*
thư viện Lớp 1 Lớp 2 Lớp 3 Lớp 4 Lớp 5 Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Lời bài hát

randy-rhoads-online.com xin giới thiệu đến những quý thầy cô, các em học viên đang trong quá trình ôn tập bộ bài bác tập Góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳngToán lớp 12, tài liệu bao gồm 12 trang, tuyển chọn chọn những bài tập Góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳng đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài bác tập bao gồm lời giải, giúp những em học sinh có thêm tài liệu xem thêm trong quy trình ôn tập, củng cố kiến thức và sẵn sàng cho kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán sắp tới tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như ao ước đợi.

Bạn đang xem: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 12

Tài liệu Góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳnggồm những nội dung chính sau:

I. Phương thức giải

- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn;

- phương pháp giải cụ thể từng dạng bài tập.

II. Một số ví dụ/ lấy một ví dụ minh họa

- tất cả 4 dạng bài bác tập với 16 lấy ví dụ minh họa phong phú và đa dạng của các dạng bài xích tập bên trên có lời giải chi tiết.

Mời những quý thầy cô và những em học viên cùng tìm hiểu thêm và tải về chi tiết tài liệu bên dưới đây:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

I. Phương pháp giải

Định nghĩa: Nếu con đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta bảo rằng góc giữa đường thẳng a cùng mặt phẳng (P) bằng (hình 1).

Nếu đường thẳng a không vuông góc với phương diện phẳng (P) thì góc thân a và hình chiếu của chính nó trên (P) được điện thoại tư vấn là góc giữa con đường thẳng a với mặt phẳng (P) (hình 2).

*

Chú ý: Góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng không vượt thừa 90°.

■ cách thức giải:

Sử dụng tư tưởng góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳng.

*

Cách tra cứu hình chiếu a"của a xung quanh phẳng (P) ta hoàn toàn có thể làm như sau:

Tìm giao điểmM=a∩P.

Tìm một điểm A tùy ý trên tuyến đường thẳng a A≠M và xác minh hình chiếu vuông góc H của A cùng bề mặt phẳng (P). Khi đó, là mặt đường thẳng trải qua hai điểm A cùng M. Ta có β=a;P^=AMH^.

Xét tam giác vuông AMH ta có: cosβ=HMAMtanβ=AHMHsinβ=AHAM=dA;PAM

(trong đó dA;Plà khoảng cách từ điểm A cho mặt phẳng (P)).

II. Lấy một ví dụ minh họa

- Dạng 1: Góc giữa kề bên và phương diện đáy

*

Tìm góc giữa lân cận SA và dưới mặt đáy (ABC)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC).

Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).

VậySA;ABC^=SA;HA^=SAH^.

Ví dụ 1: đến hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông trên B, bao gồm . Biết , SB sản xuất với đáy một góc cùng M là trung điểm của BC.

a) Tính cosin góc giữa SC với mặt phẳng (ABC).

b) Tính cosin góc giữa SM với mặt phẳng (ABC).

Lời giải

*

a) DoSA⊥ABC⇒SB;ABC^=SBA^=60°.

Do đóSA=ABtanSBA^=atan60°=a3.

Ta có:AC=AB2+BC2=2a;SC;ABC^=SCA^.

Khi đó:cosSCA^=ACSC=ACSA2+AC2=2a3a2+4a2=27.

b) DoSA⊥ABC⇒SM;ABC^=SMA^=φ.

Ta có:AM=AB2+BM2=a2+a322=a72.

Khi đócosφ=AMSM=AMSA2+AM2=13319.


Ví dụ 2: cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có . Tam giác (SAB) phần nhiều và thuộc khía cạnh phẳng vuông góc với đáy.

a) Tính góc giữa SB, SC với mặt phẳng (ABCD).

b) hotline I là trung điểm của BC. Tính tung góc giữa SI với mặt phẳng (ABCD).

Lời giải


*

a) call H là trung điểm của AB ta có:

Mặt khác

<eginarraylleft{ eginarraylleft( SAB ight) ot left( ABCD ight)\AB = left( SAB ight) cap left( ABCD ight)endarray ight.\ Rightarrow SH ot left( ABCD ight).endarray>

Tam giác SAB phần đa cạnh 2a phải

Do < Rightarrow left( widehat SB;left( ABCD ight) ight) = widehat SBH = 60^circ >

cùng < an widehat SCH = fracSHHC = sqrt frac32 .>

b) Ta có:

<eginarraylHI = sqrt HB^2 + BI^2 \ = sqrt a^2 + left( fraca2 ight)^2 = fracasqrt 5 2.endarray>

Mặt khác cùng

Ví dụ 3: cho hình chóp S.ABCD, bao gồm đáy là nửa lục giác đa số cạnh a, . Biết và đường thẳng SB chế tạo ra với lòng một góc <45^circ .>

a) Tính cosin góc tạo bởi các cạnh SC, SD và mặt dưới (ABCD).

b) hotline I là trung điểm của CD, tính chảy góc tạo bởi SI với mặt phẳng (ABCD).

