Bài viết phía dẫn phương pháp ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tuyến phố cong, đấy là dạng toán thường gặp gỡ trong công tác Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng.

Bạn đang xem: Công thức diện tích hình phẳng

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. đến hai hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ thường xuyên trên đoạn $.$ diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị nhị hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai tuyến đường thẳng $x=a$, $x=b$ là: $S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$2. Coi lại bí quyết khử lốt giá trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất trong phương pháp tính diện tích hình phẳng.3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị nhị hàm số $y = f(x)$ với $y = g(x)$ cho bởi bí quyết $S = int_alpha ^eta | f(x) – g(x)|dx$, trong những số ấy $alpha $, $eta $ theo thứ tự là nghiệm nhỏ dại nhất và lớn số 1 của phương trình $f(x) – g(x) = 0.$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: call $S$ là diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ vật thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào sau đây đúng?A. $S = int_b^a | f(x) – g(x)|dx.$B. $S = int_a^b dx .$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$

Lời giải:Từ vật dụng thị ta bao gồm $f(x) – g(x) > 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^b dx .$$ = int_a^b f (x)dx – int_a^b g (x)dx$ $ = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 2: hotline $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai tuyến phố thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo cánh trong hình mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx. $B. $S = left| int_a^b dx ight|.$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$

Lời giải:Từ thứ thị ta tất cả $f(x) – g(x) ge 0$, $forall x in $ cùng $f(x) – g(x) le 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 3: hotline $S_1$ là diện tích s hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai tuyến phố thẳng $x = a$, $x = b$ $(a A. $S_1 > S_2.$B. $S_1 C. $S_1 = 2018S_2.$D. $S_2 = 2018S_1.$

Lời giải:Ta có:$S_1 = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$$S_2 = int_a^b | 2018f(x) – 2018g(x)|dx$ $ = 2018int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ Rightarrow S_2 = 2018S_1.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Tính diện tích s $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị các hàm số $y = x^2 + x$, $y = 3x$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=3.$A. $S = frac23.$B. $S = frac43.$C. $S = 3.$D. $S = 2.$

Lời giải:+ giải pháp 1:Ta có: $S = int_1^3 dx $ $ = int_1^3 dx .$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = – int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ = – left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_1^2$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_2^3 = 2.$Chọn đáp án D.+ bí quyết 2:Xét phương trình $x^2 + x – 3x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 otin <1;3>\x = 2 in <1;3>endarray ight..$Do đó: $S = int_1^3 x^2 – 2x ight $ $ = left| int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| _1^2 ight|$ $ + left| _2^3 ight| = 2.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 5: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị nhị hàm số $y = x^3 – x$ và $y = 3x.$A. $S=6.$B. $S=7.$C. $S=8.$D. $S=9.$

Lời giải:Xét phương trình $x^3 – 4x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm 2endarray ight..$Do kia $S = int_ – 2^2 dx $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 – 4x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^2 left( x^3 – 4x ight)dx ight|.$$ = left| left. left( fracx^44 – 2x^2 ight) ight ight|$ $ + left| _0^2 ight| = 8.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 6: Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số $y = x^3 – x$ và đồ thị hàm số $y = x – x^2.$A. $frac3712.$B. $frac94.$C. $frac8112.$D. $13.$

Lời giải:Xét phương trình $x^3 – x – x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = – 2\x = 1endarray ight..$Do kia $S = int_ – 2^1 dx $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^1 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| _ – 2^0 ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 + fracx^33 – x^2 ight) ight ight| = frac3712.$Chọn lời giải A.

Ví dụ 7: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị nhì hàm số $y = (x – 6)^2$, $y = 6x – x^2.$A. $S=9.$B. $S = frac92.$C. $S=48.$D. $S = frac523.$

Lời giải:Xét phương trình $(x – 6)^2 – 6x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow 2x^2 – 18x + 36$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 6endarray ight..$$ Rightarrow S = int_3^6 dx $ $ = left| int_3^6 left( 2x^2 – 18x + 36 ight)dx ight|.$$ = left| _3^6 ight| = 9.$Chọn lời giải A.

