*

Phần bài Tập

Bài 1 (trang 45 SGK Giải tích 12):Phát biểu những điều kiện đồng trở nên và nghịch biến hóa của hàm số. Tìm các khoảng solo điệu của hàm số

y = -x3+ 2x2– x – 7;

Lời giải:

– Điều kiện đồng biến, nghịch biến hóa của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, hàm số f(x):

+ Đồng biến chuyển (tăng) bên trên K nếu ∀ x1, x2∈ K: x12=> f(x1) 2).

Bạn đang xem: Giải bài tập toán đại 12 ôn tập chương 1

+ Nghịch biến hóa (giảm) bên trên K ∀ x1, x2∈ K: x12=> f(x1) > f(x2)

– Xét hàm số y = -x3+ 2x2– x – 7, ta có:

D = R

y’ = -3x2+ 4x – 1

y’ = 0 => x = 1 ; x = 1/3

y’ > 0 cùng với x ∈ (1/3; 1) và y’ giữ ý:Bạn đề nghị kẻ bảng phát triển thành thiên để thấy sự solo điệu cụ thể hơn.

– Xét hàm số

Ta có: D = R 1

*

=> Hàm số luôn luôn nghịch đổi thay trên từng khoảng (-∞; 1) cùng (1; +-∞)

Bài 2 (trang 45 SGK Giải tích 12):Nêu phương pháp tìm cực đại, rất tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm những cực trị của hàm số:

y = x4– 2x2+ 2

Lời giải:

– cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số dựa vào đạo hàm:

Quy tắc 1:

1. Search tập xác định.

2. Tính f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x). Tìm những điểm tại đó f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) bằng 0 hoặc f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) không xác định.

3. Lập bảng trở nên thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra những điểm rất trị.

Quy tắc 2:

1. Tra cứu tập xác định.

2. Tính f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x). Giải phương trình f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) = 0 và kí hiệu xi(i = 1, 2, 3, …) là những nghiệm của nó.

3. Tính f”(x) với f”(xi)

4. Nếu như f”(xi) > 0 thì xilà điểm cực tiểu.

Nếu f”(xi) ilà điểm rất đại.

– Xét hàm số y = x4– 2x2+ 2, ta có:

y’ = 4x3– 4x = 4x(x2– 1)

y’ = 0 ⇔ 4x(x2– 1) = 0 => x = 0; x = ±1

y” = 12x2– 4

Dựa vào quy tắc 2, ta có:

y”(0) = -4 x = 0 là vấn đề cực đại.

y”(-1) = y”(1) = 8 > 0 => x = ±1 là hai điểm rất tiểu.

Bài 3 (trang 45 SGK Giải tích 12):Nêu bí quyết tìm ra tiệm cận ngang cùng tiệm cận dứng của đồ gia dụng thị hàm số. Áp dụng để tìm những tiệm cận của thiết bị thị hàm số:

*

Lời giải:

– biện pháp tìm tiệm cận ngang:

Đường thẳng y = yolà tiệm cận ngang của thiết bị thị hàm số y = f(x) nếu tối thiểu một trong số điều khiếu nại sau được thỏa mãn

*

– phương pháp tìm tiệm cận đứng:

Đường thẳng x = xolà tiệm cận đứng của đồ gia dụng thị hàm số y = f(x) nếu tối thiểu một trong các điều khiếu nại sau được thỏa mãn

*

– Xét hàm số

*
*

=> Đồ thị tất cả tiệm cận đứng là x = 2.

*

=> Đồ thị bao gồm tiệm cận ngang là y = -2.

Bài 4 (trang 45 SGK Giải tích 12):Nhắc lại sơ đồ điều tra sự đổi mới thiên với vẽ vật dụng thị của hàm số.

Lời giải:

Hàm số y = f(x)

Các bước điều tra khảo sát hàm số:

1. Tìm tập khẳng định của hàm số

2. Sự biến thiên

– Xét chiều thay đổi thiên:

+ Tính đạo hàm y’

+ Tìm những điểm tại kia y’ bằng 0 hoặc ko xác định

+ Xét lốt của đạo hàm y’ với suy ra chiều biến thiên của hàm số.

– Tìm cực trị

– Tìm các giới hạn tại vô cực, những giới hạn vô rất và search tiệm cận (nếu có)

– Lập bảng thay đổi thiên.

3. Vẽ đồ thị của hàm số

Dựa vào bảng trở nên thiên và các yếu tố xác định ở trên nhằm vẽ đồ thị.

Bài 5 (trang 45 SGK Giải tích 12):Cho hàm số y = 2x2+ 2mx + m – 1 tất cả đồ thị là (Cm), m là tham số.

a) khảo sát điều tra sự trở thành thiên và vẽ vật thị hàm số lúc m = -1

b) khẳng định m để hàm số:

i) Đồng biến hóa trên khoảng chừng (-1; +∞)

ii) có cực trị trên khoảng tầm (-1; +∞)

c) chứng minh rằng (Cm) luôn luôn cắt trục hoành tại nhì điểm phân biệt với mọi m.

Lời giải:

a)Với m = -1 ta được hàm số: y = 2x2+ 2x

– TXĐ: D = R, hàm số không tồn tại tiệm cận.

– Sự trở thành thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 4x + 2

y’ = 0 => x = -1/2

+ Bảng biến chuyển thiên:

*

Hàm số nghịch phát triển thành trên (-∞; -1/2), đồng đổi thay trên (-1/2; +∞).

+ cực trị: Hàm số gồm điểm rất tiểu là (-1/2; 3/2)

– Đồ thị:

Ta có: 2x2+ 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) = 0

=> x = 0; x = -1

+ Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0)

+ Giao với Oy: (0; 0)

*

b)Xét hàm số y = 2x2+ 2mx + m – 1

y’ = 4x + 2m = 2(2x + m)

y’ = 0 => x = -m/2

Ta tất cả bảng xét dấu y’:

*

=> hàm số bao gồm cực trị tại x = -m/2

– Hàm số đồng biến hóa trên khoảng chừng (-1; +∞)

*

– Hàm số có cực trị trên khoảng chừng (-1; +∞) thì:

*

c)Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) cùng trục Ox là:

2x2+ 2mx + m – 1 = 0 (1)

Δ’ = m2– 2(m – 1) = m2– 2m + 2

= (m + 1)2+ 1 > 0 ∀ m ∈ R

=> Phương trình (1) luôn luôn có nhì nghiệm phân biệt, nghĩa là trang bị thị luôn luôn cắt trục hoành tại nhị điểm phân biệt với mọi m (đpcm).

Bài 6 (trang 45 SGK Giải tích 12):a) khảo sát sự thay đổi thiên với vẽ đồ dùng thị (C) của hàm số:

f(x) = -x3+ 3x2+ 9x + 2

b) Giải phương trình f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x – 1) > 0.

c) Viết phương trình tiếp con đường của trang bị thị (C) trên điểm gồm hoành độ x0, biết rằng f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x0) = -6.

Lời giải:

a)Khảo tiếp giáp hàm số f(x) = -x3+ 3x2+ 9x + 2

– TXĐ: D = R

– Sự biến hóa thiên:

+ Chiều thay đổi thiên: f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) = -3x2+ 6x + 9

f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) = 0 ⇔ -3x2+ 6x + 9 = 0 ⇔ x = -1; x = 3

+ Giới hạn:

*

+ Bảng biến thiên:

*

Hàm số đồng biến chuyển trên (-1; 3) và nghịch thay đổi trên (-∞; -1) và (3; +∞).

+ cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (3; 29);

Hàm số đạt cực tiểu trên (-1; -3);

– Đồ thị:

*

b)Ta có: f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x – 1) > 0

⇔ -3(x – 1)2+ 6(x – 1) + 9 > 0

⇔ -3(x2– 2x + 1) + 6x – 6 + 9 > 0

⇔ -3x2+ 6x – 3 + 6x – 6 + 9 > 0

⇔ -3x2+ 12x > 0 ⇔ -x2+ 4x > 0

⇔ x(4 – x) > 0 ⇔ 0 o) = -6 => -6xo+ 6 = -6 => xo= 2

Vậy phương trình tiếp con đường với (C) trên điểm xo= 2 là:

y = f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(2)(x – 2) + f(2)

y = (-3.22+ 6.2 + 9)(x – 2) + (-23+ 3.22+ 9.2 + 2)

y = 9(x – 2) + 24 =9x + 6

Bài 7 (trang 45-46 SGK Giải tích 12):a) điều tra sự trở thành thiên với vẽ đồ dùng thị hàm số:

y = x3+ 3x2+ 1

b) phụ thuộc đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m:

x3+ 3x2+ 1 = m/2

c) Viết phương trình đường thẳng trải qua điểm cực lớn và điểm rất tiểu của thứ thị (C).

