Cho hai đường thẳng (a) cùng (b) trong ko gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với (a) và (b):

Trường thích hợp 1: gồm một mặt phẳng cất cả (a) cùng (b,) khi ấy theo tác dụng tronh hình học tập phẳng ta tất cả ba kỹ năng sau:

(a) cùng (b) cắt nhau tại điểm (M), ta kí hiệu (a cap b = M.)(a) và (b) tuy nhiên song cùng với nhau, ta kí hiệu (a//b).(a) với (b) trùng nhau, ta kí hiệu (a equiv b).

Bạn đang xem: Ký hiệu cắt trong toán học

Trường thích hợp 2: Không xuất hiện phẳng nào đựng cả (a) cùng (b), khi ấy ta nói (a) cùng (b) là hai tuyến phố thẳng chéo nhau.


2. Các định lí và tính chất


Trong ko gian, sang 1 điểm cho trước không nằm trê tuyến phố thẳng (a) bao gồm một và có một đường thẳng tuy vậy song với (a).Nếu tía mặt phẳng rõ ràng đôi một giảm nhau theo ba giao tuyến thì cha giao tuyến đường đó hoặc đồng qui hoặc song một tuy nhiên song.Nếu nhì mặt phẳng phân minh lần lượt chứa hai đường thẳng tuy vậy song thì giao đường của chúng (nếu có) cũng tuy vậy song với hai tuyến đường thẳng đó hoặc trùng với một trong những hai đường thẳng đó.Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng tuy nhiên song với con đường thẳng thứ bố thì chúng song song.

*

3. Việc Tìm giao tuyến đường của hai mặt bằng quan hệ tuy vậy song

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: giả dụ hai khía cạnh phẳng (left( alpha ight)) cùng (left( eta ight)) tất cả điểm tầm thường (M)và theo thứ tự chứa hai đường thẳng tuy nhiên song (d) cùng (d") thì giao con đường của (left( alpha ight)) cùng (left( eta ight)) là con đường thẳng đi qua (M) song song cùng với (d) với (d").

Ví dụ:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thang với các cạnh đáy là (AB) cùng (CD). điện thoại tư vấn (I,J) theo thứ tự là trung điểm của những cạnh (AD) và (BC) cùng (G) là giữa trung tâm của tam giác (SAB).

a) search giao tuyến của nhị mặt phẳng (left( SAB ight)) với (left( IJG ight)).

b) Tìm điều kiện của (AB) với (CD) để thiết diện của (left( IJG ight)) cùng hình chóp là một trong hình bình hành.

Hướng dẫn:

*

a) Ta tất cả (ABCD) là hình thang và (I,J) là trung điểm của (AD,BC) buộc phải (IJ//AB).

Vậy (left{ eginarraylG in left( SAB ight) cap left( IJG ight)\AB subset left( SAB ight)\IJ subset left( IJG ight)\A//IJendarray ight.)

( Rightarrow left( SAB ight) cap left( IJG ight) = MN//IJ//AB) với

(M in SA,N in SB).

b) hay thấy thiết diện là tứ giác (MNJI).

Do (G) là trọng tâm tam giác (SAB) và

(M//AB) phải (fracMNAB = fracSGSE = frac23)

((E) là trung điểm của (AB)).

( Rightarrow MN = frac23AB).

Lại bao gồm (IJ = frac12left( AB + CD ight)). Do (MN//IJ) buộc phải (MNIJ) là hình thang, vì vậy (MNIJ) là hình bình hành khi (MN = IJ)

( Leftrightarrow frac23AB = frac12left( AB + CD ight) Leftrightarrow AB = 3CD).

Vậy thiết diện là hình bình hành lúc (AB = 3CD).

