1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K ví như F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của ln u

2. đặc thù nguyên hàm

Nguyên hàm tất cả 3 tính chất quan trọng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng cách làm nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi trở nên tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong những số ấy φ(x) là hàm số nhưng ta lựa chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhì về dt = φ"(x)dxBước 3: bộc lộ f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi ấy $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu thị $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến tấu 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để đặt u cùng dv: tìm kiếm được v dễ ợt và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: lắp thêm tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, các chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm bằng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy tìm kiếm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đã hướng dẫn biện pháp bấm máy vi tính nguyên hàm cấp tốc theo 3 bước sau:

Bước 1: dấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá nghiệm

Nếu công dụng bằng 0 (gần bởi 0 ) thì đó là đáp án cần chọn

Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm thiết bị tính

Bước 1: Nhập vào máy vi tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( left ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong hiệu quả A cùng C nếu đến X = 2 thì phần đông cho hiệu quả là 0. Vậy khi bao gồm trị hoàn hảo nhất thì đến X một giá trị cho biểu thức vào trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một nhiều thứcTa lựa lựa chọn 1 trong hai biện pháp sau:

Cách 1: thực hiện nguyên hàm từng phần, triển khai theo công việc sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: cầm cố vào phương pháp nguyên hàm từng phần.Bước 3: thường xuyên thủ tục như trên ta sẽ khử được bậc của đa thức.

Xem thêm: Giải Thích Câu Đêm Tháng 5 Chưa Nằm Đã Sáng Ngày Tháng 10 Chưa Cười Đã Tối ?

Cách 2: Sử dụng cách thức hệ số bất định, tiến hành theo quá trình sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong số ấy $A(x)$ cùng $B(x)$ là những đa thức cùng bậc với $P(x).$ Bước 2: rước đạo hàm hai vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số biến động ta khẳng định được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: trường hợp bậc của đa thức to hơn $3$ thì giải pháp 1 tỏ ra cồng kềnh, vì khi đó ta thực hiện số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, cho nên vì thế ta đi đến nhận định và đánh giá như sau:

Nếu bậc của nhiều thức nhỏ tuổi hơn hoặc bởi $2$: Ta sử dụng cách 1.Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bằng $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài xích tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dìm xét trên, ta sử dụng cách thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhị vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng tuyệt nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$