Lời giải:

a)Khảo sát hàm số y = x3+ 3x2+ 1

– TXĐ: D = R

– Sự thay đổi thiên:

+ Chiều trở nên thiên: y’ = 3x2+ 6x = 3x(x + 2)

y’ = 0 ⇔ x = 0 ; x = -2

+ Giới hạn:

*

+ Bảng vươn lên là thiên:

*

Hàm số đồng trở nên trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch trở nên trên khoảng tầm (-2; 0).

+ cực trị:

Đồ thị hàm số bao gồm điểm cực tiểu là (0; 1).

Đồ thị hàm số bao gồm điểm cực đại là (-2; 5).

– Đồ thị:

+ Giao cùng với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

*

b)Số nghiệm của phương trình x3+ 3x2+ 1 = m/2 ngay số giao điểm của đồ dùng thị (C) và con đường thẳng y = m/2.

*

(Đường trực tiếp y = m/2 là mặt đường thẳng tuy nhiên song với trục Ox giảm trục Oy trên điểm tất cả tung độ bởi m/2)

Cách làm:Dịch chuyển tuy nhiên song đường thẳng (d) với trục Ox từ bên trên xuống bên dưới (hoặc từ dưới lên trên) là nhờ vào số giao điểm của (d) cùng (C) nhằm biện luận.

Ngoài ra, trong khi làm bài, bạn không nên vẽ lại hình, chỉ việc vẽ (d) lên trên thiết bị thị vừa vẽ là được.

Biện luận:Từ đồ vật thị ta có:

+ m/2 5 ⇔ m > 10: phương trình có một nghiệm số.

Vậy:

+ trường hợp m 10 thì phương trình có một nghiệm duy nhất.

+ nếu như 2 y = -2x + 1

Vậy phương trình mặt đường thẳng trải qua điểm cực đại và cực tiểu là:y = -2x + 1

Bài 8 (trang 46 SGK Giải tích 12):Cho hàm số:

f(x) = x3– 3mx2+ 3(2m – 1)x + 1 (m là tham số).

a) khẳng định m để hàm số đồng trở thành trên tập xác định.

b) với cái giá trị như thế nào của tham số m thì hàm số tất cả một cực đại và một cực tiểu?

c) xác định m nhằm f”(x) > 6x.

Lời giải:

a)TXĐ: D = R

f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) = 3x2– 6mx + 3(2m – 1)

f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) = 0 ⇔ 3x2– 6mx + 3(2m – 1) = 0 (1)

Δ’ = (-3m)2– 3.3(2m – 1) = 9(m2– 2m + 1)

= 9(m – 1)2

Để hàm số đồng biến chuyển trên D thì f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) ≥ 0

⇔ Δ’ ≤ 0 ⇔ 9(m – 1)2≤ 0 =>m = 1

b)Hàm số bao gồm một cực to và một rất tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) gồm 2 nghiệm phân biệt.

⇔ Δ’ > 0 ⇔ 9(m – 1)2> 0 =>m ≠ 1

c)Ta có: f”(x) = 6x – 6m

f”(x) > 6x ⇔ 6x – 6m > 6x

⇔ – 6m > 0 ⇔m 4– 6x2+ 3 = m.

Lời giải:

a)Khảo giáp hàm số

*

– TXĐ: D = R

– Sự trở nên thiên:

+ Chiều biến chuyển thiên: f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) = 2x3– 6x = 2x(x2– 3)

f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(x) = 0 ⇔ 2x(x2– 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ số lượng giới hạn tại vô cực:

*

+ Bảng đổi mới thiên:

*

Hàm số đồng phát triển thành trên (-√3; 0) cùng (√3; +∞).

Hàm số nghịch đổi mới trên (-∞; -√3) với (0; √3).

+ cực trị:

Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (0; 3/2)

Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại (-√3; -3) và (√3; -3)

– Đồ thị:

*

b)Ta có: f”(x) = 6x2– 6 = 6(x2– 1)

f”(x) = 0 ⇔ 6(x2– 1) ⇔ x = ±1 => y = -1

Phương trình tiếp tuyến đường của (C) trên (-1; -1) là:

y = f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(-1)(x + 1) – 1 =>y = 4x + 3

Phương trình tiếp đường của (C) tại (1; -1) là:

y = f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(1)(x – 1) – 1 =>y = -4x + 3

c)Ta có: x4– 6x2+ 3 = m

*

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của thiết bị thị (C) và con đường thẳng y = m/2.

Biện luận:Từ vật thị:

+ m/2 3/2 ⇔ m > 3: phương trình bao gồm 2 nghiệm.

