Hướng dẫn giải, đáp án bài xích 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác hay gặp) – Chương 1: Hàm con số giác và phương trình lượng giác.

Bạn đang xem: Giải bt toán 11 trang 36

Bài 2. Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.

Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.

Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π với cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.

Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.

b) Ta bao gồm sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), vì thế phương trình đang cho tương đương với

2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔ 

*

*

Bài 3. Giải những phương trình sau:

a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

*
 a) Đặt t = cos (x/2), t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔ 

*

Phương trình vẫn cho tương đương với

cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.

b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.

Các nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng nghiệm của nhị phương trình sau :

*

và 

*

Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;

x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.

c) Đặt t = tanx thì phương trình đổi thay 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.

Vậy 

*

d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành


Quảng cáo


t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.

Vậy 

*

Bài 4: Giải những phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;

b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.

Giải: a) dễ thấy cosx = 0 không vừa lòng phương trình đã do đó chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương đương 2tan2x + tanx – 3 = 0.

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành

2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.

Vậy 

*

b) vậy 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã mang đến trở thành

3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x

⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0

⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0

⇔ 

*

⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) vậy sin2x = 2sinxcosx ;


Quảng cáo


1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã cho và rút gọn gàng ta được phương trình tương đương

1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔ 

*

⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0

⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0

⇔ 

*

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;

c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.

Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2

⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2

*

b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.

Đặt α = arccos thì phương trình trở thành

cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π

⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).

c) Ta có sinx + cosx = √2cos(x – π/4) yêu cầu phương trình tương tự với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2

*

d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔ 

*

Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành

cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1

⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).

Bài 6. a. Rã (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;

b. Tung x + chảy (x + π/4) = 1

*

*

Ôn lại Lý thuyết

Phương pháp giải phương trình số 1 đối với cùng một hàm con số giác

Chỉ phải thực hiên nhị phép biến hóa tương đương: nhảy số hạng không đựng x thanh lịch vế yêu cầu và đổi dấu; phân chia hai vế phương trình cho một trong những khác 0 là ta hoàn toàn có thể đưa phương trình lượng giác cơ bạn dạng đã biết phương pháp giải.

Phương pháp giải phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác

Đặt hàm số lượng giác đựng ẩn phụ ta gửi được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Nếu như phương trình bậc hai gồm nghiệm thì nuốm giá trị của nghiệm kiếm được trở lại phép để ta sẽ được một phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c

Chỉ đề nghị xét trường đúng theo cả hai thông số a, b phần đông khác 0 (trường hợp một trong những hai thông số đó bởi 0 thì phương trình cần giải là hpuwong trình hàng đầu đối với cùng 1 hàm số lượng giác (sinx hoặc cosx) đã biết phương pháp giải.

Cách 1: phân tách hai vế phương trình mang lại

*
 và gọi α là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto OM = (a ; b) thì phương trình trở thành một phương trình đã hiểu cách thức giải:
*
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng
*
, phương trình phát triển thành :
*

Phương trình này đã hiểu cách thức giải.

Chú ý : Để phương trình 

*
 có nghiệm, đk cần cùng đủ là

*

Đó cũng là điều kiện cần và đủ nhằm phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm.

Xem thêm: Thế Nào Là Hiện Tượng Cảm Ứng Điện Từ Là Gì, Kiến Thức Vật Lý 9

Phương pháp giải các phương trình chuyển được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai so với một hàm con số giác

Hệ thống các công thức lượng giác rất đa dạng mẫu mã nên các phương trình lượng giác cũng tương đối đa dạng. Thực hiện thành thạo những phép biến hóa lượng giác những em có thể đưa các phương trình bắt buộc giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm con số giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc hai so với cosx và sinx :

a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d

có thể mang lại dạng phương trình bậc hai so với tanx bằng cách chia phương trình cho cos2x. Chính vì sự nhiều mẫu mã và đa dạng mẫu mã ấy nên shop chúng tôi cũng chỉ có thể minh họa phương pháp giải thông qua một số trong những ví dụ nổi bật và các em hoàn toàn có thể nắm vững cách thức giải thông qua nhiều bài bác tập.