Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng hệ phương trình thường chạm chán trong chương trình Toán 9 và Toán 10. Vậy hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng là gì? có mang về hệ phương trình phong cách bậc 2? giải pháp giải hệ phương trình đẳng cấp?…. Trong nội dung bài viết dưới đây, randy-rhoads-online.com sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ thể này nhé!




Bạn đang xem: Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng là gì?

Hệ phương trình sang trọng là hệ có ( 2 ) phương trình ( 2 ) ẩn cơ mà ở mỗi phương trình thì bậc của từng ẩn là bẳng nhau :


(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) với ( f,g ) là những hàm số tất cả bậc của hai đổi mới ( x;y ) bằng nhau

Ví dụ:

(left{eginmatrix x^2+3xy-2y^2=3\ x^2-xy+y^2=4 endmatrix ight.)

Ở lấy một ví dụ trên thì đây là hệ phương trình phong cách bậc ( 2 )

*

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Bài toán: Giải phương trình

(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) cùng với ( f,g ) là các hàm số có bậc của hai biến ( x;y ) bằng nhau

Nhìn chung để giải phương trình phong cách thì bọn họ tiến hành quá trình sau đây:

Bước 1: Nhân phương trình bên trên với ( a_2 ) và phương trình bên dưới với ( a_1 ) rồi trừ nhì phương trình để gia công mất hệ số tự doBước 2: Đặt ( x=ky ). Nạm vào phương trình ở cách 1 ta được phương trình bao gồm dạng :( y^n(Ak^2+Bk+C) =0 )Bước 3: Giải phương trình trên bằng phương pháp chia nhì trường hòa hợp (left<eginarrayl y=0\y eq 0 endarray ight.). Cùng với trường hợp ( y eq 0 ) thì giải ra ( k )Bước 4: cầm ( x=ky ) vào một trong những trong hai phương trình, giải ra ( y ) rồi từ đó giải ra ( x )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ x^2-2xy+y^2=1 endmatrix ight.)

Cách giải:

Phương trình sẽ cho tương đương với :

(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ 3x^2-6xy+3y^2=3 endmatrix ight.)

Trừ hai vế hai phương trình ta được :

( 2x^2+4y^2-6xy =0 )

Đặt ( x=ky ). Gắng vào phương trình bên trên ta được :

( 2k^2y^2+4y^2-6ky^2=0 )

(Leftrightarrow 2y^2(k^2-3k+2)=0 ;;;;; (1) )

Trường phù hợp ( y=0 )

Thay vào hệ ta được:

(left{eginmatrix x^2=3\ x^2=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( loại )

Trường vừa lòng ( y eq 0 )

Từ phương trình ( (1) Rightarrow k^2+3k-2 =0 )

 (Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\ k=2 endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) cố gắng vào hệ phương trình ta được :

(left{eginmatrix 0=3\0=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( loại )

Nếu ( k=2 ) nạm vào hệ phương trình ta được :

(left{eginmatrix 3y^2=3\y^2=1 endmatrix ight. Leftrightarrow y^2=1 Leftrightarrow y=pm 1)

Vậy hệ phương trình sẽ cho bao gồm hai cặp nghiệm là ( (x;y) =(2;1) ; (-2;-1) )

Giải hệ phương trình sang trọng bậc 2 

Hệ phương trình đẳng cấp bậc ( 2 ) là hệ phương trình tất cả dạng :

(left{eginmatrix a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 endmatrix ight.)

Đây là dạng toán thường chạm chán trong phần hệ phương trình sang trọng lớp 9 thi tuyển chọn sinh THPT. Để giải dạng bài này thì ngoại trừ cách bên trên ta hoàn toàn có thể sử dụng một cách khác như sau :

Bước 1: Từ nhì phương trình, nhân hệ số phù hợp để thông số của ( x^2 ) ở nhị phương trình là bởi nhau:Bước 2: Trừ nhì vế của nhì phương trình, ta được phương trình dạng :( Ay^2+Bxy=C )(Rightarrow x=fracC-Ay^2By)Bước 3: Thay vào một trong những trong nhì phương trình rồi giải tìm thấy ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ x^2+xy-3y^2=3 endmatrix ight.)

