A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Trong phương diện phẳng đến vectơ

*
. Phép biến hóa hình đổi thay mỗi điểm
*
thành điểm
*
sao cho
*
được call làphép tịnh tiến theo vectơ
*
.

Bạn đang xem: Công thức phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến theo vectơ

*
được kí hiệu là
*
.

Vậy thì

*
.

Nhận xét:

*
.

2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong khía cạnh phẳng

*
cho điểm
*
*
.

Gọi

*

Hệ

*
được gọi là biểu thức tọa độ của
*
.

3. đặc thù của phép tịnh tiến

- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

- đổi thay một mặt đường thẳng thành đường thẳng tuy vậy song hoặc trùng với đường thẳng sẽ cho.

- phát triển thành đoạn trực tiếp thành đoạn thẳng bởi nó.

- biến chuyển một tam giác thành tam giác bằng tam giác sẽ cho.

- vươn lên là một đường tròn thành đường tròn bao gồm cùng phân phối kính.

B. BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.

Phương pháp:

Sử dụng tư tưởng và các đặc thù hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1.Cho tam giác

*
, dựng hình ảnh của tam giác
*
qua phép tịnh tiến theo vec tơ
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

Để tìm hình ảnh của điểm

*
ta dựng hình bình hành
*
. Do
*
nên
*
, gọi
*
là điểm đối xứng với
*
qua
*
, khi đó
*

Suy ra

*
. Vậy ảnh của tam giác
*
là tam giác
*
.

Ví dụ 2.Trong khía cạnh phẳng tọa độ

*
, cho
*
. Hãy tìm hình ảnh của các điểm
*
qua phép tịnh tiến theo vectơ
*
.

A.
*
.
B.
*
.
C.
*
.
D.
*
.

Lời giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

*
.

Gọi

*
.

Tương từ bỏ ta có ảnh của

*
là điểm
*
.

Ví dụ 3.Trong mặt phẳng tọa độ

*
, cho
*
và đường thẳng
*
có phương trình
*
. Viết phương trình con đường thẳng
*
là ảnh của
*
qua phép tịnh tiến
*
.

A.
*
.
B.
*
.
C.
*
.
D.
*
.

Lời giải:

Cách 1.Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm

*
tùy ý thuộc
*
, ta có
*

Gọi

*

Thay vào (*) ta được phương trình

*
.

Vậy ảnh của

*
là mặt đường thẳng
*
.

Cách 2.Sử dụng đặc điểm của phép tịnh tiến

Do

*
nên
*
song tuy vậy hoặc trùng với
*
, bởi vì vậy phương trình con đường thẳng
*
có dạng
*
.(**)

Lấy điểm

*
. Khi đó
*
.

Do

*

Vậy ảnh của

*
là đường thẳng
*
.

Cách 3.Để viết phương trình

*
ta lấy hai điểm phân biệt
*
thuộc
*
, tra cứu tọa độ những ảnh
*
tương ứng của chúng qua
*
. Khi đó
*
đi qua hai điểm
*
*
.

Cụ thể: Lấy

*
thuộc
*
, lúc ấy tọa độ các hình ảnh tương ứng là
*
. Do
*
đi qua nhị điểm
*
nên bao gồm phương trình
*
.

Ví dụ 4.Trong khía cạnh phẳng tọa độ

*
, đến đường tròn
*
có phương trình
*
. Tìm hình ảnh của
*
qua phép tịnh tiến theo vectơ
*
.

A.
*
.
B.
*
.
C.
*
.
D.
*
.

Lời giải:

Cách 1.Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm

*
tùy ý thuộc con đường tròn
*
, ta có
*

Gọi

*

Thay vào phương trình (*) ta được

*
.

Vậy ảnh của

*
là đường tròn
*
.

Cách 2.Sử dụng đặc thù của phép tịnh tiến

Dễ thấy

*
có tâm
*
và phân phối kính
*
. Gọi
*
*
là trung ương và bán kính của
*
.

Ta có

*
*
nên phương trình của con đường tròn
*
*

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN khi BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.

Phương pháp:

Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của

*
. Để kiếm tìm tọa độ của
*
ta có thể giả sử
*
, sử dụng các dữ kiện trong trả thiết của việc để tùy chỉnh hệ phương trình nhị ẩn
*
và giải hệ tìm
*
.

Ví dụ 1.Trong mặt phẳng tọa độ

*
,cho mặt đường thẳng
*
. Tìm kiếm phép tịnh tiến theo vec tơ
*
có giá tuy vậy song với
*
biến
*
thành
*
đi qua điểm
*
.

A.
*
.
B.
*
.
C.
*
.
D.
*
.

Lời giải:

*
có giá song song với
*
nên
*

Lấy

*
. Gọi
*
thay vào
*

Hay

*
, mà
*
đi qua
*
.

Vậy

*
.

Ví dụ 2.Trong khía cạnh phẳng tọa độ

*
, cho đường nhị thẳng
*
*
. Search tọa độ
*
có phương vuông góc với
*
để
*
.

A.
*
.
B.
*
.
C.
*
.
D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
, rước điểm
*
tùy ý thuộc
*
, ta có
*

Gọi sử

*
.Ta có
*
, núm vào (*) ta được phương trình
*
.

Từ giả thiết suy ra

*
.

Vec tơ pháp đường của mặt đường thẳng

*
*
suy ra VTCP
*
.

Do

*
.

Ta có hệ phương trình

*
.Vậy
*
.

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm

*
ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đang biết sang 1 phép tịnh tiến, hoặc xem
*
là giao điểm của hai đường trong các số đó một đường cố định và thắt chặt còn một đường là hình ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.

Lưu ý:Ta thường được sử dụng kết quả: Nếu

*
*
thì
*
trong đó
*
và kết hợp với
*
thuộc hình
*

(trong giả thiết) suy ra

*
.

Ví dụ 1.Cho con đường tròn tâm

*
, phân phối kính
*
và hai điểm phân biệt
*
nằm ngoài
*
. Hãy dựng dây cung
*
của đường tròn
*
sao cho
*
là hình bình hành.

Lời giải:

Phân tích:Giả sử đã dựng được dây cung

*
thỏa mãn yêu thương cầu bài xích toán

Do

*
là hình bình hành nên
*
*
.

Nhưng

*
. Vậy
*
vừa thuộc
*
*
nên
*
chính là giao điểm của
*
*
.

Cách dựng:

- Dựng đường tròn

*
là hình ảnh của con đường tròn
*
qua
*
.

- Dựng giao điểm

*
của
*
*
.

- Dựng mặt đường thẳng qua

*
và tuy nhiên song với
*
cắt
*
tại
*
.

Dây cung

*
là dây cung thỏa yêu thương cầu bài xích toán.

Chứng minh:Từ bí quyết dựng ta có

*
là hình bình hành.

Biện luận:

- Nếu

*
2R" />thì câu hỏi vô nghiệm .

- Nếu

*
thì có một nghiệm .

- Nếu

*
. Dựng đường thẳng
*
song song với
*
, giảm hai cạnh
*
lần lượt tại
*
sao cho
*
.

Lời giải:

Phân tích:Giả sử đang dựng được đường thẳng

*
thỏa mãn bài xích toán. Từ
*
dựng con đường thẳng tuy nhiên song với
*
cắt
*
tại
*
, khi đó
*
là hình bình hành nên
*
. Lại có
*
suy ra
*
, từ kia ta có
*
là phân giác trong của góc
*
.

Cách dựng:

- Dựng phân giác trong

*
của góc
*
.

- Dựng con đường thẳng đi qua

*
song tuy nhiên với
*
cắt
*
tại
*
.

- Dựng ảnh

*
.

Đường thẳng

*
chính là con đường thẳng thỏa yêu cầu bài xích toán.

Chứng minh:Từ cách dựng ta có

*
là hình bình hành suy ra
*
*
, ta có
*
cân tại
*
*
.

Vậy

*
.

Biện luận:Bài toán gồm một nghiệm hình

Ví dụ 3.Cho hai tuyến phố tròn

*
*
cắt nhau tại
*
. Dựng mặt đường thẳng
*
đi qua
*
cắt những đường tròn tại các điểm máy hai
*
sao cho
*
cho trước.

Lời giải:


Giả sử đã dựng được mặt đường thẳng

*
đi qua
*
và cắt các đường tròn
*
tương ứng tại các điểm
*
sao cho
*
.

Kẻ

*
*
.

Xét

*
.

Do tam giác

*
vuông tại
*
nên
*
.


Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Nếu

*
và đểm
*
di cồn trên hình
*
thì điểm
*
thuộc hình
*
, vào đó
*
là hình ảnh của hình
*
qua
*
.

Ví dụ 1.Cho nhì điểm phân biệt

*
cố định trên đường tròn
*
tâm
*
. Điểm
*
di động trên
*
. Chứng tỏ khi
*
di đụng trên
*
thì trực trọng tâm của tam giác
*
di đụng trên một con đường tròn.

Lời giải:

Gọi

*
là trực vai trung phong của tam giác
*
*
là trung điểm của
*
. Tia
*
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
*
tại
*
. Vì
*
, nên
*
. Tương tự
*
, bởi đó
*
là hình bình hành.Suy ra
*
không đổi.

*
, bởi vậy khi
*
di động trên nhường nhịn tròn
*
thì
*
di động trên phố tròn
*
.

Ví dụ 2.Cho tam giác

*
có đỉnh
*
cố định,
*
không đổi và
*
không đổi. Tìm kiếm tập hợp những điểm
*
.

Lời giải:

Gọi

*
là trung tâm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác
*
, lúc ấy theo định lí sin ta có
*
không đổi

( do

*
không đổi).

Vậy

*
, nên
*
di động trên phố tròn tâm
*
bán kính
*
. Ta có
*
không đổi và
*
không thay đổi suy ra
*
không đổi. Khía cạnh khác
*
có phương không đổi nên
*
cũng bao gồm phương không đổi.

Đặt

*
không thay đổi , thì
*
.

Xem thêm: Văn Mẫu Phân Tích Nhân Vật Tấm Trong Truyện Cổ Tích Tấm Cám Hay Nhất

Vậy tập phù hợp điểm

*
là đường tròn
*
ảnh của
*
qua
*
, và tập vừa lòng điểm
*
là mặt đường tròn
*
ảnh của
*
qua
*
.