Phương trình, bất phương trình cùng hệ phương trình cất căn là 1 trong dạng toán phổ biến trong chương trình toán lớp 9 với lớp 10. Vậy có những dạng PT chứa căn nào? phương pháp giải phương trình chứa căn?… trong nội dung nội dung bài viết dưới dây, randy-rhoads-online.com để giúp đỡ bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ thể PT chứa căn, cùng mày mò nhé!


Mục lục

1 nhắc lại kỹ năng và kiến thức căn bản 2 mày mò về phương trình đựng căn bậc 2 2.3 phương pháp giải phương trình cất căn bậc 2 lớp 9 nâng cao3 tìm hiểu về phương trình đựng căn bậc 34 mày mò về phương trình chứa căn bậc 45 tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức5.2 giải pháp giải bất phương trình chứa căn khó 6 khám phá về hệ phương trình cất căn khó6.2 Giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 chứa căn

Nhắc lại kiến thức và kỹ năng căn bản 

Để xử lý được các bài toán phương trình chứa căn thì đầu tiên chúng ta phải nắm vững được những kiến thức về căn thức cũng tương tự các hằng đẳng thức quan tiền trọng.

Bạn đang xem: Cách giải hệ phương trình có căn


Định nghĩa căn thức là gì?

Căn bậc 2 (căn bậc hai) của một số (a) ko âm là số (x) thế nào cho (x^2=a)

Như vậy, từng số dương (a) gồm hai căn bậc 2 là (sqrta;-sqrta)

Tương từ bỏ như vậy, ta gồm định nghĩa căn bậc 3, bậc 4:

Căn bậc 3 (căn bậc ba) của một số (a) là số (x) làm sao cho (x^3=a). Từng số (a) chỉ có duy nhất 1 căn bậc 3

Căn bậc 4 của một vài (a) không âm là số (x) làm sao cho (x^4=a). Mỗi số dương (a) gồm hai căn bậc 4 là (sqrt<4>a;-sqrt<4>a)

Các hằng đẳng thức quan lại trọng 

*

Tìm gọi về phương trình chứa căn bậc 2 

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?

Phương trình cất căn bậc 2 là phương trình tất cả chứa đại lượng (sqrtf(x)). Với dạng toán này, trước khi ban đầu giải thì ta luôn phải tìm đk để biểu thức trong căn gồm nghĩa, tức là tìm khoảng tầm giá trị của (x) để (f(x) geq 0 ).

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 solo giản

Phương pháp bình phương 2 vế được thực hiện để giải PT chứa căn bậc 2. Đây được xem là cách thức đơn giản và hay được sử dụng nhất, thường được sử dụng với những phương trình dạng: (sqrtf(x)=g(x))

Bước 1: Tìm đk của (x) để (f(x) geq 0; g(x) geq 0)Bước 2: Bình phương nhì vế, rồi rút gọnBước 3: Giải tra cứu (x) và kiểm soát có thỏa mãn điều kiện tuyệt không.

Ví dụ :

Giải phương trình: (sqrtx^2-4x+3=3x-7)

Cách giải:

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x^2-4x+3 geq 0\ 3x-7 geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x-1)(x-3)geq 0\3x geq 7 endmatrix ight.)

(Leftrightarrowleft{eginmatrix left<eginarrayl x geq 3\x leq 1 endarray ight.\ xgeq frac73 endmatrix ight. Leftrightarrow xgeq 3)

Bình phương 2 vế, ta gồm :

(x^2-4x+3=3x-7 Leftrightarrow x^2-7x+10=0)

 (Leftrightarrow (x-2)(x-5)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl x=2\x=5 endarray ight.)

Kiểm tra điều kiện thấy (x=5) thỏa mãn

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho rằng (x=5)

Phương pháp giải phương trình đựng căn bậc 2 lớp 9 nâng cao

Phương pháp áp dụng bất đẳng thức

Phương pháp này sử dụng những bất đẳng thức cơ phiên bản để hội chứng minh:

Vế trái (geq) Vế nên hoặc Vế trái (leq) Vế nên rồi tiếp đến “ép” mang lại dấu “=” xảy ra.