Lời giải


*

a) gọi O là trung điểm của AD < Rightarrow > OABC là hình thoi cạnh a < Rightarrow teo = a = frac12AD Rightarrow Delta ACD> vuông trên C.

Do < Rightarrow widehat left( SB;left( ABCD ight) ight) = widehat SBA = 45^circ .>

Do kia

<eginarraylAC = sqrt AD^2 - CD^2 = asqrt 3 \ Rightarrow cos widehat left( SC;left( ABC ight) ight) = cos widehat SCAendarray>

<eginarrayl = fracACSC = fracACsqrt SA^2 + AC^2 \ = fracasqrt 3 sqrt a^2 + 3a^2 = fracsqrt 3 2.endarray>

<eginarraylcos left( widehat SD;left( ABCD ight) ight) = cos widehat SDA\ = fracADsqrt SA^2 + AD^2 = frac2sqrt 5 .endarray>

b) Ta có:

<eginarraylAI = sqrt AC^2 + CI^2 \ = sqrt 3a^2 + left( fraca2 ight)^2 = fracasqrt 13 2.endarray>

Do đó

<eginarrayl an widehat left( SI;left( ABCD ight) ight) = an widehat SIA\ = fracSAAI = frac2sqrt 13 .endarray>

Dạng 2: Góc giữa sát bên và mặt phẳng chứa đường cao


*

Tìm góc giữa bên cạnh SB với mặt phẳng (SHA) cùng với

Dựng , bao gồm

Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SAH).

Vậy

Ví dụ 1: đến hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình chữ nhật có

Biết SC tạo nên với lòng một góc <60^circ >. Tính cosin góc chế tác bởi:

a) SC với mặt phẳng (SAB); SC cùng mặt phẳng (SAD).

b) SD và mặt phẳng (SAC).

Lời giải


*

Do < Rightarrow widehat left( SC;left( ABCD ight) ight) = widehat SCA = 60^circ .>

Lại có:

<eginarraylAC = sqrt AB^2 + AD^2 = 2a\ Rightarrow SA = AC an 60^circ = 2asqrt 3 .endarray>

Khi kia

Do < Rightarrow widehat left( SC;left( SAB ight) ight) = widehat CSB.>

Mặt không giống

Tương từ cùng

Ví dụ 2: đến hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,

Biết SC sản xuất với đáy một góc <60^circ >. Tính rã góc tạo ra bởi:

a) SC với mặt phẳng (SAB).

b) SD cùng mặt phẳng (SAC).

Lời giải


*

a) Ta có: trên O. Lúc ấy

Xét tam giác vuông OAB ta có:

< Rightarrow widehat OAB = 60^circ Rightarrow Delta ABC> số đông cạnh a.

Mặt không giống

<eginarraylSA ot left( ABCD ight)\ Rightarrow widehat left( SC;left( ABCD ight) ight) = widehat SCA = 60^circ .endarray>

Suy ra

Dựng

< Rightarrow widehat left( SC;left( SAB ight) ight) = widehat CSH.>

Do đều cạnh a đề nghị H là trung điểm của AB.

Ta có: trong số đó

Do kia < an widehat CSH = fracsqrt 3 sqrt 13 = fracsqrt 39 13.>

b) Ta có:

với < an widehat DSO = fracODSO.>

Trong đó

<eginarraylOD = fracasqrt 3 2;\SO = sqrt SA^2 + OA^2 = fracasqrt 13 2\ Rightarrow an widehat DSO = fracsqrt 39 13.endarray>

Ví dụ 3: mang đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên dưới đáy là điểm H nằm trong cạnh AB sao cho . Biết cùng . Tính chảy góc tạo thành bởi:

a) SA và mặt phẳng (SHD).

b) SB và mặt phẳng (SHC).

Lời giải


a) Ta có:

<eginarraylAH = 1,HB = 2\ Rightarrow left{ eginarraylSA = sqrt SH^2 + AH^2 = sqrt 5 \SB = sqrt SH^2 + HB^2 = 2sqrt 2 endarray ight.endarray>

Dựng

<eginarraylAE ot DH Rightarrow AE ot left( SHD ight)\ Rightarrow widehat left( SA;left( SHD ight) ight) m = widehat mASEendarray>

Mặt khác

Suy ra < an widehat mASE = fracAESA = frac6sqrt 185 .>

b) Dựng

Khi đó ,

Ta có: < an widehat left( SB;left( SHC ight) ight) = an widehat BSF = fracBFSB = frac3sqrt 5 10.>

Ví dụ 4: đến hình lăng trụ bao gồm đáy ABCD là hình chữ nhật có, hình chiếu vuông góc của lên phương diện phẳng (ABCD) trùng với trung ương O của hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên tạo ra với đáy một góc <60^circ >. Tính cosin góc chế tạo với với mặt phẳng


Ta có:

<eginarraylAC = sqrt AB^2 + BC^2 = 4a\ Rightarrow OA = 2a = OC.endarray>

Do < Rightarrow widehat left( A"O;left( ABCD ight) ight) = widehat A"AO = 60^circ .>

< Rightarrow A"O = OA an 60^circ = 2asqrt 3 >

Dựng

< Rightarrow widehat left( A"C;left( A"BD ight) ight) = widehat CA"H.>

Ta có:

Suy ra

<eginarraylcos widehat CA"H = fracA"HA"C = fracsqrt A"C^2 - HC^2 A"C\ = fracsqrt 16a^2 - 3a^2 4a = fracsqrt 13 4.endarray>

Ví dụ 5: cho hình lăng trụ đứng gồm đáy là tam giác đa số cạnh a. Tính góc tạo vì chưng với mặt phẳng biết

Lời giải


Dựng

Do

<eginarraylleft{ eginarraylCH ot AB\CH ot AA"endarray ight. Rightarrow CH ot left( ABB"A" ight)\ Rightarrow widehat left( A"C;left( ABB"A" ight) ight) = widehat CA"H.endarray>

Lại có:

Do đó < an widehat CA"H = fracCHA"H = 1 Rightarrow widehat CA"H = 45^circ .>

Vậy


Tìm góc giữa mặt đường cao SH cùng mặt phẳng (SAB).

Dựng

Ta có:

Mặt không giống là hình chiếu vuông góc của H cùng bề mặt phẳng (SAB).

Vậy


Ví dụ 1: cho hình chóp S.ABC, gồm đáy ABC là tam giác phần đông cạnh 2a. Bên cạnh với vuông góc cùng với đáy. Tính góc thân SA và mặt phẳng (SBC).

Lời giải


Từ A kẻ AK vuông góc cùng với BC trên K.

Ta bao gồm : với

Kẻ . Cơ mà

Suy ra

Tam giác SAK vuông trên A, có

< Rightarrow > tam giác SAK vuông cân nặng tại A nên

Vậy


Ví dụ 2: đến hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình chữ nhật bao gồm . Tính tan góc thân SA và các mặt phẳng (SBC), (SBD) cùng (SCD).

Lời giải


Do

Dựng

< Rightarrow > M là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC).

Khi đó:

Do đó < an alpha = fracABSA = frac12.>

Tương tự ta có: với < an eta = fracADSA = 1.>

Dựng ta có:

Mặt không giống

<eginarraylAF ot SE Rightarrow AF ot left( SBD ight)\ Rightarrow widehat left( SA;left( SBD ight) ight) = widehat ASF = widehat ASE.endarray>

Khi đó < an widehat ASE = fracAESA>, vào đó

<eginarraylAE = fracAB.ADsqrt AB^2 + AD^2 = frac2asqrt 5 \ Rightarrow an widehat ASE = fracAESA = frac1sqrt 5 .endarray>


Ví dụ 3: mang đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình thang vuông trên A cùng B tất cả cùng . Hiểu được SC tạo thành với đáy một góc <60^circ >. Tính rã góc giữa SA và các mặt phẳng (SBC), (SCD) với (SBD).

Lời giải


Ta có:

Do

Suy ra

Dựng bao gồm

Do đó M là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

Suy ra

Ta có: < an widehat ASB = fracABSA = fracaasqrt 6 = frac1sqrt 6 .>

Gọi I là trung điểm của AD < Rightarrow > ABCI là hình vuông cạnh a < Rightarrow CI = fracAD2 = a Rightarrow Delta ACD> vuông trên C.

