4 công thức 3: Khối tứ diện gần các (các cặp cạnh đối tương xứng bằng nhau)5 công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc thân cặp cạnh đối lập của tứ diện6 công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai phương diện kề nhau 8 cách làm 7: Khối tứ diện lúc biết những góc tại và một đỉnh

– Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất cứ và các trường hợp đặc biệt

Bài viết này randy-rhoads-online.com tổng đúng theo và reviews lại một số trong những công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một trong những trường hợp quan trọng hay gặp

https://www.randy-rhoads-online.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình diễn công thức tổng thể tính thể tích đến khối tứ diện bất kỳ khi biết độ dài toàn bộ 6 cạnh của tứ diện. Câu hỏi ghi nhớ các công thức này giúp các em giải quyết nhanh một số dạng bài bác khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT non sông 2019 – Môn Toán.

Bạn đang xem: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều

Đang xem: phương pháp tính nhanh thể tích tứ diện

Bài viết này trích lược một số công thức cấp tốc hay dùng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện cùng thể tích khối lăng trụ bạn đọc tham khảo khoá combo X do randy-rhoads-online.com desgin tại đây:https://www.randy-rhoads-online.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong số đó

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện mọi cạnh $a,$ ta bao gồm $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có chiều cao bằng . Thể tích của khối tứ diện đã cho là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện đông đảo cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện đầy đủ là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32hight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ song một vuông góc cùng $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta gồm $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần đa số (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã đến bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta tất cả $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ điện thoại tư vấn $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng bí quyết từ điểm $A$ cho mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta bao gồm $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ bao gồm $CD=8$ và theo phương pháp đường trung đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ vì vậy $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn giải đáp B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng phương pháp tính thể tích khối tứ diện gần những có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2ight)left( 6^2+7^2-5^2ight)left( 7^2+5^2-6^2ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn lời giải C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc thân cặp cạnh đối lập của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ có $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta tất cả $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá bán trị lớn số 1 thì khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $AD$ và $BC$ bằng

A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho hai mặt cầu $(S_1),(S_2)$ bao gồm cùng trung khu $I$ và nửa đường kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ gồm hai đỉnh $A,B$ vị trí $(S_1);$ nhì đỉnh $C,D$ nằm trên $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn số 1 bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo thứ tự là khoảng cách từ trọng tâm $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$

Ta có $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ và $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ cùng $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng tầm cách chéo cánh nhau của cặp cạnh đối diện có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 – a^2 sqrt 10 – b^2 = frac23left( asqrt 4 – a^2 sqrt 10 – b^2 + bsqrt 10 – b^2 sqrt 4 – a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 – a^4 sqrt 10 – b^2 + sqrt frac10b^2 – b^42 sqrt 8 – 2a^2 ight) leqslant frac23sqrt left( 4a^2 – a^4 + 8 – 2a^2ight)left( 10 – b^2 + frac10b^2 – b^42ight) = frac23sqrt left( – (a^2 – 1)^2 + 9ight)left( – frac12(b^2 – 4)^2 + 18ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . endgathered $

Dấu bởi đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn lời giải D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ gồm thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bởi $a.$ hiểu được $AB$ và $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của hai đáy cùng góc giữa hai đường thẳng $AB$ với $CD$ bằng $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn câu trả lời C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai mặt kề nhau

*

Ví dụ 1: cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc thân hai phương diện phẳng $(SAB)$ với $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã mang đến bằng

A. $a^3.$

B. $fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải đưa ra tiết. call $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta tất cả $left{ egingathered AB ot SB hfill AB ot SH hfill endgatheredight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill AC ot SH hfill endgatheredight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt khác $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC)ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22ight)left( fracasqrta^2+h^22ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) cùng (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ có $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD)ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải chi tiết. gọi $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta tất cả $left{ egingathered CB ot tía hfill CB ot AH hfill endgatheredight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ giống như $left{ egingathered CD ot domain authority hfill CD ot AH hfill endgatheredight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết phù hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD)ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065ight)^2(2).$

Kết vừa lòng (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ lân cận $SA$ vuông góc với đáy với góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bởi $60^0,$ lúc đó $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1ight).$

Mặt khác $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD)ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong kia $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) cùng (2) suy ra Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 4: mang đến tứ diện $ABCD$ bao gồm $ABC$ cùng $ABD$ là tam giác đều cạnh bởi $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD)ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24ight)left( dfracsqrt3a^24ight)3asin left( (ABC),(ABD)ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24ight)left( fracsqrt3a^24ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bởi đạt tại $(ABC)ot (ABD).$ Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Sơ Đồ Tư Duy Lịch Sử 12 Phần Lịch Sử Việt Nam, Sơ Đồ Tư Duy Lịch Sử 12

Công thức 6:Mở rộng đến khối chóp có diện tích s mặt bên và mặt đáy

Khối chóp $S.A_1A_2…A_n$ gồm $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2…A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2…A_n)ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện lúc biết những góc tại và một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ hoàn toàn có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Tứ diện này có độ dài toàn bộ các cạnh ta tính các góc tại một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc khởi nguồn từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 endgatheredight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211ight)^2-left( dfrac52sqrt11ight)^2-left( dfrac1sqrt2ight)^2=5.$