nhận xét. Cùng với câu (b) của lấy một ví dụ này, ta thấy có lộ diện thêm những đa thức cất dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng vấn đề này sẽ gây trở ngại hơn trong việc giải quyết, vìphương trình chứa dấu trị tuyệt đối hoàn hảo thì thường cực nhọc phân tích thành nhân tử. Tuy nhiên nhờ việcsử dụng cách thức nhân lượng liên hợp, vấn đề này đã được giải gấp rút và khá nhẹnhàng. