Nội dung bài xích học để giúp các em rứa được các yếu tố liên quan đến hàm số lũy thừa như khái niệm, tập xác định, tính đợn điệu, cách tính đạo hàm, các dạng đồ dùng thị của hàm số lũy thừa qua đó sẽ tạo nên tảng con kiến thức phục vụ cho các em trong quá trình giải các dạng bài xích tập liên quan đến hàm số lũy thừa.

Bạn đang xem: Đồ thị của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit


1. Video clip bài giảng

2. Cầm tắt lý thuyết

2.1. Quan niệm hàm số luỹ thừa

2.2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

2.3. Khảo sát hàm số lũy thừa(y=x^alpha)

3. Bài bác tập minh hoạ

4. Luyện tập Bài 2 Chương 2 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm hàm số lũy thừa

4.2 bài xích tập SGK và cải thiện về hàm số lũy thừa

5. Hỏi đáp về bài xích 2 Chương 1 Toán 12


Hàm số luỹ quá là hàm số có dạng(y=x^alpha), trong đó(alpha)là một hằng số tuỳ ý.Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy:

Hàm số(y=x^n)với n nguyên dương, xác định với mọi(x in mathbbR).

Hàm số (y=x^n), cùng với n nguyên âm hoặc n = 0,xác định cùng với mọi(x in mathbbRackslash left 0 ight\).

Hàm số(y=x^alpha), với (alpha)không nguyên, tất cả tập khẳng định là tập hợp những số thực dương(left( 0; + infty ight))

Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa thường xuyên trên tập xác minh của nó.♦ Chú ý:Theo định nghĩa, đẳng thức(sqrtx = x^frac1n)chỉ xẩy ra nếu(x>0)do đó, hàm số (y=x^frac1n)không đồng nhất với hàm số(y = sqrtx(n in mathbbN^*)). Chẳng hạn, hàm số (y = sqrt<3>x)là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi(x in mathbbR); còn hàm số luỹ thừa (y=x^frac13)chỉ khẳng định trên(left( 0; + infty ight)).


2.2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa


a) Định lý

Hàm số luỹ vượt (y = x^alpha (alpha in mathbbR))có đạo hàm tại đều điểm (x>0)và(left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1).

Nếu hàm số(u=u(x))nhận giá trị dương và gồm đạo hàm trên (J)thì hàm số (y = u^alpha (x).)cũng bao gồm đạo hàm bên trên (J)và(left( u^alpha left( x ight) ight)" = alpha .u^alpha - 1(x).u"(x)).

b) Chú ý:

Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng minh chứng công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây:(left( sqrtx ight)" = frac1nsqrtx^n - 1)(với phần lớn (x>0)nếu n chẵn, với mọi(x e0)nếu n lẻ).

Nếu (u=u(x))là hàm số tất cả đạo hàm trên (J)và vừa ý điều kiện(u(x)>0)với số đông (x in J)khi n chẵn,(u(x) e0)với mọi(x in J)khi n lẻ thì:

(left( sqrtu(x) ight)" = fracu"(x)nsqrtu^n - 1(x),left( forall x in J ight))♦ Nhận xét: Do(1^alpha =1)với mọi(alpha)nên thứ thị của đầy đủ hàm số lũy quá đều đi qua điểm(1;1).


2.3. điều tra hàm số lũy thừa(y=x^alpha)


Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chưa khoảng(left( 0; + infty ight))với mọi(alpha in mathbbR).Trong ngôi trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số(y=x^alpha)trên khoảng chừng này, ta được bảng nắm tắt sau:

*

Hình dạng của thứ thị hàm số lũy thừa trong số trường hợp xét bên trên tập(left( 0; + infty ight)):

*

♦ Chú ý:

Khi khảo sát điều tra hàm số lũy thừa với số mũ nạm thể, ta nên xét hàm số kia trên toàn thể tập khẳng định của nó.


Bài tập minh họa


Ví dụ 1:

Tìm tập khẳng định của các hàm số sau:

a)(y=x^6)

b)(y=(1-x)^sqrt2)

c)(y=(x+2)^-3)

Lời giải:

a) Hàm số(y=x^6)xác định cùng với mọi(xinmathbbR).

Xem thêm: Cây Xạ Trắng - Cây Xạ Đen Có Mấy Loại Và Cách Chọn Tốt Nhất

Vậy tập xác định của hàm số là(D=mathbbR.)

b) Hàm số(y=(1-x)^sqrt2)xác định khi(1 - x > 0 Leftrightarrow x Ví dụ 2:

Tính đạo hàm các hàm số

a)(y = x^sqrt 2 + 1)

b)(y = x^3pi )

c)(y=x^-0,9)

Lời giải:

a)(y" = - frac12x^ - frac12 - 1 = - frac12x^ - frac32 = - frac12sqrt x^3 .)

b)(y" = 3pi .x^3pi - 1).

c)(y" = - 0,9x^ - 0,9 - 1 = - 0,9x^ - 1,9.)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm những hàm số sau:

a)(y = (2x + 1)^pi )

b)(y = (3x^2 - 1)^ - sqrt 2 )

c)(y = left( 2x^2 + x - 1 ight)^frac23)

Lời giải:

a)(y" = pi (2x + 1)^pi - 1(2x + 1)" = 2pi (2x + 1)^pi - 1.)

b)(y" = - sqrt 2 left( 3x^2 - 1 ight)^ - sqrt 2 - 1(3x^2 - 1)" = - 6sqrt 2 x(3x^2 - 1)^ - sqrt 2 - 1.)