Hướng dẫn giải bài xích Ôn tập Chương I. Khối đa diện, sách giáo khoa Hình học tập 12. Nội dung bài bác giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học 12 bao hàm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài xích tập hình học có trong SGK để giúp các em học viên học xuất sắc môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Giải bài tập hình học 12

Lý thuyết

1. §1. Có mang về khối đa diện

2. §2. Khối đa diện lồi và khối nhiều diện đều

3. §3. Quan niệm về thể tích của khối đa diện

Dưới đấy là Hướng dẫn giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

randy-rhoads-online.com giới thiệu với các bạn đầy đủ cách thức giải bài xích tập hình học tập 12 kèm bài bác giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học tập 12 của bài Ôn tập Chương I. Khối đa diện cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài xích tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học tập 12

1. Giải bài 1 trang 26 sgk Hình học 12

Các đỉnh, cạnh, mặt của một khối nhiều diện đề xuất thoả mãn những đặc điểm nào?

Trả lời:

Các đỉnh, cạnh, khía cạnh của một đa diện buộc phải thoả mãn mọi tính chất:

– Hai nhiều giác khác nhau chỉ có thể hoặc ko giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung.

– mỗi cạnh của đa giác nào thì cũng là cạnh phổ biến của đúng hai đa giác.

2. Giải bài 2 trang 26 sgk Hình học tập 12

Tìm một hình sinh sản bởi các đa giác nhưng không phải là 1 đa diện.

Trả lời:

Các em rất có thể sử dụng một trong những 2 hình sau:

– Ta xét hình được tạo do hai tứ diện $ABCD$ với $A’B’C’D’$. Đáy chưa phải là hình đa diện chính vì hình này không thoả mãn đặc thù đầu tiên, kia là:

*

Hai mặt tách biệt $(BCD)$ cùng $(A’B’C)$ tất cả điểm phổ biến là $A’$ nhưng không tồn tại một đỉnh thông thường nào và cũng không có một cạnh thông thường nào.

– Hình sau được tạo nên bởi những đa giác tuy vậy không phải là 1 trong đa diện. Vị (EF) là giao của hai đa giác (ABCD) cùng (EFJI) nhưng nó không phải là cạnh bình thường của hai nhiều giác đó.

*

3. Giải bài 3 trang 26 sgk Hình học tập 12

Thế nào là một trong khối đa diện lồi. Tìm kiếm ví dụ trong thực tế mô tả một khối đa diện lồi, một khối nhiều diện không lồi.

Trả lời:

*

Cho khối nhiều diện $(H), (H)$ được điện thoại tư vấn là khối đa diện lồi nếu như đoạn thẳng nối nhị điểm bất kì của $(H)$ luôn thuộc (H).

Ví dụ trong thực tiễn về khối đa diện lồi: Bao diêm, hộp phấn…

Ví dụ về khối đa diện ko lồi trong thực tế: chiếc tủ lệch (không tất cả chân)…

4. Giải bài 4 trang 26 sgk Hình học tập 12

Cho hình lăng trụ và hình chóp tất cả cùng diện tích s đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng.

Bài giải:

Gọi (displaystyle B) là diện tích đáy và (displaystyle h) là chiều cao của khối lăng trụ ta có:

(displaystyle V)lăng trụ =(displaystyle B.h = V_(H))

Gọi (displaystyle B’) là diện tích đáy và (displaystyle h’) là chiều cao của khối chóp ta có:

(displaystyle V)chóp = (displaystyle 1over 3B’.h’=1over 3B.h = V_(H’)) (Vì diện tích s đáy và độ cao bằng nhau)

Vậy tỉ lệ thể tích giữa hình lăng trụ và hình chóp là: (displaystyle V_(H) over V_(H’) = 3.)

5. Giải bài bác 5 trang 26 sgk Hình học tập 12

Cho hình chóp tam giác $O.ABC$ có tía cạnh $OA, OB, OC$ song một vuông góc với nhau và $OA = a, OB = b, OC = c$. Hãy tính đường cao $OH$ của hình chóp.

Bài giải:

*

Gọi $I$ là hình chiếu của $O$ lên $AB$. Vị $OC$ vuông góc với $OA$ cùng $OB$ nên (OCperp (OAB)Rightarrow OCperp AB).

Từ kia ta suy ra: (ABperp (COI)).