4. Bài bác toán chứng minh hai mặt đường thẳng tuy nhiên song

Phương pháp:

Để chứng tỏ hai đường thẳng tuy nhiên song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

Chứng minh chúng cùng trực thuộc một khía cạnh phẳng rồi sử dụng các phương pháp chứng minh hai tuyến phố thẳng tuy vậy song trong phương diện phẳng.Chứng minh hai tuyến đường thẳng kia cùng song song vơi mặt đường thẳng thiết bị ba.Nếu nhì mặt phẳng tách biệt lần lượt chứa hai tuyến phố thẳng tuy vậy song thì giao con đường của bọn chúng (nếu có) cũng song song với hai tuyến phố thẳng kia hoặc trùng với 1 trong các hai đường thẳng đó.Sử dụng định lí về giao đường của tía mặt phẳng.Ví dụ:

Cho hình chóp (S.ABCD) tất cả đáy (ABCD) là 1 trong những hình thang với đáy mập (AB). điện thoại tư vấn (M,N) lần lượt là trung điểm của (SA) cùng (SB).

a) chứng minh MN // CD.

b) gọi (P) là giao điểm của (SC) cùng (left( ADN ight)), (I) là giao điểm của (AN) và (DP). Chứng tỏ SI // CD.

Hướng dẫn:

*

a) Ta có (MN) là con đường trung bình của tam giác (SAB) cần (MN//AB).

Lại có (ABCD) là hình thang ( Rightarrow AB//CD).

Vậy (left{ eginarraylMN//AB\CD//ABendarray ight. Rightarrow MN//CD).

b) trong (left( ABCD ight)) hotline (E = AD cap BC), vào (left( SCD ight)) gọi (P = SC cap EN).

Ta gồm (E in AD subset left( ADN ight)) ( Rightarrow EN subset left( AND ight) Rightarrow p. in left( ADN ight)).

Vậy (P = SC cap left( ADN ight)).

Do (I = AN cap DP Rightarrow left{ eginarraylI in AN\I in DPendarray ight. )

(Rightarrow left{ eginarraylI in left( SAB ight)\I in left( SCD ight)endarray ight. Rightarrow đam mê = left( SAB ight) cap left( SCD ight)).

Ta gồm (left{ eginarraylAB subset left( SAB ight)\CD subset left( SCD ight)\AB//CD\left( SAB ight) cap left( SCD ight) = SIendarray ight. Rightarrow SI//CD).

5. Bài xích toán chứng tỏ bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui

Phương pháp:

Để minh chứng bốn điểm (A,B,C,D) đồng phẳng ta tìm hai tuyến phố thẳng (a,b) lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng tỏ (a,b) song song hoặc giảm nhau, khi đó (A,B,C,D) ở trong (mpleft( a,b ight)).

Để chứng tỏ ba con đường thẳng (a,b,c)đồng qui quanh đó cách minh chứng ở §1, ta có thể chứng tỏ (a,b,c) theo thứ tự là giao tuyến của nhị trong bố mặt phẳng (left( alpha ight),left( eta ight),left( delta ight)) trong những số ấy có hai giao tuyến giảm nhau. Khi đó theo đặc điểm về giao tuyến của tía mặt phẳng ta được (a,b,c) đồng qui.

Ví dụ 1:

Cho hình chóp (S.ABCD) gồm đáy (ABCD) là một trong những tứ giác lồi. Call (M,N,E,F) lần lượt là trung điểm của các bên cạnh (SA,SB,SC) cùng (SD).

a) chứng minh (ME,NF,SO) đồng quy.

b) chứng minh (M, N, E, F) đồng phẳng.

Hướng dẫn:

*

a) trong (left( SAC ight)) điện thoại tư vấn (I = ME cap SO), hay thấy (I) là trung điểm của (SO), suy ra (FI) là đường trung bình của tam giác (SOD).

Vậy (FI//OD).

Tương tự ta có (NI//OB) đề xuất (N,I,F) trực tiếp hàng hay (I in NF).

Vậy (ME,NF,SO) đồng qui.

b) vày (ME cap NF = I) yêu cầu (ME) với (NF) xác minh một phương diện phẳng.

Suy ra (M,N,E,F) đồng phẳng.

