dfracax+bcx+d$

Công thức tính cấp tốc đạo hàm: $y’=dfracad-bc(cx+d)^2$

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfrac2x+34x+2$ b. $y=dfrac-x-22x+5$

Hướng dẫn:

a. $y=dfrac2x+34x+2$

=> $y’=dfrac(2x+3)’.(4x+2)-(2x+3).(4x+2)’(4x+2)^2$

=> $y’=dfrac2(2x+2)-(2x+3).4(4x+2)^2$

=> $y’=dfrac8x+4-8x-12(4x+2)^2$

=> $y’=dfrac-8(4x+2)^2$

Sử dụng cách làm tính cấp tốc đạo hàm:

$y’=dfrac2.2-3.4(4x+2)^2$ => $y’=dfrac-8(4x+2)^2$

b. $y=dfrac-x-22x+5$

=> $y’=dfrac(-x-2)’.(2x+5)-(-x-2)(2x+5)’(2x+5)^2$

=> $y’=dfrac-1.(2x+5)-(-x-2).2(2x+5)^2$

=> $y’=dfrac-2x-5+2x+4(2x+5)^2$

=> $y’=dfrac-1(2x+5)^2$

Sử dụng bí quyết nhanh tính đạo hàm:

$y= dfrac-x-22x+5$ => $y’=dfrac(-1).5-(-2).2(2x+5)^2=dfrac-5+4(2x+5)^2=dfrac-1(2x+5)^2$

2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

$y=dfracax^2+bx+cdx+e$

Công thức tính cấp tốc đạo hàm:$y=dfracadx^2+2aex+be-cd(dx+e)^2$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+2x+34x+5$b. $y=dfrac2x^2+3x-4-5x+6$

Hướng dẫn:

a. $y’=dfrac(x^2+2x+3)’.(4x+5)-(x^2+2x+3)(4x+5)’(4x+5)^2$

=> $y’=dfrac(2x+2).(4x+5)-(x^2+2x+3).4(4x+5)^2$

=> $y’=dfrac8x^2+18x+10-4x^2-8x-12(4x+5)^2$

=> $y’=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$

Sử dụng bí quyết giải cấp tốc đạo hàm:

$y’=dfrac1.4x^2+2.1.5x+2.5-3.4(4x+5)^2=dfrac4x^2+10x-2(4x+5)^2$

b. $y’=dfrac(2x^2+3x-4)’.(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5x+6)’(-5x+6)^2$

=> $y’=dfrac(4x+3).(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5)(-5x+6)^2$

=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18-(-10x^2-15x+20)(-5x+6)^2$

=> $y’=dfrac-20x^2+9x+18+10x^2+15x-20)(-5x+6)^2$

=> $y’=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$

Sử dụng bí quyết tính nhanh đạo hàm:

$y’=dfrac2.(-5)x^2+2.2.6x+3.6-(-4)(-5)(-5x+6)^2=dfrac-10x^2+24x-2(-5x+6)^2$

3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

$y=dfraca_1x^2+b_1x+c_1a_2x^2+b_2x+c_2$

Công thức tính cấp tốc đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

*

=> $y’=dfrac(a_1b_2-a_2b_1)x^2+2(a_1c_2-a_2c_1)x+b_1c_2-b_2c_1(a_2x^2+b_2x+c_2)^2$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfracx^2+x-2-x^2+3x+2$

Ta có:

$y’=dfrac(x^2+x-2)’.(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-x^2+3x+2)’(-x^2+3x+2)^2$

=> $y’=dfrac(2x+1).(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-2x+3)(-x^2+3x+2)^2$

=> $y’=dfrac-2x^3+6x^2+4x-x^2+3x+2+2x^3-3x^2+2x^2-3x-4x+6(-x^2+3x+2)^2$

=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$

Sử dụng phương pháp tính nhanh đạo hàm:

$y’=dfrac<1.3-1.(-1)>x^2+2<1.2-(-2)(-1)>x+<1.2-(-2).3> (-x^2+3x+2)^2 $

=> $y’=dfrac4x^2+8(-x^2+3x+2)^2$

4. Một trong những trường hợp đặc biệt quan trọng khi tính đạo hàm của hàm phân thức

Ví dụ 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:a. $y=dfrac2x^2-2x+3$b. $y=left(dfracx+23x-1 ight)^3$

Hướng dẫn:

a. $y’=dfrac-2.(x^2-2x+3)’(x^2-2x+3)^2=dfrac-2(2x-2)(x^2-2x+3)^2$

b. $y’=3.left(dfracx+23x-1 ight)^2left(dfracx+23x-1 ight)’= 3.left(dfracx+23x-1 ight)^2.dfrac-7(3x-1)^2 $

(ý này chúng ta áp dụng cách làm đạo hàm $u^alpha=alpha.u^alpha-1.u’$ nhé)

Bài giảng bên trên cũng khá chi tiết và tương đối đầy đủ về những dạng toán tính đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ.


Bạn đang xem: Cách đạo hàm phân số


Xem thêm: Vì Sao Cần Phải Bón Phân Với Liều Lượng Hợp Lí Tùy Thuộc Vào Loại Đất

Nói chúng để tính được đạo hàm dạng này thì các bạn chỉ cần sử dụng chung độc nhất vô nhị một bí quyết $(dfracuv)’$ là rất có thể tính thoải mái và dễ chịu rồi. Nếu các bạn có thêm công thức tính nào hay thì hãy share dưới khung phản hồi nhé.