Hôm nay bọn họ sẽ học về nhì định lý hình học, đó là định lý Ceva và định lý Menelaus. Nhì định lý này được dùng không hề ít trong hình học phẳng cũng chính vì chúng mang đến phép họ chứng minh về những điểm thẳng sản phẩm và các đường thẳng đồng quy. Bọn họ sẽ sử dụng một định lý về tỷ lệ diện tích tam giác để chứng tỏ hai định lý này. Cuối cùng, họ sẽ không ngừng mở rộng định lý Ceva cùng định lý Menelaus cho những đa giác bất kỳ.

Bạn đang xem: Định lý menelauyt



Chúng ta phân phát biểu nhì định lý.Định lý Ceva:
mang lại tam giác $ABC$ và tía điểm $A"$, $B"$, $C"$ thứu tự nằm trên tía đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì tía đường trực tiếp $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy khi và chỉ khi $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = -1.$$Định lý Menelaus: mang đến tam giác $ABC$ và tía điểm $A"$, $B"$, $C"$ thứu tự nằm trên cha đường trực tiếp $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì tía điểm $A"$, $B"$, $C"$ thẳng hàng khi còn chỉ khi $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = 1.$$

Tỷ lệ có dấuTrước hết, chúng ta giải phù hợp về ký kết hiệu mà họ đã dùng trong nhị định lý. Cam kết hiệu $fracvecA"BvecA"C$ được hotline là xác suất có dấu
. Họ nhìn hình vẽ dưới đây. Trong hình mẫu vẽ này chúng ta thấy rằng tỷ lệ thông hay là $fracUXUY = 2$, tuy nhiên, phần trăm có lốt lại là $fracvecUXvecUY = -2$. Đó bởi vì $vecUX$ với $vecUY$ được đặt theo hướng ngược nhau.
*

Tỷ lệ thường thì thì khi nào cũng là số dương. Nhưng phần trăm có dấu, có thể là số âm, cũng có thể là số dương. Tỷ lệ có lốt $fracvecUXvecUY$ là số dương trường hợp $vecUX$ cùng $vecUY$ có cùng hướng, và là số âm nếu như $vecUX$ với $vecUY$ gồm ngược hướng.Vì sao họ cần tỷ lệ có dấu?
Đó là vì phần trăm thông hay không thể dùng để xác định được một điểm duy nhất trên phố thẳng. Trong những khi đó tỷ lệ có dấu lại có điểm mạnh này.Chúng ta mang ví dụ. Giả sử trên tuyến đường thẳng $XY$, bọn họ cần khẳng định điểm $Z$ sao để cho $fracZXZY = 2$.
*

Nhìn hình vẽ trên đây, ví như dùng xác suất thông thường, thì chúng ta có thể tìm được hai điểm thoã mãn, chính là $U$ và $V$ cũng chính vì $$fracUXUY = fracVXVY = 2.$$Nếu chúng ta dùng phần trăm có dấu, thì chỉ bao gồm duy nhất
một điểm $V$ thoã mãn $fracvecVXvecVY = 2$.Điểm $U$ sẽ không còn thoã mãn bởi vì $fracvecUXvecUY = -2 eq 2$. Diện tích có dấuTương từ như xác suất có dấu, chúng ta có thể định nghĩa diện tích có dấu. Diện tích thông thường thì khi nào cũng là số dương, nhưng diện tích có dấu rất có thể là số âm, cũng rất có thể là số dương, nhờ vào vào chiều quay của các đỉnh.Trong khía cạnh phẳng, nếu chúng ta vẽ một hệ trục tọa độ $0xy$ thì đầy đủ điểm $A$ trong phương diện phẳng sẽ có toạ độ $(A_x, A_y)$. Họ định nghĩa $$ = A_x B_y - A_y B_x$$ và ăn mặc tích bao gồm dấu của tam giác $ABC$ là $$overlines(ABC) = frac12( + + ).$$
*