Cách giải:

Hệ phương trình vẫn cho tương tự với :

(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ 2x^2+2xy-6y^2=6 endmatrix ight.)

Trừ nhì vế nhị phương trình ta được :

( 5y^2-3xy =2 )

Nếu ( y=0 ) rứa vào hệ phương trình đã mang đến ta được:

(left{eginmatrix 2x^2=8\x^2=3 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )

Nếu ( y eq 0 ) thì ta có:

(x= frac5y^2-23y)

Thay vào phương trình đầu tiên ta được:

(2.(frac5y^2-23y)^2-y.frac5y^2-23y-y^2=8)

(Leftrightarrow 2(25y^4-20y^2+4)-3y^2(5y^2-2)-9y^4=72y^2)

(Leftrightarrow 26y^4 -106y^2+8=0)

(Leftrightarrow 2(y^2-4)(13y^2-1) =0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl y^2=4\y^2=frac113 endarray ight.)

Thay vào ta được : hệ phương trình vẫn cho tất cả ( 4 ) cặp nghiệm :

((x;y)= (3;2);(-3;-2); (-frac1112197;frac113);(frac1112197;-frac113))

Hệ phương trình quý phái lớp 10 

Trong công tác toán 10 thì vấn đề hệ phương trình sẽ cải thiện hơn, yên cầu học sinh cần phải có thêm một vài ba kĩ năng chuyển đổi để xử lý.

Dạng bài chuyển đổi hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấp

Trong những việc này, hệ phương trình thuở đầu bài toán giới thiệu sẽ chưa hẳn là các phương trình đẳng cấp. Nhưng họ sẽ đổi thay đổi, để ẩn phụ để mang hệ đã cho đổi mới hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2-y^2+2y=9\ x^2+xy+y^2-x-2y=12 endmatrix ight.)

Cách giải:

Ta sẽ biến đổi để gửi phương trình trên về dạng phương trình đẳng cấp

Phương trình đã cho tương đương với :

(left{eginmatrix x^2-(y^2-2y+1)=8\ x^2+x(y-1)+(y^2-2y+1)=13endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-(y-1)^2=8\ x^2+x(y-1)+(y-1)^2=13 endmatrix ight.)

Đặt ( z=y+1 ), phương trình đã cho đổi mới :

(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-z^2=8\ x^2+xz+z^2=13 endmatrix ight. ;;;;; (1) )

Đây là phương trình phong cách bậc ( 2 ) với nhì ẩn ( x;z )

Hệ phương trình trên tương tự với :

(Leftrightarrow left{eginmatrix 13x^2-13z^2=104\ 8x^2+8xz+8z^2=104 endmatrix ight.)

Trừ nhì vế của hai phương trình ta được :

(5x^2-8xz-21z^2=0)

Đặt ( x=tz ). Gắng vào ta được :

( z^2(5t^2-8t-21) =0 )

Nếu ( z=0 ) vắt vào hệ ( (1) ) ta được :

(left{eginmatrix x^2=8\ x^2=13 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )

Nếu ( z eq 0 ) thì ta tất cả :

( 5t^2-8t-21 =0 )

(Leftrightarrow (5t+7)(t-3)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl t=3\t=-frac57 endarray ight.)

Nếu ( t=3 ) , cố vào ta được :

(8z^2=8 Leftrightarrow z= pm 1)

(left<eginarrayl z=1 Rightarrow x=3; y=2\ z=-1 Rightarrow x=-3; y=0endarray ight.)

Nếu ( t=-frac57 ) nỗ lực vào ta được :

(-frac2449z^2=8Leftrightarrow z^2=-frac493Rightarrow) vô lý ( các loại )

Vậy hệ phương trình đang cho tất cả hai cặp nghiệm là ( (x;y) = ( 3;2) ; (-3;0) )

Dạng bài xích hệ phương trình gồm một phương trình đẳng cấp

Đây là đều hệ phương trình mà trong những số ấy có một phươn trình gồm dạng ( f(x;y) =0 ) với ( f ) là phương trình nhị ẩn ( x;y ) có bậc bởi nhau

Để giải việc này thì từ bỏ phương trình quý phái đó, họ đặt ( x=ky ), giải ra ( k ) rồi thế vào phương trình lắp thêm hai, tìm thấy ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x^2-3xy+2y^2=0\ sqrt5x-y-x=1 endmatrix ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ: ( y leq 5x )