Ví dụ 8: diện tích hình phẳng giới hạn bởi mặt đường cong $y = x^2 + 1$, tiếp đường với mặt đường cong này trên điểm $M(2;5)$ và trục $Oy$ bằng:A. $frac512.$B. $frac83.$C. $4.$D. $frac10712.$

Lời giải:Ta có: $y = x^2 + 1$ $ Rightarrow y’ = 2x$ $ Rightarrow y"(2) = 4.$Phương trình tiếp tuyến đường của đường cong $y = x^2 + 1$ tại điểm $M(2;5)$ là:$y – 5 = 4(x – 2)$ $ Leftrightarrow y = 4x – 3.$Xét phương trình: $x^2 + 1 – 4x + 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$S = int_0^2 x^2 – 4x + 4 ight $ $ = int_0^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x – 2)^33 ight|_0^2 = frac83.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 9: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi mặt đường cong $y = x^3 – 3x$ cùng tiếp tuyến đường với mặt đường cong này tại điểm $M( – 1;2)$ bằng:A. $frac94.$B. $frac154.$C. $frac274.$D. $frac354.$

Lời giải:Ta có: $y = x^3 – 3x$ $ Rightarrow y’ = 3x^2 – 3$ $ Rightarrow y"( – 1) = 0.$Phương trình tiếp tuyến đường của con đường cong $y = x^3 – 3x$ tại điểm $M( – 1;2)$ là:$y – 2 = 0(x + 1)$ $ Leftrightarrow y = 2.$Xét phương trình: $x^3 – 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2\x = – 1endarray ight..$$S = int_ – 1^2 x^3 – 3x – 2 ight $ $ = left| int_ – 1^2 left( x^3 – 3x – 2 ight)dx ight|$ $ = left. left( fracx^44 – frac3x^22 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac274.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 10: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật thị hai hàm số $y = e^2x$, $y = e^ – x$ và con đường thẳng $x=1$ bằng $a.e^2 + frac1e + b$ cùng với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$A. $T = frac52.$B. $T = – frac52.$C. $T = – 1.$D. $T = – frac12.$

Lời giải:Xét phương trình $e^2x – e^ – x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do đó $S = int_0^1 e^2x – e^ – x ight $ $ = left| int_0^1 left( e^2x – e^ – x ight)dx ight|$ $ = left. left( frace^2x2 + e^ – x ight) ight|_0^1$ $ = frace^22 + frac1e – frac32.$$ Rightarrow a = frac12$, $b = – frac32$ $ Rightarrow T = 2a + b = – frac12.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 11: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị nhì hàm số $y = e^2x + e^x$, $y = 4e^x – 2$ bởi $fracab + cln 2$ với $fracab$ là phân số tối giản, $c$ là số nguyên. Tính $T = a^2 + b – c.$A. $T=9.$B. $T=1.$C. $T =15.$D. $T=13.$

Lời giải:Xét phương trình $e^2x + e^x – 4e^x + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20le^x = 1\e^x = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = ln 2endarray ight..$Do đó $S = int_0^ln 2 dx $ $ = left| int_0^ln 2 left( e^2x – 3e^x + 2 ight)dx ight|.$$ = left. left( frace^2x2 – 3e^x + 2x ight) ight|_0^ln 2$ $ = frac32 – 2ln 2.$$ Rightarrow a = 3$, $b = 2$, $c = – 2$ $ Rightarrow T = a^2 + b – c = 13.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 12: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị nhì hàm số $y = xe^x$, $y = me^x$ $(m > 1)$ và mặt đường thẳng $x=1.$A. $S = me – e^m.$B. $S = e^m – me.$C. $S = e^m – me – 2e.$D. $S = me – e^m + 2e.$

Lời giải:Xét phương trình $xe^x – me^x = 0$ $ Leftrightarrow x = m.$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = int_1^m left $ $ = int_1^m (m – x) e^xdx.$

*

$ Rightarrow S = left. (m – x)e^x ight|_1^m$ $ + left. E^x ight|_1^m$ $ = e^m – me.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 13: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị hai hàm số $y = 2xln x$, $y = 6ln x$ bằng $a + bln 3$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = 2a + b.$A. $T = 10.$B. $T=-7.$C. $T=7.$D. $T=-10.$