Vậy $H$ là hình chiếu của $O$ lên $CI.$

Trong tam giác vuông $AOB$ ta có:

(frac1OI^2=frac1OA^2+frac1OB^2 (1))

Trong tam giác vuông $COI$ ta có:

(frac1OH^2=frac1OI^2+frac1OC^2 (2))

Từ (1) với (2) ta có:

(frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OB^2 + frac1OC^2 = frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2)

(=fraca^2b^2+b^2c^2+c^2a^2a^2b^2c^2)

(Leftrightarrow OH=fracabcsqrta^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)

(V_O.ABC=frac16abc=frac13.OH.S_Delta ABC)

6. Giải bài xích 6 trang 26 sgk Hình học 12

Cho hình chóp tam giác hồ hết $S.ABC$ có cạnh $AB$ bởi $a$. Các cạnh bên $SA, SB, SC$ sản xuất với lòng một góc bằng $60^0$. điện thoại tư vấn $D$ là giao điểm của $SA$ với khía cạnh phẳng qua $BC$ và vuông góc với $SA$.

a) Tính tỉ số thể tích của nhì khối chóp $S.DBC$ với $S.ABC$

b) Tính thể tích khối chóp $S.DBC$

Bài giải:

*

a) Ta có: $AB = BC = CA = a$

Gọi $O$ là hình chiều vuông góc của (S) lên (ABC)

Khi kia ta có: (widehatSBO=widehatSCO=widehatSAO=60^0)

(Rightarrow Delta SOA=Delta SOB=Delta SOC)

(Rightarrow OA=OB=OC) tuyệt O là chổ chính giữa của tam giác đa số ABC.

Trong các tam giác SOA, SOB, SOC. Ta có:

(SA=SB=SC=2OA=2.frac23.fracasqrt32=frac2asqrt33)

(SO=sqrtSB^2-OB^2=a)

Gọi $I$ là trung điểm của BC, ta có: (IDperp SA)

Nên (ID. SA=SO.IARightarrow ID=fraca.fracasqrt32frac2asqrt33= frac34a)

Xét tam giác vuông IDA, ta có:

(DA=sqrtIA^2-ID^2=fracasqrt34Rightarrow SD=frac2asqrt33- fracasqrt34=frac5asqrt312)

Mặt khác:

(fracV_S.ABCV_S.DBC=fracV_S.DBC+V_A.BCDV_SDBC= 1+fracADSD)

(=1+fracfracasqrt34frac5asqrt312=frac85Rightarrow fracV_S.DBCV_S.ABC=frac58)

b) Ta có:

(V_S.DBC=frac13SD.S_ABCD=frac13.frac5asqrt312. frac12.frac34a.a=frac5a^3sqrt396)

(Rightarrow V_SABC=frac85.frac5asqrt396=fraca^3sqrt312)

7. Giải bài bác 7 trang 26 sgk Hình học 12

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ tất cả $AB = 5a; BC = 6A; CA=7a$. Những mặt mặt $SAB, SBC, SCA$ chế tác với đáy một góc bởi $60^0$. Tình thể tích khối chóp đó.

Bài giải:

*

Gọi H là hình chiếu của S lên phương diện phẳng (ABC). điện thoại tư vấn $A’, B’, C’$ theo lần lượt là hình chiếu của $H$ lên các cạnh $BC, CA, AB$. Xét các tam giác vuông: $SHA’, SHB’, SHC’$ có:

(widehatSA’H=widehatSB’H=widehatSC’H=60^0) (vì những góc này chính là các góc của mặt mặt và dưới mặt đáy ABC)

Từ các tam giác vuông đó tiện lợi suy ra (SC’=SA’=SB’) nên $HA’ = HB’= HC’ ⇒ H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Mặt khác diện tích của tam giác ABC có thể tính theo công thức:

(S_Delta ABC=sqrt(p-AB)(p-AC)(p-BC).p)

Với (p=fracAB+AC+BC2=frac5a+6a+7a2=9a)

Do đó: (S_Delta ABC=sqrt(9a-5a)(9a-6a)(9a-7a)p=sqrt216a^4=6a^2sqrt6)

Vì (S_Delta ABC=p.r) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

(Rightarrow r=frac6a^2sqrt69a=frac2asqrt63)

Xét tam giác vuông SHA’, ta có: (tan 60^0=fracSHHA’Rightarrow SH=r.tan60^0)

(Rightarrow SH=frac2asqrt63.sqrt3=2sqrt2a)