Vậy:

+) m 3 thì PT gồm 2 nghiệm.

+) m = 3 thì PT gồm 3 nghiệm.

+) – 6 4+ 2mx2– 2m + 1 (m tham số)

có thứ thị là (Cm).

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

d) với giá trị nào của m thì (Cm) giảm trục hoành?

c) khẳng định để (Cm) bao gồm cực đại, rất tiểu.

Lời giải:

a)y’ = -4x3+ 4mx = 4x(m – x2)

y’ = 0 (1) ⇔ 4x(m – x2) = 0 => x = 0; x2= m

– giả dụ m ≤ 0 thì phương trình (1) có một nghiệm => hàm số không tồn tại cực trị.

– trường hợp m > 0 thì phương trình (2) tất cả 3 nghiệm => hàm số có 3 cực trị.

b)Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành:

-x4+ 2mx2– 2m + 1 = 0 (2)

Đặt x2= t (t ≥ 0) khi ấy phương trình (2) tương đương với:

-t2+ 2mt – 2m + 1 = 0 (3)

(Cm) giảm trục hoành lúc phương trình (2) bao gồm nghiệm. Điều này tương đương với phương trình (3) bao gồm nghiệm không âm. Gồm hai trường hợp:

– TH1: Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu:

*

– TH2: Phương trình (3) có 2 nghiệm hồ hết không âm:

*

Kết đúng theo TH1 với TH2 ta có với tất cả m thì đồ gia dụng thị (Cm) luôn luôn cắt trục hoành.

c)(Cm) bao gồm cực đại, cực tiểu khi phương trình (1) có bố nghiệm phân biệt.

⇔ x2= m bao gồm 2 nghiệm phân biệt

m > 0

Bài 11 (trang 46 SGK Giải tích 12):a) khảo sát điều tra sự biến thiên với vẽ vật thị (C) của hàm số

*

b) minh chứng rằng với mọi giá trị của con đường thẳng y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại nhị điểm phân biệt M cùng N.

c) xác minh m sao cho độ nhiều năm MN nhỏ nhất.

d) Tiếp con đường tại một điểm S bất kì của C cắt hai tiệm cận của C tại phường và Q. Chứng tỏ rằng S là trung điểm của PQ.

Lời giải:

a)Khảo gần cạnh hàm số:

– TXĐ: D = R (-1)

– Sự đổi thay thiên:

+ Chiều biến hóa thiên:

*

Hàm số luôn nghịch biến trên D.

+ cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

*

=> Đồ thị tất cả tiệm cận đứng là x = -1.

*

=> Đồ thị tất cả tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến đổi thiên:

*

– Đồ thị:

+ Giao cùng với Ox: (-3; 0)

+ Giao với Oy: (0; 3)

*

b)Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2x + m là:

*

Dễ thấy x = -1 ko là nghiệm của phương trình (1).

Ta có: Δ = (m + 1)2– 8(m – 3) = m2– 6m + 25

Δ = (m – 3)2+ 16 > 0 ∀ m

=> Phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm riêng biệt khác -1.

Vậy mặt đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) trên 2 điểm biệt lập M với N.

c)Giả sử M(x1; y1), N(x2; y2) với x1, x2là nghiệm của phương trình (1) với y1= 2x1+ m, y2= 2x2+ m.

*

MN nhỏ dại nhất ⇔ MN2nhỏ nhất bởi 20.

Dấu “=” xẩy ra ⇔ m – 3 = 0 ⇔ m = 3

Khi đó độ lâu năm MN bé dại nhất = √20 = 2√5

d)Gọi S(xo; yo) ∈ (C).

Phương trình tiếp đường (d) của (C) trên S là:

*

– Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng x = -1 là:

*

– Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang y = 1 là: Q(2xo+ 1; 1).

– Trung điểm của PQ là I(x1; y1) tất cả tọa độ là:

*

Suy ra S(xo; yo) đó là trung điểm của PQ (đpcm).

Bài 12 (trang 47 SGK Giải tích 12):Cho hàm số

*

a) Giải phương trình f"https://randy-rhoads-online.com/giai-bai-tap-toan-dai-12-on-tap-chuong-1/imager_1_5251_700.jpg(sin x) = 0.

b) Giải phương trình f”(cos x) = 0.

Xem thêm: Cách Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Lượng Giác Cực Hay, Kiến Thức Công Thức Nguyên Hàm Lượng Giác

c) Viết phương trình tiếp tuyến đường của đồ thị hàm số đã mang đến tại điểm bao gồm hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0.