Ở mẫu vẽ trên, bọn họ có tọa độ của những điểm là $A(-5,2)$, $B(-3,7)$, $C(3,2)$. Các chúng ta có thể tính được $$ = A_x B_y - A_y B_x = (-5) (7) - (2) (-3) = -29,$$ $$ = B_x C_y - B_y C_x = (-3) (2) - (7) (3) = -27,$$ $$ = C_x A_y - C_y A_x = (3) (2) - (2) (-5) = 16.$$ do đó $$overlines(ABC)= frac12( + + )= frac12(-29-27+16)=-20.$$Trong lúc ấy $=-16$, $=27$, $=29$ với $overlines(ACB)= 20$.Định lý về xác suất diện tíchBây giờ bọn họ sẽ phát biểu về một định lý đơn giản về phần trăm diện tích mà họ sẽ cần sử dụng để chứng tỏ định lý Ceva và định lý Menelaus.Định lý về tỷ lệ diện tích.
mang đến hai tam giác $ABU$ với $ABV$ có cùng một cạnh phổ biến $AB$. Đường thẳng nối hai đỉnh $UV$ giảm đường trực tiếp $AB$ tại điểm $T$. Vậy thì $$fracoverlines(ABU)overlines(ABV) = fracvecTUvecTV.$$
Định lý này hơi là rõ ràng nếu bọn họ chỉ xem xét tỷ lệ thông thường (không có dấu). Đó là do nếu chúng ta kẻ những đường cao $UU"$ với $VV"$ đi xuống đường thẳng $AB$ thì $$fracs(ABU)s(ABV) = fracAB imes UU" / 2AB imes VV" /2 = fracUU"VV" = fracTUTV.$$ Kỳ sau chúng ta sẽ minh chứng định lý này mang đến trường hợp phần trăm có dấu.Chứng minh Định lý Ceva cùng Định lý MenelausDùng định lý về tỷ lệ diện tích, chúng ta có cách chứng minh rất dễ dàng và đơn giản và thú vị đến Định lý Ceva với Định lý Menelaus.Chứng minh Định lý Ceva.
đưa sử tía đường trực tiếp $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy trên điểm $I$. Vậy thì theo định lý về xác suất diện tích, bọn họ có $$fracvecA"BvecA"C = fracoverlines(IAB)overlines(IAC), ~~~~fracvecB"CvecB"A = fracoverlines(IBC)overlines(IBA), ~~~~fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(ICA)overlines(ICB).$$
Vậy $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(IAB)overlines(IAC) imes fracoverlines(IBC)overlines(IBA) imes fracoverlines(ICA)overlines(ICB)$$ $$= left( - fracoverlines(IAB)overlines(ICA) ight) imes left( - fracoverlines(IBC)overlines(IAB) ight) imes left( - fracoverlines(ICA)overlines(IBC) ight) = -1.$$Trường vừa lòng ngược lại, nếu $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = -1,$$ bọn họ cần minh chứng rằng bố đường thẳng $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy. đưa sử $AA"$ với $BB"$ giảm nhau tại $I$. Call $C""$ là giao điểm của $CI$ cùng $AB$, họ cần chứng tỏ $C"" = C"$. Thực vậy, bởi vì $AA"$, $BB"$, $CC""$ đồng quy nên theo như những gì họ vừa triệu chứng minh chấm dứt thì $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC""AvecC""B = -1$$ vì vậy $$fracvecC""AvecC""B = fracvecC"AvecC"B.$$ Vì tỷ lệ có dấu xác định duy nhất