Ví dụ :

 Giải phương trình : (sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 =2sqrt2)

Cách làm :

Điều kiện khẳng định :

(left{eginmatrix 5x-x^2-4 geq 0\ x-1 geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x-1)(x-4) leq 0\ x geq 1 endmatrix ight. Leftrightarrow 1leq x leq 4)

Áp dụng BĐT (sqrta + sqrtb leq sqrt2(a+b)), ta bao gồm :

(sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 leq sqrt2(6x-x^2-5))

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi:

 ( 5x-x^2-4=x-1 Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0 )

( Leftrightarrow left<eginarrayl x=1\x=3 endarray ight. hspace1cm (1))

Ta bao gồm : (6x-x^2-5 = -(x^2-6x+9)+4 =4-(x-3)^2leq 4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi (x=3 hspace1cm (2))

Vậy :

(sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 leq sqrt2(6x-x^2-5) leq sqrt8=2sqrt2) 

Do đó, để vừa lòng phương trình đã đến thì ((1)(2)) đề nghị thỏa mãn, xuất xắc (x=3)

Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

Với các phương trình dạng : (sqrtf(x) pm sqrtg(x) =k) ta rất có thể đặt ẩn phụ (left{eginmatrix a=sqrtf(x)\ b=sqrtg(x) endmatrix ight.) rồi giải hệ phương trình hai ẩn (a,b)

Ví dụ :

Giải phương trình :(sqrtx^2+5 – sqrtx^2-3 =2)

Cách giải:

Điều kiện khẳng định : (left<eginarrayl x geq sqrt3\x leq -sqrt3 endarray ight.)

Đặt (left{eginmatrix a= sqrtx^2+5\ b= sqrtx^2-3 endmatrix ight.) ta gồm :

(left{eginmatrix a-b =2\ a^2-b^2=8 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix a-b=2\ (a-b)(a+b)=8 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix a-b=2\a+b=4 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix a=3\ b=1 endmatrix ight.)

Thay vào ta tìm kiếm được (x=1) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là (x=1)

Tìm phát âm về phương trình chứa căn bậc 3

Giải phương trình đựng căn bậc 3 (sqrt<3>f(x)=g(x))

Với dạng bài bác này, ta lập phương hai vế nhằm phá bỏ căn thức rồi rút gọn sau đó quy về search nghiệm của phương trình : (g^3(x)-f(x)=0)

Ví dụ:

Giải phương trình : (sqrt<3>3x-4= x-2)

Cách giải:

Lập phương 2 vế phương trình ta gồm :

(3x-4=(x-2)^3Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-4 =0)

(Leftrightarrow (x-1)^2(x-4)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl x=1\x=4 endarray ight.)

Giải phương trình đựng căn bậc 3 (sqrt<3>A+sqrt<3>B=sqrt<3>C)

Với dạng bài bác này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành:

(A+B +3sqrt<3>AB(sqrt<3>A+sqrt<3>B)=C)

Thay (sqrt<3>A+sqrt<3>B=sqrt<3>C) vào ta được :

(sqrt<3>ABC=C-A-B (2) )

Phương trình quay trở lại dạng (sqrt<3>f(x)=g(x)).

Chú ý: sau khoản thời gian giải ra nghiệm, ta đề nghị thử lại vào phương trình đang cho vày phương trình ((2)) chỉ nên hệ quả của phương trình ban đầu

Ví dụ :

Giải phương trình :

(sqrt<3>3x-4+sqrt<3>x+3=sqrt<3>4x-1)

Cách giải:

Lập phương 2 vế ta được :

((3x-4)+(x+3)+3sqrt<3>(3x-4)(x+3).(sqrt<3>3x-4+sqrt<3>x+3)=4x-1)

(Rightarrow 3sqrt<3>(3x-4)(x+3).sqrt<3>4x-1=0)

(Rightarrow 3sqrt<3>(3x-4)(x+3).sqrt<3>4x-1=0 Rightarrow left<eginarrayl x=frac43\x=-3 \ x=frac14 endarray ight.)

Thử lại thấy cả 3 nghiệm hồ hết thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho tất cả 3 nghiệm là : (frac43; -3; frac14)

Tìm hiểu về phương trình cất căn bậc 4

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?