Do kia thể tích của khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC=frac13S._Delta ABC.SH=frac13.6.a^2sqrt6. 2sqrt2a=8sqrt3a^3)

8. Giải bài 8 trang 26 sgk Hình học 12

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. $SA$ vuông góc với đáy với $AB=a, AD=b, SA=c$. Lấy các điểm $B’, D’$ theo đồ vật tự nằm trong $SB, SD$ làm sao cho (AB’perp SB, AD’perp SD). Mặt phẳng $(AB’D’)$ cắt $SC$ trên $C’$. Tính thể tích khối chóp $S.AB’C’D’.$

Bài giải:

*

Dựng điểm $C’$ như hình vẽ.

Ta có: (BCperp AB) (giả thiết) (1)

Mặt khác: (SAperp (ABCD)) cần (SAperp BC) (2)

Từ (1) cùng (2) ta có: (BCperp (SAB))

(Rightarrow BCperp AB’) (3)

Ta có: (AB’perp SB) (giả thiết) (4)

Từ (3) với (4) suy ra suy ra (AB’perp (SBC))

Hay ta dành được (AB’perp BC’)

(Leftrightarrow Delta AB’C’) vuông trên B’

Hoàn toàn tương tự như ta cũng có thể có (Delta AD’C’) vuông tại D’

Ta có: (AB’perp SC;AD’perp SC)

(vì (AB’perp (SBC), AD’perp (SDC)))

Nên (SCperp (AB’C’D’)). Vì chưng vậy:

(V_S.AB’C’D’=frac13.S_AB’C’D’.SC’=frac13 left < S_Delta AB’C’+S_Delta AD’C’ ight >.SC’)

(=frac16left < AB’.B’C’+AD’.D’C’ ight >.SC’ (*))

Ta có:

(frac1AB^2=frac1a^2+frac1c^2=fraca^2+c^2a^2.c^2 Rightarrow AB^2=fraca^2.c^2a^2+c^2Rightarrow AB^2= fracacsqrta^2+c^2) (5)

Tương tự: (AD’^2=fracb^2c^2b^2+c^2Rightarrow AD’=fracbcsqrtb^2+c^2) (6)

(frac1AC’^2=frac1c^2+frac1AC^2=frac1c^2+frac1a^2+b^2= fraca^2+b^2+c^2c^2(a^2+b^2))

(Rightarrow AC’^2=fracc^2(a^2+b^2)a^2+b^2+c^2Rightarrow AC’= fraccsqrta^2+b^2sqrta^2+b^2+c^2) (7)

(Rightarrow BC’^2=AC’^2-AB’^2=-fraca^2c^2a^2+c^2+fracc^2(a^2+b^2)a^2+b^2+c^2)

(=frac-a^4c^2-a^2b^2c^2-a^2c^4+a^4c^2+c^4a^2+a^2b^2c^2+c^4b^2 (a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2))

(=fracc^4b^2(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2))

(Rightarrow B’C’=fracc^2bsqrt(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2) (8))

Tương tự: (C’D’=fracc^2asqrt(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2) (9); SC’= fracc^2sqrta^2+b^2+c^2 (10))

Thay (5) (6) (7) (8) (9) và (10) vào (*) ta có:

(V_S.AB’C’D’=)

(frac16Bigg < fracacsqrta^2+c^2.fracc^2b(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)).(+ fracbcsqrta^2+c^2. fracc^2asqrt(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2) Bigg >) (fracc^2sqrta^2+b^2+c^2)

(=frac16fracc^5aba^2+b^2+c^2 left < frac1a^2+c^2+frac1b^2+c^2 ight >)

9. Giải bài bác 9 trang 26 sgk Hình học 12

Cho hình chóp tứ giác phần đa $S.ABCD$ lòng là hình vuông vắn cạnh $a$, lân cận tạo với đáy một góc bằng $60^0$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Khía cạnh phẳng trải qua $AM$ và tuy nhiên song với $BD$, cắt $SB$ tại $E$ và giảm $SD$ trên $F$. Tính thể tích khối chóp $S.AEMF.$

Bài giải:

*

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ với $BD. AM$ giảm $SO$ trên $I$.

Do khía cạnh phẳng chứ AM, song song với BD phải E, F lần lượt là những giao điểm của con đường thẳng qua I, song song với BD với những đường trực tiếp SB, SD.