Khi kia

Dựng

Ta có: < an widehat ASC = fracACSA = fracasqrt 2 asqrt 6 = frac1sqrt 3 .>

Dựng

Mặt khác

<eginarraylAE = fracAB.ADsqrt AB^2 + AD^2 = frac2asqrt 5 \ Rightarrow an widehat ASE = fracAESA = fracsqrt 30 15.endarray>

Ví dụ 4: mang đến hình chóp S.ABCD, bao gồm đáy là nửa lục giác hầu như cạnh a, . Biết và đường thẳng SB chế tạo ra với lòng một góc 60°.

a) Tính rã góc tạo bởi SA và (SBC).

b) Tính góc tạo do SA với (SCD).

Lời giải


a) điện thoại tư vấn O là trung điểm của AD < Rightarrow > OABC là hình thoi cạnh a < Rightarrow co = a = frac12AD Rightarrow Delta ACD> vuông tại C.

Do

< Rightarrow SA = AB an 60^circ = asqrt 3 >,

Dựng ,

< Rightarrow widehat left( SA;left( SBC ight) ight) = widehat ASF = widehat ASE.>

Do

Mặt khác

Suy ra < an widehat left( SA;left( SBC ight) ight) = an widehat ASE = fracAESA = frac12.>

b) vị

Dựng

Khi kia

Ta có: < an varphi = fracACSA = fracasqrt 3 asqrt 3 = 1 Rightarrow varphi = 45^circ .>

Vậy

Ví dụ 5: mang lại hình lăng trụ gồm đáy là tam giác phần nhiều cạnh a, hình chiếu vuông góc của lên khía cạnh phẳng đáy trùng cùng với trung điểm H của cạnh AB, đường cao . Tính cosin góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng .

Lời giải


Dựng ta có:

suy ra

<eginarraylBC ot HF Rightarrow HF ot left( B"BCC" ight)\ Rightarrow widehat left( B"H;left( BCC"B" ight) ight)endarray>

< = widehat HB"F = widehat HB"E.>

Ta có:

Do đó

Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng (SAB). Đặt

Ta bao gồm công thức:

Từ đó suy ra những giá trị hoặc < an varphi > giả dụ đề bài yêu cầu.

Ví dụ 1: cho hình chóp S.ABCD bao gồm đáy ABCD là hình chữ nhật gồm . Tam giác SAD cân tại S cùng thuộc mặt phẳng vuông góc cùng với đáy. Đường thẳng SB tạo với đáy một góc <30^circ >. Tính sin góc tạo thành bởi:

a) SA với mặt phẳng (SBC).

b) SD với mặt phẳng (SAC).

Lời giải


Gọi H là trung điểm của AD ta có:

Lại có:

Ta có:

Do

< Rightarrow widehat left( SB;left( ABCD ight) ight) = widehat SBH = 30^circ >

Suy ra

a) vị

Do vậy

Dựng tacó: từ kia suy ra

< Rightarrow dleft( H;left( SBC ight) ight) = HF = dleft( A;left( SBC ight) ight).>

Ta có:

Mặt khác:

<eginarraylfrac1HF^2 = frac1SH^2 + frac1HE^2 Rightarrow HF = fracasqrt 6 3\ Rightarrow sin widehat left( SA;left( SBC ight) ight) = fracdleft( A;left( SBC ight) ight)SA = fracsqrt 3 3.endarray>

b) Dựng

Dựng

Do

< Rightarrow dleft( D;left( SAC ight) ight) = 2dleft( H;left( SAC ight) ight) = 2HI>

Dựng

< Rightarrow HI = fracHN.SHsqrt HN^2 + SH^2 = fraca2 Rightarrow dleft( D;left( SAC ight) ight) = a.>

Ta có:

Ví dụ 2: mang lại hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình chữ nhật ABCD có , tam giác SBD là tam giác vuông cân nặng đỉnh S và phía bên trong mặt phẳng vuông góc với phương diện phẳng đáy. Tính sin góc tạo vị SA cùng mặt phẳng (SBC).

Xem thêm: Đề Thi Và Đáp Án Đề Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Hà Nội Năm 2013 ❣️✔️

Lời giải


Gọi O là trung điểm của BD ta có: mặt khác

Ta có:

Dựng

Ta có:

< Rightarrow OF = fracSH.OEsqrt SH^2 + OE^2 = asqrt frac37 = fracasqrt 21 7>

Suy ra

Mặt khác

Do kia

Ví dụ 3: mang đến hình lăng trụ tất cả đáy là tam giác vuông tại A với , hình chiếu vuông góc của lên dưới mặt đáy trùng với trung điểm H của BC. Biết . Tính cosin góc tạo bởi với mặt phẳng .