Lời giải:Xét phương trình $2xln x – 6ln x = 0$ $ Leftrightarrow (2x – 6)ln x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 1endarray ight..$$ Rightarrow S = int_1^3 | 2xln x – 6ln x|dx$ $ = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = (2x – 6)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\dv = x^2 – 6xendarray ight..$Khi kia $S = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|$ $ = left| _1^3 – int_1^3 (x – 6)dx ight|.$$ = left| left. left( x^2 – 6x ight)ln x ight ight|$ $ = – 8 + 9ln 3.$$ Rightarrow a = – 8$, $b = 9$ $ Rightarrow T = 2a + b = – 7.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 14: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = 2cos x$, $y = 3$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = fracpi 4$ bởi $fracabpi + fracsqrt 2 c$ với $fracab$ là phân số buổi tối giản, $c$ là số nguyên. Tính $T = 2a + b + c.$A. $T=-12.$B. $T=-9.$C. $T=9.$D. $T = 12.$

Lời giải:Ta có $S = int_0^fracpi 4 | 2cos x – 3|dx$ $ = int_0^fracpi 4 (3 – 2cos x)dx $ (vì $2cos x – 3 $ = left. (3x – 2sin x) ight|_0^fracpi 4$ $ = frac3pi 4 – sqrt 2 $ $ Rightarrow a = 3$, $b = 4$, $c = – 1$ $ Rightarrow T = 2a + b + c = 9.$Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 15: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị nhì hàm số $y = 1 + cos ^2x$, $y = sin ^2x$ và hai tuyến phố thẳng $x = 0$, $x = fracpi 4$ bởi $fracabpi + fraccd$ cùng với $fracab$, $fraccd$ là những phân số tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$A. $T=6.$B. $T =7.$C. $T =8.$D. $T=9.$

Lời giải:Ta bao gồm $S = int_0^fracpi 4 left $ $ = int_0^fracpi 4 | 1 + cos 2x|dx.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2x)dx $ (vì $1 + cos 2x ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 2 ight>$).$ = left. left( x + frac12sin 2x ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12$ $ Rightarrow a = 1$, $b = 4$, $c = 1$, $d = 2.$$ Rightarrow T = a + b + c + d = 8.$Chọn đáp án C.

Ví dụ 16: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = x^2$, $x = y^2$ bởi $fracab$ với $fracab$ là những phân số tối giản. Khi đó khoảng cách từ điểm $M(a;b)$ tới điểm $A(2;1)$ bằng:A. $1.$B. $sqrt 5 .$C. $5.$D. $sqrt 29 .$

Lời giải:Ta có $y = x^2$ cùng $x = y^2$ $ Rightarrow x,y ge 0.$Khi kia $x = y^2$ $ Leftrightarrow y = sqrt x .$Xét phương trình $x^2 – sqrt x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 1endarray ight..$Do đó $S = int_0^1 dx $ $ = left| int_0^1 left( x^2 – sqrt x ight)dx ight|$ $ = left| _0^1 ight| = frac13.$$ Rightarrow a = 1$, $b = 3$ $ Rightarrow M(1;3)$ $ Rightarrow MA = sqrt (2 – 1)^2 + (1 – 3)^2 = sqrt 5 .$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 17: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = left| x^2 – 3x + 2 ight|$, $y = x + 2$ bởi $fracab$ với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Xác minh nào sau đây là đúng?A. $a^2 – 4b + 2 = 0.$B. $a^2 + b – 58 = 0.$C. $a + b^2 – 40 = 0.$D. $a + 2b = 0.$

Lời giải:Xét phương trình: $left| x^2 – 3x + 2 ight| = x + 2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx + 2 ge 0\left< eginarray*20lx^2 – 3x + 2 = x + 2\x^2 – 3x + 2 = – x – 2endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 4endarray ight..$Do đó $S = int_0^4 left = frac313$ $ Rightarrow a = 31$, $b = 3$ $ Rightarrow a + b^2 – 40 = 0.$Chọn đáp án C.