6. Bài tập Ôn tập

Bài 1:

Cho hình chóp (S.ABC). Gọi (G_1,G_2) lần lượt là trọng tâm các tam giác (SBC) và (SAB).

a) chứng minh (G_1G_2//AC).

b) tìm kiếm giao đường của hai mặt phẳng (left( BG_1G_2 ight)) cùng (left( ABC ight)).

Hướng dẫn:

*

a) hotline (M,N) theo lần lượt là trung điểm của (AB,BC).

Do (G_1,G_2) là trọng tâm những tam giác (SBC) cùng (SAB) phải (fracSG_1SN = frac23,fracSG_2SM = frac23)( Rightarrow fracSG_1SN = fracSG_2SM)

( Rightarrow G_1G_2//MN).

Mặt không giống (MN//AC Rightarrow G_1G_2//AC).

b) Ta bao gồm (left{ eginarraylB in left( BG_1G_2 ight)\G_1G_2 subset left( BG_1G_2 ight)\AC subset left( ABCD ight)\G_1G_2//ACendarray ight.)

( Rightarrow left( BG_1G_2 ight) cap left( ABCD ight) = d//AC//G_1G_2.)

Bài 2:

Cho tứ diện đa số (ABCD) cạnh (a). Hotline (M,N) theo lần lượt là trung điểm của (CD) cùng (AB).

a) Hãy xác định các điểm (I in AC) với (J in DN) sao để cho (IJ//BM).

b) Tính (IJ) theo (a).

Hướng dẫn:

*

a) trong (left( BCD ight)), từ (D) kẻ mặt đường thẳng tuy nhiên song với (BM) cắt (BC) trên (K). Nối (K) và (N) giảm (AC) trên (I). Vào (left( IKD ight)), trường đoản cú (I) kẻ con đường thẳng tuy nhiên song cùng với (DK) cắt (DN) tại (J).

Khi đó (IJ//BM).

b) vày (BM) là con đường trung bình của tam giác (CKD) phải (KD = 2BM = 2.fracasqrt 3 2 = asqrt 3 ).

Gọi (H) là trung điểm của (BC). Khi đó

(HN//AC Rightarrow fracNKNI = fracKHHC = frac3HCHC = 3)

( Rightarrow NK = 3NI Rightarrow KD = 3IJ)

( Rightarrow IJ = frac13KD = fracasqrt 3 3).

Bài 3:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thang.Một mặt phẳng (left( alpha ight)) cắt những cạnh (SA,SB,SC) với (SD) theo lần lượt tại các điểm (M,N,P,Q).

a) đưa sử (MN cap PQ = I), (AB cap CD = E). Chứng tỏ (I,E,S) thẳng hàng.

b) đưa sử (Delta = left( IBC ight) cap left( IAD ight)) với (Delta subset left( alpha ight)).

Chứng minh (MQ//NP//AB//CD).

Xem thêm: Bài Tập Rút Gọn Biểu Thức Lớp 4 Bài 101: Rút Gọn Phân Số, Rút Gọn Phân Số Lớp 4 Và Cách Giải

Hướng dẫn:

*

a) Ta có (SE = left( SAB ight) cap left( SCD ight))

(I = MN cap PQ Rightarrow left{ eginarraylI in MN subset left( SAB ight)\I in PQ subset left( SCD ight)endarray ight.)

( Rightarrow I in left( SAB ight) cap left( SCD ight)), hay (I in SE).

b) do (left{ eginarraylI in left( IAD ight) cap left( IBC ight)\AD//BC\AD subset left( IAD ight)\BC subset left( IBC ight)endarray ight.)

( Rightarrow left( IAD ight) cap left( IBC ight) = Delta //AB//DC,I in Delta )Mặt khác theo giả thiết (Delta subset left( alpha ight)) nên

(left{ eginarraylDelta subset left( alpha ight)\BC subset left( SBC ight)\Delta //BC\left( alpha ight) cap left( SBC ight) = NPendarray ight. Rightarrow NP//BC//Delta )