một điểm trên đường thẳng $AB$ cho nên vì vậy $C" = C""$.Vậy họ chứng minh ngừng định lý Ceva.Chứng minh Định lý Menelaus. đưa sử bố đường thẳng $A"$, $B"$, $C"$ thẳng hàng. Họ lấy ngẫu nhiên hai điểm $I$ cùng $J$ nằm trê tuyến phố thẳng $A"B"C"$. Theo định lý về tỷ lệ diện tích, chúng ta có $$fracvecA"BvecA"C = fracoverlines(IJB)overlines(IJC), ~~~~fracvecB"CvecB"A = fracoverlines(IJC)overlines(IJA), ~~~~fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(IJA)overlines(IJB).$$
Vậy $$fracvecA"BvecA"C imes fracvecB"CvecB"A imes fracvecC"AvecC"B = fracoverlines(IJB)overlines(IJC) imes fracoverlines(IJC)overlines(IJA) imes fracoverlines(IJA)overlines(IJB) = 1.$$Trường hợp trái lại thì chứng tỏ tương tự như định lý Ceva.Như vậy chúng ta đã bệnh minh chấm dứt định lý Ceva cùng định lý Menelaus. Các bạn học cấp 2 không học về phần trăm có dấu và mặc tích bao gồm dấu thì vẫn hoàn toàn có thể dùng cách chứng tỏ này được bằng phương pháp sử dụng phần trăm thông thường và diện tích thông thường. Riêng đối với định lý Menelaus, thay vì dùng xác suất diện tích, các chúng ta cũng có thể sử dụng phần trăm đường cao hạ từ những đỉnh $A$, $B$, $C$ ra ngoài đường thẳng $A"B"C"$.
Mở rộng Định lý Ceva và Định lý MenelausChúng ta thấy cách chứng tỏ ở bên trên rất đơn giản, tuy thế thú vị tại vị trí là họ dễ dàng không ngừng mở rộng được Định lý Ceva cùng Định lý Menelaus cho một đa giác bất kỳ.Ví dụ dưới đấy là định lý Ceva cùng định lý Menelaus mang lại ngũ giác.Định lý Ceva mang đến ngũ giác.
mang lại ngũ giác $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5$ và năm điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ theo lần lượt nằm bên trên năm con đường thẳng $A_5 A_2$, $A_1 A_3$, $A_2 A_4$, $A_3 A_5$, $A_4 A_1$. Nếu những đường thẳng $A_1 B_1$, $A_2 B_2$, $A_3 B_3$, $A_4 B_4$, $A_5 B_5$ đồng quy thì $$fracvecB_1 A_5vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_1vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_2vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_3vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_4vecB_5 A_1= -1.$$
Chứng minh.
mang sử năm đường thẳng $A_1 B_1$, $A_2 B_2$, $A_3 B_3$, $A_4 B_4$, $A_5 B_5$ đồng quy trên điểm $I$ thì theo định lý về xác suất diện tích, họ có $$fracvecB_1 A_5vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_1vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_2vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_3vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_4vecB_5 A_1$$ $$= fracoverlines(I A_1 A_5)overlines(I A_1 A_2) imes fracoverlines(I A_2 A_1)overlines(I A_2 A_3) imes fracoverlines(I A_3 A_2)overlines(I A_3 A_4) imes fracoverlines(I A_4 A_3)overlines(I A_4 A_5) imes fracoverlines(I A_5 A_4)overlines(I A_5 A_1)$$ $$= left( - fracoverlines(I A_5 A_1)overlines(I A_1 A_2) ight) left( - fracoverlines(I A_1 A_2)overlines(I A_2 A_3) ight) left( - fracoverlines(I A_2 A_3)overlines(I A_3 A_4) ight) left( - fracoverlines(I A_3 A_4)overlines(I A_4 A_5) ight) left( - fracoverlines(I A_4 A_5)overlines(I A_5 A_1) ight) = -1.