Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1.Ví dụ mở đầu:

Ví dụ 1: từ 1 đoạn thẳng tất cả độ nhiều năm là a. Hãy tạo thành thành 1 tam giác có diện tích s lớn nhất

Ký hiệu cha cạnh tam giác là x, y, z và p là nửa chu vi tam giác.

Bạn đang xem: Điều kiện có cực trị

Ta yêu cầu tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Bài xích toán mang về t2im cực to của hàm số:

*
Thông thường, phương trình f(x,y) = 0 là phương trình của mặt đường cong (C). Như vậy, ta chỉ đối chiếu
*
cùng với
*
khi M nằm tại (C).

Tương tự, ta cũng đều có định nghĩa cực lớn có điều kiện.

Cực tiểu có đk và cực đại có đk được gọi thông thường là rất trị bao gồm điều kiện.

4. Các phương pháp tìm rất trị bao gồm điều kiện:

4.1 cách 1: Đưa về việc tìm rất trị của hàm 1 biến

Nếu từ điều kiện (2) ta giải tìm được y = y(x) thì khi cầm cố vào hàm số

*
ta bao gồm z là hàm theo 1 biến đổi số x:
*
. Như vậy, việc trở về việc tìm cực trị của hàm hàng đầu biến. —–> thừa quen thuộc!!!

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm

*
với đk
*

Từ điều kiện trên ta rút ra:

*
. Bởi thế y xác định với những x.

Thay vào hàm số ta có:

*

Đây là hàm hàng đầu biến, hàm số này khẳng định khi

*

Ta có:

*

Như vậy, hàm số không tồn tại cực trị có đk vì

*
không thuộc miền khẳng định của hàm số.

4.2 cách 2: phương pháp Larrange:

Nếu từ pt (2) ta không giải search y theo x được. Khi đó, giả sử (2) khẳng định 1 hàm ẩn theo biến x:

*
. Để mãi mãi hàm số ẩn, ta giả thiết
*
(*)

Như vậy: hàm số

*
, với y là hàm theo x chính là hình ảnh hàm số hòa hợp của phát triển thành số x thông qua biến trung gian y.

Với mọi giá trị của x khiến cho z rất có thể có rất trị thì đạo hàm của z theo x đề xuất triệt tiêu.

Vậy lấy đạo hàm của (1) theo biến đổi x với phép tắc hàm hòa hợp (nhớ rằng y là hàm theo x) ta có:

*

Do đó, tại gần như điểm rất trị ta cần có:

*
(3)

Từ điều kiện (2), ta đem đạo hàm 2 vế theo x. Ta có:

*
(4)

Đẳng thức (4) này được thỏa mãn với những x, y thỏa mãn phương trình (2).

Như vậy, tại đông đảo điểm cực trị thỏa mãn nhu cầu điều kiện (2) thì sẽ thỏa mãn nhu cầu (3) với (4)

Nhân các số hạng của (4) với hệ số chưa khẳng định

*
và cộng bọn chúng với các số hạng khớp ứng của (3), ta được:

*

Hay:

*
(5)

Do đó, phương trình (5) cũng nghiệm đúng tại số đông điểm rất trị thỏa điều kiện (2). Tự (5), ta lựa chọn hằng số

*
thế nào cho tại số đông điểm rất trị, hệ số của
*
vẫn triệt tiêu.

Nghĩa là:

*
(6)

Vì vậy, từ bỏ phương trình (5) và (6) ta có: đều điểm rất trị có điều kiện sẽ là nghiệm của hệ phương trình:

*

Bây giờ, ta xét hàm số Larrange:

*

Khi đó những điểm cực trị địa phương của hàm Larrange sẽ thỏa mãn nhu cầu hệ:

*

Từ (I) và (II) ta nhấn thấy: đa số điểm giới hạn của hàm Larrange hoàn toàn có thể là rất trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện (2).

Như vậy, vấn đề cực trị có đk trở về câu hỏi cực trị địa phương của hàm Larrange. Ở đây

*
chỉ vào vai trò phụ và sau khi tìm kiếm được giá trị
*
thì không cần đến.

Xem thêm: Gooddollar Là Gì ? Kiếm Đồng G$ Miễn Phí Gooddollar Là Gì

Điều kiện của rất trị có điều kiện liên quan đến việc điều tra dấu của vi phân cấp 2 của hàm Larrange trên điểm

*

*

trong đó: dx, dy không hẳn là đầy đủ giá trị bất kỳ mà đề xuất thỏa điều kiện:

*
vào đó:
*

Nếu

*
0 " class="latex" /> với đa số giá trị hoàn toàn có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu bao gồm điều kiện.