Ví dụ 18: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi vật thị nhì hàm số $y = x^2 + 4x$, $y = 2x – m$ $(m > 1)$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ bằng $4.$ khẳng định nào tiếp sau đây đúng?A. $m>5.$B. $mC. $2 D. $m le 2.$

Lời giải:Với $m>1$, ta gồm $x^2 + 2x + m$ $ = (x + 1)^2 + m – 1 ge 0$, $forall x in R.$Khi đó: $S = int_0^1 dx $ $ = int_0^1 left( x^2 + 2x + m ight)dx .$$ = left. left( fracx^33 + x^2 + mx ight) ight|_0^1$ $ = m + frac43.$$S = 4$ $ Rightarrow frac43 + m = 4$ $ Leftrightarrow m = frac83$ $ Rightarrow 2 Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 19: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị nhị hàm số $y = x^2 – x$, $y = x + 3$ và hai tuyến đường thẳng $x = 0$, $x = m$ $(m > 3)$ bằng $fracm^33 – m^2.$ xác minh nào sau đây đúng?A. $m > 5.$B. $m ge 8.$C. $m le 5.$D. $7 Lời giải:Xét phương trình: $x^2 – x – x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x^2 – 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 3endarray ight..$Bảng xét dấu:

*

Ta có: $S = int_0^m left $ $ = – int_0^3 left( x^2 – 2x – 3 ight)dx $ $ + int_3^m left( x^2 – 2x – 3 ight)dx .$$ = – left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_0^3$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_3^m$ $ = fracm^33 – m^2 – 3m + 18.$$S = fracm^33 – m^2$ $ Rightarrow – 3m + 18 = 0$ $ Leftrightarrow m = 6$ $ Rightarrow m > 5.$Chọn đáp án A.

Ví dụ 20: diện tích s hình elip $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ bằng:A. $pi .$B. $2pi .$C. $3pi .$D. $4pi .$

Lời giải:Vẽ $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ như hình bên, ta suy ra:$S = 4int_0^4 fracsqrt 16 – x^2 dx4 $ $ = int_0^4 sqrt 16 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = 4sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = 4cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 4$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S = int_0^fracpi 2 sqrt 16 – 16sin ^2t .4cos tdt$ $ = – 16int_0^fracpi 2 cos ^2 tdt$ $ = 8int_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt .$$ = left. (8t + 4sin 2t) ight|_0^fracpi 2 = 4pi .$Chọn lời giải D.

Ví dụ 21: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ mang đến $(E)$ có phương trình $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ $(0 A. $ab=7.$B. $ab = 7sqrt 7 .$C. $ab = sqrt 7 .$D. $ab = 49.$

Lời giải:Diện tích hình tròn trụ $(C)$ là: $S_1 = pi R^2 = 7pi .$Diện tích hình elip $(E)$ là: $S_2 = 4int_0^a fracbsqrt a^2 – x^2 dxa $ $ = 4fracbaint_0^a sqrt a^2 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = asin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = acos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = a$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S_2 = 4fracbaint_0^fracpi 2 a^2 cos ^2tdt$ $ = 2abint_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. 2ableft( t + frac12sin 2t ight) ight|_0^fracpi 2$ $ = pi ab.$Theo đưa thiết ta có $S_2 = 7S_1$ $ Leftrightarrow pi ab = 49pi $ $ Leftrightarrow ab = 49.$Chọn lời giải D.Ghi chú: về sau ta dùng công dụng này mang lại nhanh các em nhé: “Elip gồm độ nhiều năm trục to và trục bé dại lần lượt là $2a$, $2b$ thì có diện tích s $S = pi ab$”.

Ví dụ 22: Parabol $y = x^2$ chia đường tròn trọng điểm là cội tọa độ, bán kính bằng $sqrt 2 $ thành hai phần. Hotline $S_1$ là diện tích phần nằm hoàn toàn trên trục hoành cùng $S_2$ là diện tích s phần còn lại. Cực hiếm $S_2 – 3S_1$ bằng?A. $fracpi 2 – 1.$B. $1 – fracpi 2.$C. $frac43.$D. $ – frac43.$

Lời giải:Đường tròn chổ chính giữa $O$, bán kính bằng $2$ gồm phương trình:$x^2 + y^2 = 2.$

*

Tìm những hoành độ giao điểm:$x^2 + x^2 = 2$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Tính những diện tích:Diện tích hình tròn $S = pi (sqrt 2 )^2 = 2pi .$$S_1 = 2int_0^1 left( sqrt 2 – x^2 – x^2 ight)dx $ $ = 2int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx – left. frac2x^33 ight|_0^1.$Đặt $x = sqrt 2 sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = sqrt 2 cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 1$ $ Rightarrow t = fracpi 4.$$int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx$ $ = int_0^fracpi 4 sqrt 2 – 2sin ^2t .sqrt 2 cos tdt.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. left( t + fracsin 2t2 ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12.$$ Rightarrow S_1 = fracpi 2 + frac13$ $ Rightarrow S_2 = S – S_1$ $ = frac3pi 2 – frac13$ $ Rightarrow S_2 – 3S_1 = – frac43.$Chọn câu trả lời D.

Xem thêm: Luyện Nói Văn Biểu Cảm Về Sự Vật Con Người Lớp 7, Luyện Nói Văn Biểu Cảm Về Sự Vật, Con Người

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Viết phương pháp tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị nhì hàm số $y = f_1(x)$, $y = f_2(x)$ thường xuyên trên đoạn $$ và các đường thẳng $x = a$, $x=b.$A. $S = int_a^b f_1(x) + f_2(x) ight .$B. $S = int_a^b left .$C. $S = left| int_a^b left( f_1(x) – f_2(x) ight)dx ight|.$D. $S = int_a^b left< f_2(x) – f_1(x) ight>dx .$

Câu 2: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = x^3$, $y = x^5$ bởi $fracab$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên dương cùng $fracab$ là phân số buổi tối giản. Tính $T = a + b.$A. $T = 5.$B. $T = 6.$C. $T = 7.$D. $T = 8.$

Câu 3: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = x^2 + 5$, $y = 6x$, $x = 0$, $x = 1$ bằng $fracab$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên dương với $fracab$ là phân số tối giản. Tính $T = log _2(a + b – 2).$A. $T = 2.$B. $T=3.$C. $T=4.$D. $T=8.$

Câu 4: call $S_1$ là diện tích s của hình phẳng số lượng giới hạn bởi elip $fracx^225 + fracy^29 = 1$ với $S_2$ là diện tích của hình thoi có các đỉnh là những đỉnh của elip đó. Tính tỉ số thân $S_1$ cùng $S_2.$A. $fracS_1S_2 = frac2pi .$B. $fracS_1S_2 = frac3pi .$C. $fracS_1S_2 = fracpi 3.$D. $fracS_1S_2 = fracpi 2.$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng được số lượng giới hạn bởi những đường $y = x^3$, $y = 2 – x^2$, $x = 0$ bằng $fracab$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên dương cùng $fracab$ là phân số buổi tối giản. Xác minh nào sau đấy là đúng?A. $a > 2b.$B. $a > b.$C. $a = b + 2.$D. $b = a + 2.$

Câu 6: Cho diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = fracln x2sqrt x $, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$ bởi $a + bsqrt e $ với $a$, $b$ là những số nguyên. Quý giá $a+b$ thuộc khoảng tầm nào sau đây?A. $(0;2).$B. $(2;4).$C. $(4;6).$D. $(6;8).$

Câu 7: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường trực tiếp $y = 2 – x$, $y = 0$, $x = m$, $x = 3$ $(m A. $(-4;-2).$B. $(-2;0).$C. $(0;2).$D. $(-6;-4).$

Câu 8: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = (e + 1)x$ với $y = left( e^x + 1 ight)x$ bằng $fracea + b$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = a + 2b.$A. $3.$B. $2.$C. $1.$D. $0.$

Câu 9: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường parabol: $(P):y = x^2 – 2x + 2$, tiếp tuyến của $(P)$ trên $M(3;5)$ cùng trục $Oy$ có giá trị thuộc khoảng tầm nào sau đây?A. $(2;4).$B. $(4;6).$C. $(6;8).$D. $(8;10).$

Câu 10: Parabol $y = fracx^22$ chia hình tròn có trọng tâm tại nơi bắt đầu tọa độ, nửa đường kính $2sqrt 2 $ thành $2$ phần. điện thoại tư vấn $S_1$, $S_2$ lần lượt là diện tích phần gạch chéo cánh và phần không gạch chéo cánh như hình vẽ.

*

Tính tỉ số $fracS_1S_2$ lấy quý hiếm gần đúng sản phẩm phần trăm.A. $0,43.$B. $0,53.$C. $0,63.$D. $0,73.$