Ta có: (DBperp AC) (giả thiết)

(SOperp BD) (vì S.ABCD là hình chóp đều)

Nên (BDperp (SAC)Rightarrow EFperp (SAC)Rightarrow EFperp SC) (1)

Mặt khác tam giác SAC cân tại S, không dừng lại ở đó theo trả thiết thì góc giữa SA và (ABCD) bởi 600 có nghĩa là góc (widehatSAC=60^0) đề nghị (Delta SAC) đều. Bởi M là trung điểm của SC buộc phải (AMperp SC) (2)

Từ (1) cùng (2), ta có: (SCperp (AEMF)Rightarrow SM) là chiều cao của khối chóp S.AEMF

Cũng tự (EFperp (SAC)Rightarrow EFperp AMRightarrow S_AEMF=frac12 EF.AM)

(Rightarrow V_S.AEMF=frac13.frac12EF.AM.SM) (*)

Vì (Delta SAC) các và (AC=asqrt2) (đường chéo của hình vuông cạnh a) nên (SC=asqrt2Rightarrow SM=fracasqrt22(3))

Cũng do (Delta SAC) các cạnh (asqrt2) phải (AM=fracasqrt2.sqrt32=fracasqrt62 (4))

Để thấy I là giữa trung tâm của trung tâm giác SDB cần theo định lý Talet ta có:

(fracEFBD=fracSISO=frac23Rightarrow EF=frac23BD= frac23asqrt2 (5))

Thay (3), (4) cùng (5) vào (*) ta có:

(V_S.AEMF=frac16.frac23.asqrt2.fracasqrt22. fracasqrt62=fraca^3sqrt618)

10. Giải bài xích 10 trang 27 sgk Hình học tập 12

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bởi a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C

b) phương diện phẳng trải qua A’B’ và trung tâm tam giác ABC giảm AC và BC theo lần lượt tạ E và F. Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.

Bài giải:

*

a) Ta tính thể tích hình chóp A’.BCB’.

Gọi M là trung điểm của B’C’, ta có: (A’Mperp B’C’) (1)

Lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên: (BB’perp (A’B’C’))

(Rightarrow BB’perp A’M)

Từ (1) cùng (2) suy ra (A’Mperp (BB’C)) giỏi A’M là con đường cao của hình chóp A’.BCB’.

Ta có: (A’M=fracasqrt32;S_BB’C=frac12a^2)

(Rightarrow V_A’BB’C=frac13A’M.S_BB’CRightarrow V_A’BB’C=fraca^3sqrt312)

b) Thể tích hình chóp C.A’B’EF bằng tổng thể tích nhì hình chóp:

V1 là thể tích hình chóp đỉnh B’, đáy là tam giác CEF.

V2 là thể tích hình chóp đỉnh B’, lòng là tam giác A’EC.

Do mp (ABC) // mp(A’B’C’) nên hay thấy EF // AB. Ta cũng có: (EF=frac23a)

Hình chóp B’.CEF có chiều cao BB’ = a và ăn diện tích đáy là:

(S_CEF=frac12.frac2a3.frac23.fracasqrt33=fraca^2sqrt39)

Từ đây ta có: (V_1=fraca^3sqrt327)

Do (EC=frac23AC) đề xuất (S_A’EC=frac23a.frac12a=fraca^23)

Hình chóp B’.A’EC có độ cao là B’I (chiều cao của (Delta A’B’C’)) bởi (fracasqrt32) yêu cầu (V_2=fraca^3sqrt318)

Vậy thể tích hình chóp C.A’B’FE là: (V=V_1+V_2=frac5a^3sqrt354)

11. Giải bài xích 11 trang 27 sgk Hình học tập 12

Cho hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’. Hotline E cùng F theo trang bị tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. Khía cạnh phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm cho hai khối đa diện. Tính tỉ số của nhì khối đa diện đó.

Bài giải:

*

Trước hết, ta xác minh thiết diện của hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’ lúc cắt bởi mp (CEF). Phương diện phẳng (CEF) cất đường thẳng EF mà lại E là trung điểm của BB’, F là trung điểm của CC’ cần EF cất giao điểm O của các đường chéo cánh hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) cùng cất giao điểm O của những đường chéo cánh và nó cũng chứa đường chéo cánh A’C của hình hộp.

Ta thuận lợi nhận xét rằng thiết diện đó là hình bình hành CEA’F. Qua EF ta dựng một mặt phẳng tuy vậy song với lòng hình hộp, khía cạnh phẳng này cắt AA’ ở p và cắt CC’ ở Q.