$$Định lý Menelaus cho ngũ giác. mang đến ngũ giác $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5$ cùng năm điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ theo lần lượt nằm bên trên năm con đường thẳng $A_1 A_2$, $A_2 A_3$, $A_3 A_4$, $A_4 A_5$, $A_5 A_1$. Nếu những điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ thẳng sản phẩm thì $$fracvecB_1 A_1vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_2vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_3vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_4vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_5vecB_5 A_1= 1.$$
Chứng minh.
trả sử năm điểm $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$ nằm trên thuộc một đường thẳng, họ lấy ngẫu nhiên hai điểm $I$, $J$ trê tuyến phố thẳng này thì theo định lý về tỷ lệ diện tích, chúng ta có $$fracvecB_1 A_1vecB_1 A_2 imes fracvecB_2 A_2vecB_2 A_3 imes fracvecB_3 A_3vecB_3 A_4 imes fracvecB_4 A_4vecB_4 A_5 imes fracvecB_5 A_5vecB_5 A_1$$ $$= fracoverlines(I J A_1)overlines(I J A_2) imes fracoverlines(I J A_2)overlines(I J A_3) imes fracoverlines(I J A_3)overlines(I J A_4) imes fracoverlines(I J A_4)overlines(I J A_5) imes fracoverlines(I J A_5)overlines(I J A_1) = 1.$$ Bây giờ chúng ta phát biểu định lý Ceva cùng định lý Menelaus cho đa giác bất kỳ.Định lý Ceva chođagiác.Cho đagiác $n$-cạnh$A_1 A_2 dots A_n$ với $n$ điểm $B_1$, ..., $B_n$, trong số đó điểm $B_i$ nằm trê tuyến phố thẳng $A_i-1 A_i+1$. Nếu như $n$ mặt đường thẳng $A_1 B_1$, $A_2 B_2$, ..., $A_n B_n$ đồng quy thì $$prod_i=1^n fracvecB_i A_i-1vecB_i A_i+1 = (-1)^n.$$Định lý Menelaus chođagiác.Cho đagiác $n$-cạnh$A_1 A_2 dots A_n$ cùng $n$ điểm $B_1$, ..., $B_n$, trong các số ấy điểm $B_i$ nằm trê tuyến phố thẳng $A_i A_i+1$. Nếu các điểm $B_1$, $B_2$, ..., $B_n$ thẳng hàng thì $$prod_i=1^n fracvecB_i A_ivecB_i A_i+1 = 1.$$Như vậy hôm nay chúng ta đã học về định lý Ceva và định lý Menelaus. Cả hai định lý được chứng tỏ nhờ sử dụng một định lý vềtỷ lệ diện tích tam giác.Cách chứng tỏ này thật là hay vì chưng nó mang lại phép bọn họ mở rộng hai định lý này cho đa giác bất kỳ.Chúng ta tạm dừng ở đây. Xin hẹn chạm mặt lại các bạn ở kỳ sau.Bài tập về nhà.1. Ở trong hình bên dưới đây, minh chứng rằng $$fracUBUC = fracVBVC.$$
2. Mang đến tam giác $ABC$ với độ dài những cạnh $AB = c$, $BC = a$, $CA = b$. Mang sử con đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh ở các điểm $A"$, $B"$, $C"$. Tính những độ lâu năm $AB"$, $AC"$, $BA"$, $BC"$, $CA"$, $CB"$ theo $a$, $b$, $c$. Chứng minh rằng tía đường thẳng $AA"$, $BB"$, $CC"$ đồng quy.

Xem thêm: Thế Nào Là Hòa Bình - Ý Nghĩa Của Hòa Bình


3. Mở rộng định lý Menelaus mang đến trường hợp các điểm trong không gian. Chẳng hạn với 4 điểm bọn họ có việc sau.Cho tứ diện $ABCD$. Một phương diện phẳng cắt các đường thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ tại các điểm $X$, $Y$, $Z$, $T$. Chứng tỏ rằng $$fracvecXAvecXB imes fracvecYBvecYC imes fracvecZCvecZD imes fracvecTDvecTA = 1.$$
4. đem ví dụ một vài ba điểm $A$, $B$, $C$ trên hệ trục toạ độ $0xy$ rồi tính diện tích có dấu $overlines(ABC)$. Các bạn có phát hiện nay ra khi nào thì $overlines(ABC)$ là số dương và bao giờ $overlines(ABC)$ là số âm không?5. Lấy ví dụ một vài ba điểm $A$, $B$, $C$ ở thẳng sản phẩm trên hệ trục toạ độ $0xy$ rồi tính diện tích có vết $overlines(ABC)$.6. Chứng minh rằng $ = -$, $ = 0$ cùng $overlines(ABC) = -overlines(ACB)$.7. Hotline $O$ là trung ương điểm của hệ trục toạ độ $0xy$. Chứng tỏ rằng $$overlines(OAB) = frac12 , ~~~~overlines(OBC) = frac12 , ~~~~overlines(OCA) = frac12 ,$$từ kia suy ra $$overlines(ABC) = overlines(OAB) + overlines(OBC) + overlines(OCA).$$Sử dụng hằng đẳng thức trên để chứng tỏ rằng với tất cả điểm $M$, chúng ta có $$overlines(ABC) = overlines(MAB) + overlines(MBC) + overlines(MCA)$$8. đem ví dụ một vài ba điểm $A$, $B$, $C$, $D$ bên trên hệ trục toạ độ $0xy$ rồi tính diện tích có lốt $$overlines(ABCD) = frac12( + + + ).$$Kiểm tra xem diện tích thông thường $s(ABCD)$ gồm tương xứng với diện tích s có vết $overlines(ABCD)$ không.Mở rộng lớn khái niệm diện tích s có dấu cho một đa giác bất kỳ.
Labels:cấp 2,cấp 3,Ceva,diện tích,diện tích tất cả dấu,đa giác,Định lý Mê-nê-la-uýt,Định lý Xê-va,hình học,hình học tập phẳng,Menelaus,tam giác,tâm tỉ cự,vectơ
Bài đăng mới hơnBài đăng Cũ hơnTrang chủ

Ủng hộ vườn cửa Toán bên trên facebook


Lưu trữ Blog


►  2017(1) ►  2016(7) ►  2015(12) ►  2014(12) ▼  2013(26) ▼  tháng sáu(3) ►  2012(36) ►  2011(7)

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ dùng đá

Mắt Biếc hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một vấn đề xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số thiết yếu phương vi diệu của Vianney!

Câu đố vui về đo lường

Công thức lượng giác Gauss đến 17-giác đều

Chào năm mới tết đến 2014

Chào năm mới tết đến 2015

Chào năm mới tết đến 2016

Không gian 4d là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng nhiều giác phần lớn 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... Có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua với kim từ bỏ tháp


Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2Dãy số - Phần 3Dãy số - Phần 4Dãy số - Phần 5Dãy số - Phần 6Dãy số - Phần 7Dãy số - Phần 8Dãy số - Phần 9


Tam giác Pascal

Quy nạpQuy nạp IIQuy hấp thụ IIINhị thức Newton1 = 2012 = 2013Đa thức nội suy NewtonĐa thức nội suy LagrangeChứng minh Định lý Wilson bởi công thức nội suyTổng luỹ thừa


Số phức


Số phức

bí quyết Moivre


Lượng giác


Công thức lượng giác mang đến góc bội

Công thức lượng giác Gauss đến 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?


modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo mang đến số hữu tỷ

Modulo mang đến số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố vui về đo lường

Dựng đa giác phần lớn 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler


Bài toán liên kết facebook

Dãy số Fibonacci với một việc xếp hìnhHằng đẳng thức về dãy số FibonacciDãy số Fibonacci cùng tam giác Pascal


Định lý Pitago

Định lý mặt đường cao tam giác vuôngĐịnh lý MorleyPhương tíchTrục đẳng phương và trọng điểm đẳng phươngĐịnh lý Ceva và Định lý MenelausLục giác kỳ diệuĐịnh lý PascalĐịnh lý PappusCánh bướm PascalBài toán nhỏ bướmĐịnh lý ngôi sao sáng Do TháiHãy chu đáo trường hợp đặc biệtBài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất cùng một tính chất của hình elípĐiểm Fermat của hình tam giácĐiểm Fermat của hình tam giác II


Dựng hình bởi thước với compa

Bài toán phân chia hình tứ giácDựng hình ngũ giác đềuDựng hình đa giác đềuDựng nhiều giác hồ hết 15 cạnhĐịnh lý con đường cao tam giác vuôngThuật toán dựng hìnhCông thức lượng giác Gauss cho 17-giác hầu hết Dựng hình chỉ bằng compa sử dụng compa chia mọi đoạn thẳng