Để giải phương trình cất căn bậc 4 thì ta đề nghị năm rõ hằng đẳng thức sau đây:

((x+y)^4=x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4)

Phương pháp giải phương trình đựng căn bậc 4

Ví dụ :

Giải phương trình : (sqrt<4>x^4-4x^3+17-x+1)

Cách giải :

Điều kiện khẳng định :

( left{eginmatrix x^4-4x^3+17 geq 0\ x geq 1 endmatrix ight.)

Phương trình vẫn cho tương đương với :

(sqrt<4>x^4-4x^3+17=x-1 Rightarrow x^4-4x^3+17=(x-1)^4)

(Rightarrow x^4-4x^3+17=x^4 – 4 x^3 + 6 x^2 – 4 x + 1)

(Rightarrow 6x^2-4x-16=0 Rightarrow (x-2)(3x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2\x=-frac43 endarray ight.)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là (x=1)

Tìm hiểu về bất phương trình đựng căn thức

Về cơ bản, bí quyết giải bất phương trình đựng căn thức không khác cách giải PT đựng căn nhiều, nhưng trong những khi trình bày họ cần để ý về lốt của bất phương trình.

Các dạng bất phương trình đựng căn lớp 10

*

Cách giải bất phương trình chứa căn khó 

Giải bất phương trình đựng căn bậc hai bằng phương pháp bình phương hai vế

Các bước làm cũng như cách giải PT đựng căn

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (x-3-sqrt5-x geq 0)

Cách giải:

Điều kiện xác định :

(left{eginmatrix x-3 geq 0\ 5-x geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix x geq 3\ x leq 5 endmatrix ight. Leftrightarrow 3 leq x leq 5)

Bất phương trình vẫn cho tương tự với :

(x-3 geq sqrt5-x Leftrightarrow x^2-6x+9 geq 5-x)

(Leftrightarrow x^2-5x+4 geq 0 Leftrightarrow (x-4)(x-1)geq 0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x geq 4\ x leq 1 endmatrix ight.)

Kết hợp đk ta được nghiệm của bất phương trình đã cho rằng (x in mathbbR | xgeq 4)

Giải bất phương trình cất căn bậc hai bằng cách nhân liên hợp

Đây là phương thức nâng cao, dùng làm giải các bài toán bất PT chứa căn khó. Phương thức này dựa trên việc áp dụng các đẳng thức sau :

(sqrta – sqrtb =fraca-bsqrta + sqrtb)

(sqrta + sqrtb =fraca-bsqrta – sqrtb)

(sqrt<3>a – sqrt<3>b = fraca-bsqrt<3>a^2+sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

(sqrt<3>a + sqrt<3>b = fraca+bsqrt<3>a^2-sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (sqrtx+5-sqrt2x+3 geq x^2-4)

Cách giải:

Điều kiện :

(left{eginmatrix x geq -5\ x geq -frac32 endmatrix ight. Leftrightarrow xgeq -frac32)

Ta có:

(sqrtx+5-sqrt2x+3 = frac(x+5)- (2x+3)sqrtx+5+sqrt2x+3=frac2-xsqrtx+5+sqrt2x+3)

(x^2-4 =(x-2)(x+2))

Vậy bất phương trình vẫn cho tương tự với :

(frac2-xsqrtx+5+sqrt2x+3geq (x-2)(x+2))

(Leftrightarrow (x-2)(x+2+frac1sqrtx+5+sqrt2x+3) leq 0)

Từ ĐKXĐ bao gồm (x geq frac32 Rightarrow x+2 geq frac12 >0)

Vậy nên :

(x+2+frac1sqrtx+5+sqrt2x+3 geq 0)

Vậy bất phương trình đã cho tương đương với :

(x-2 leq 0 Leftrightarrow x leq 2)

Kết đúng theo Điều kiện xác định ta được nghiệm của bất phương trình đã cho rằng :

(-frac32 leq x leq 2)

*

*

*

*

Tìm hiểu về hệ phương trình đựng căn khó

Giải hệ phương trình đựng căn bằng phương thức thế

Đây là phương pháp đơn giản cùng thường được sử dụng trong những bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình đựng căn bằng phương pháp thế, ta làm cho theo công việc sau :

Bước 1: tìm kiếm Điều khiếu nại xác địnhBước 2: chọn một phương trình đơn giản hơn trong những hai phương trình, biến đổi để quy về dạng: (x =f(y))Bước 3: cầm cố (x =f(y)) vào phương trình sót lại rồi giải phương trình theo ẩn (y)Bước 4: từ bỏ (y) thay vào (x =f(y)) nhằm tìm ra (x). Đối chiều cùng với ĐKXĐ rồi kết luận

Ví dụ :

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix sqrtx+1=y+2\ sqrtx+2y-1=2y+1 endmatrix ight.)