Ta rất có thể tích của hình hộp ABCD.PEQF là:

(V_ABCD.PEQF=frac12V_ABCD.A’B’C’D’) (1)

Ta cũng chứng minh được một biện pháp dễ dàng:

(V_CFQE=V_AFPE) (2)

(Hai hình chóp CFQE với A’FPE có độ cao bằng nhau và ăn diện tích đáy bởi nhau)

Xét khối đa diện ABCDE’F vì chưng mặt phẳng (CEF) chia nhỏ ra trên hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có:

(V_ABCD.FA’EQ=V_ABCD.FPE+V_A’FPE)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

(V_ABCD.FA’EQ=frac12.V_ABCD.A’B’C’D’)

Vậy phương diện phẳng (CEF) phân chia hình vỏ hộp thành nhị khối đa diện hoàn toàn có thể tích bằng nhau, tỉ số của chúng là 1.

Chú ý: rất có thể lí luận như sau: Giao điểm O của các đường chéo cánh của hình hộp là chổ chính giữa đối xứng của hình hộp, vì thế mặt phẳng (CEF) chứa điểm O yêu cầu chia hình vỏ hộp thành nhị hình đối xứng với nhau qua điểm O. Vậy hai hình này là nhị hình đều bằng nhau và có thể tích bằng nhau.

12. Giải bài bác 12 trang 27 sgk Hình học tập 12

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC.

a) Tính thể tích khối tứ diện BC.

b) khía cạnh phẳng (DMN) phân chia khối lập phương đã mang đến thành hai khối nhiều diện. điện thoại tư vấn (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số (fracV_(H)V_(H’))

Bài giải:

*

a) Ta tính thể tích hình chóp M.ADN. Hình chóp này có chiều cao bằng a và ăn mặc tích và bằng (fraca^22)

(V_ADMN=frac13a.fraca^22=fraca^36)

b) Trước hết, ta dựng tiết diện của hình lập phương khi cắt vì chưng mp(DMN).

Do (ABCD) // (A’B’C’D’) đề xuất (DMN) giảm (A’B’C’D’) theo một giao tuyến tuy nhiên song với DN. Ta dựng tiết diện như sau:

– tự M kẻ mặt đường thẳng tuy nhiên song cùng với DN, mặt đường này cắt cạnh A’D’ tại điểm phường và giảm đường thẳng C’B’ tại điểm Q. Trong mặt phẳng (BCC’B’) thì QN giảm cạnh BB’ trên điểm R; nhiều giác DNRMP chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt vày mp (DMN).

Xem thêm: Tải Đề Thi Tiếng Việt Lớp 1 Học Kỳ 2 Năm 2018, Đề Thi Tiếng Việt Lớp 1 Học Kỳ 2

– hiện giờ ta tính thể tích khối nhiều diện ABNDPMR. Thể tích này có thể coi là thể tích của bố hình chóp.

V1 là thể tích hình chóp đáy ABND, đỉnh M;

V2 là thể tích hình chóp đáy AA’PD, đỉnh M;

V3 là thể tích hình chóp lòng NRB, đỉnh M

Hình chóp M.ABND, tất cả đường cao bởi a, diện tích s đáy là hình thang ABND là:

(frac12left ( fraca2+a ight ).a=frac3a^24)

Suy ra: (V_1=frac13.frac3a^24.aRightarrow V=fraca^34)

Dễ thấy (A’P=fraca4). Hình chóp M.AA’PD có độ cao (fraca2) và ăn mặc tích hình thang AA’PD là: (frac12left ( fraca4+a ight )a=frac5a^28)

Suy ra: (V_2=frac13.fraca2.frac5a^28Rightarrow V_2= frac5a^248)

Dễ thấy (BR=frac23a). Diện tích tam giác NRB là: (frac12.frac23a.fraca2=fraca^26)

Hình chóp M.NRB có độ cao (fraca2) và diện tích đáy (fraca^26) nên:

(V_2=frac13.fraca2.fraca^26Rightarrow V_3=fraca^336)

(V_ABNDPMR=V_1+V_2+V_3= frac5a^348+fraca^34+fraca^336=frac55a^3144)

Thể tích phần còn lại là: (frac144a^3144-frac55a^3144=frac89a^3144)

Từ đây suy ra tỉ số buộc phải tìm là: (frac5589)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài xuất sắc cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 12 cùng với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học 12!