Dễ thấy trường hợp ( y=0 ) thì hệ phương trình đã mang lại vô nghiệm. Vậy ( y eq 0 )

Đặt ( x=ky ). Vậy vào phương trình đầu tiên ta được :

( y^2(k^2-3k+2) =0 )

Do ( y eq 0 ) đề xuất (Rightarrow k^2-3k+2=0)

(Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\k=2 endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) thay vào phương trình dưới ta được :

(2y-y=1Leftrightarrow y=1) và ( x=1 )

Nếu ( k=2 ) cố kỉnh vào phương trình bên dưới ta được :

(3y-2y=1Leftrightarrow y=1) và ( x=2 )

Vậy phương trình đang cho có hai cặp nghiệm ( (x;y) = (1;1) ; (2;1) )

Dạng bài bác hệ phương trình bao gồm tích nhì vế đẳng cấp

Đây là gần như hệ phương trình bao gồm dạng:

(left{eginmatrix f_1(x;y)=f_2(x;y)\g_1(x;y)=g_2(x;y) endmatrix ight.) với ( f_1;f_2;g_1;g_2 ) là những hàm số phong cách thỏa mãn:

Bậc của ( f_1.g_1 ) bằng bậc của ( f_2.g_2 )

Để giải hệ phương trình này , ta nhân từng vế của hệ sẽ được một phương trình đẳng cấp:

( f_1(x;y).g_1(x;y) =f_2(x;y).g_2(x;y) )

Đến trên đây ta để ( x=ky ), nắm vào giải ra ( k ). Tiếp đến thay ( k ) vào hệ phương trình ban đầu giải ra ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3-2x-y=0 endmatrix ight.)

Cách giải:

Hệ phương trình vẫn cho tương tự với :

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3=2x+y endmatrix ight.)

Nhân chéo hai vế của hệ phương trình ta được :

( (2x+y)(x^2+xy+y^2) = 3(x^3+2y^3) )

(Leftrightarrow x^3-3x^2y-3xy^2+5y^3=0)

Dễ thấy ví như ( y=0 ) thì hệ đã mang lại vô nghiệm. Vậy phải ( y eq 0 )

Đặt ( x=ky ) . Thế vào phương trình trên ta được :

( y^3(k^3-3k^2-3k+5)=0 )

Do ( y eq 0 ) nên ( k^3-3k^2-3k+5=0 )

(Leftrightarrow (k-1)(k^2-2k-5)=0 Leftrightarrow left<eginarraylk=1 \ k=1-sqrt6\ k=1+sqrt6endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) gắng vào ta được:

(3y^2=3 Leftrightarrow y^2=1 Rightarrow x=y=1) hoặc ( x=y=-1 )

Nếu ( k=1-sqrt6 ) cầm cố vào ta được:

(y^2frac3sqrt3sqrt2+sqrt3=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt2+sqrt3sqrt3)

Vậy ta gồm hai cặp nghiệm :

((x;y)= (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6))

Nếu ( k=1+sqrt6 ) cố gắng vào ta được:

(y^2frac3sqrt3sqrt3-sqrt2=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt3-sqrt2sqrt3)

Vậy ta tất cả hai cặp nghiệm:

((x;y)= (frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6))

Vậy phương trình đã cho bao gồm 6 cặp nghiệm thỏa mãn:

( (x;y)=(1;1);(-1;-1); (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6);(frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6) )

Bài viết trên đây của randy-rhoads-online.com đã giúp đỡ bạn tổng hợp triết lý và các cách thức giải hệ phương trình đẳng cấp.

Xem thêm: Sách Giải Bài Tậ P

Mong muốn những kỹ năng và kiến thức trong nội dung bài viết sẽ góp ích cho bạn trong quy trình học tập và nghiên cứu và phân tích chủ đề hệ phương trình đẳng cấp. Chúc bạn luôn luôn học tốt!.

Tu khoa lien quan:

giải phương trình đẳng cấp và sang trọng lớp 9phương trình đẳng cấp bậc 2 lớp 10dấu hiệu nhận biết hệ phương trình đẳng cấp