Cách giải:

Điều kiện xác minh :

(left{eginmatrix xgeq -1\y geq -2 \ x geq 1-2y \ y geq -frac12 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix xgeq -1 \ x geq 1-2y \ y geq -frac12 endmatrix ight.)

Từ PT (1) ta gồm :

(x+1=(y+2)^2=y^2+4y+4)

(Leftrightarrow x= y^2-4y+3 hspace1cm(*))

Thay vào PT (2) ta được :

(sqrty^2+4y+3+2y-1 = 2y+1)

(Leftrightarrow y^2+6y+2 = 4y^2+4y+1)

(Leftrightarrow 3y^2 -2y-1 =0)

(Leftrightarrow (3y+1)(y-1)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl y=1\ y=-frac13 endarray ight.)

Thay vảo ((*)) ta được :

(left<eginarrayl y=1 ; x= 8\ y=-frac13; x=frac19 endarray ight.)

Kết hòa hợp điều kiện khẳng định thấy cả nhì cặp nghiệm phần đa thỏa mãn.

Xem thêm: Top 19 Con Diều Tiếng Anh Là Gì ? Nghĩa Của Từ : Kite

Giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 chứa căn

Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng một số loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ phương trình có 2 ẩn (x;y) sao để cho khi ta chuyển đổi vai trò (x;y) cho nhau thì hệ phương trình không cố gắng đổi:

(left{eginmatrix f(x;y)=0\g(x;y)=0 endmatrix ight.)

Với:

(left{eginmatrix f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)= g(y;x) endmatrix ight.)

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng một số loại 1 đựng căn

Đối cùng với dạng toán này, giải pháp giải vẫn tương đương như các bước giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1, để ý có thêm bước tìm ĐKXĐ

Bước 1: tìm kiếm Điều kiện xác địnhBước 2: Đặt (S = x + y; p. = xy) (với (S^2 geq 4P)) . Khi đó, ta chuyển hệ về hệ mới chứa (S;P) .Bước 3: Giải hệ bắt đầu tìm (S;P) . Lựa chọn (S;P) vừa lòng (S^2 geq 4P)Bước 4: với (S;P) tìm kiếm được thì (x;y) là nghiệm của phương trình: (t^2 -St +P =0) ( sử dụng định lý Vi-ét hòn đảo để giải )

Chú ý:

Một số biểu diễn đối xứng qua (S;P):

Nếu ((x;y)=(a;b)) là nghiệm thì ((x;y)=(b;a)) cũng chính là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ sqrtx+1 + sqrty+1=4 endmatrix ight.)

Cách giải :

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 endmatrix ight. hspace1cm (*))

Đặt (S=x+y hspace5mm; P=xy) cùng với (left{eginmatrix S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 endmatrix ight. hspace1cm (**))

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình sẽ cho tương tự với :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ x+y+2+sqrtx+y+xy+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S- sqrtP =3 \S+2+2sqrtS+P+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrtS+P+1 endmatrix ight.) cùng với (3leq Sleq 14)

Thay ( P= S^2 -6S +9 ) từ bỏ PT (1) vào PT (2) ta gồm :

(S-14 = -2sqrtS^2-5S+10)

(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))

(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S=6\S=-frac263 endmatrix ight.)

Kết phù hợp ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy (x=y=3) ( thỏa mãn điều kiện).

Bài viết trên phía trên của randy-rhoads-online.com đã giúp đỡ bạn tổng hợp triết lý về PT chứa căn thức cũng như cách thức giải phương trình cất căn, bất phương trình, hệ PT đựng căn. Mong muốn những kỹ năng trong bài viết sẽ giúp ích cho mình trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương trình chứa căn thức. Chúc bạn luôn học tốt!