Trong bài học kinh nghiệm trước những em đã biết về giới hạn của hàm số, nạm nào là giới hạn hữu hạn, số lượng giới hạn một bên và giới hạn ở vô cực. Tiếp theo họ sẽ khám phá về hàm số tiếp tục trong nội dung bài học này.

Bạn đang xem: Hàm số liên tục toán 11


Bài viết bên dưới đây để giúp ta biết cách xét tính thường xuyên của hàm số, áp dụng giải những dạng bài tập về hàm số liên tiếp như: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm (x=0), bên trên một đoạn hay là một khoảng, tìm các điểm gián đoạn của hàm số, hay chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số liên tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu:

 

*

- Hàm số f(x0) không liên tiếp tại điểm x0 thì x0 được điện thoại tư vấn là điểm cách trở của hàm số f(x).

2. Hàm số thường xuyên trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tiếp trên một khoảng chừng nếu nó liên tiếp tại các điểm của khoảng chừng đó.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoan nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:

 

*

3. Một trong những định lý cơ phiên bản về hàm số liên tục

Định lý 1:

a) Hàm số nhiều thức tiếp tục trên toàn cục tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 nhiều thức) và các hàm con số giác thường xuyên trên từng khoảng tầm của tập xác minh của chúng.

Định lý 2:

- mang sử f(x) và g(x) là nhị hàm số thường xuyên tại điểm x0. Khi đó:

a) các hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) và f(x).g(x) tiếp tục tại x0.

b) hàm số 

*
 liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.

• Định lý 3:

- nếu như hàm số y = f(x) thường xuyên trên đoạn và f(a)f(b) II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính tiếp tục của hàm số tại điểm x0.

* Phương pháp:

- bước 1: Tính f(x0)

- cách 2: Tính  hoặc

- cách 3: So sánh:  hoặc  với 

*
 rồi rút ra kết luận

- Nếu 

*
 hoặc 
*
 thì kết luận hàm số liên tiếp tại 

- Nếu  không tồn tại hoặc  thì tóm lại hàm số không thường xuyên tại x0.

- cách 4: Kết luận.

* ví dụ như 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng tư tưởng xét tính liên tiếp của hàm số f(x)=x3 + 2x - 1 trên x0=3.

° lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x3 + 2x - 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32

*
 
*

*

⇒ f(x) thường xuyên tại x0 = 3.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính thường xuyên của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết:

 

*

b) vào biểu thức g(x) làm việc trên, đề nghị thay số 5 vì số làm sao đó nhằm hàm số tiếp tục tại x0 = 2.

° giải mã ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.

 

*
 
*

 

*

*

⇒ g(x) không liên tục tại x0 = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x0 = 2 thì:

 

*

- Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số tiếp tục tại x0 = 2.

* lấy ví dụ 3: Xét tính tiếp tục của hàm số sau tại điểm x = 1.

 

*

° lời giải ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1

 

*
 
*
 

 

*

*

⇒ Vậy hàm số f(x) không liên tiếp (gián đoạn) tại điểm x = 1.

* lấy ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0.

 

*

° lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Vậy hàm số f(x) thường xuyên tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 nhằm xét tính tiếp tục của hàm số trên từng khoảng khẳng định của nó.

- nếu hàm số khẳng định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tiếp tại các điểm quan trọng đặc biệt của hàm số đó.

* ví dụ như 1: Cho hàm số 

*

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Hàm số f(x) liên tiếp tại điểm x = 2.

Xem thêm: Vị Trí Tương Đối Của 2 Đường Thẳng Trong Không Gian : Đường Thẳng, Mặt Phẳng

- Kết luận: Hàm số f(x) tiếp tục trên khoảng (-7;+∞).

* lấy một ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số sau liên tục: 

*

 

*

⇒ Để hàm số liên tiếp tại điểm x = 3 thì:

 

*
 
*
 (*)

• Khi x = 5 thì f(5) = 5a + b

 

*

 

*

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 5 thì:

*
 
*
 (**)

Từ (*) và (**) ta có: 

*

- Vậy khi a = 1 với b = -2 thì hàm số f(x) liên tục trên R, khi đó:

 

*

- Hàm số g(x) liên tục trên những khoảng: 

*

° Dạng 3: Tìm điểm cách quãng của hàm số f(x)

* Phương pháp: x0 là điểm ngăn cách của hàm số f(x) trường hợp tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thông thường x0 thỏa mãn một trong các trường thích hợp sau: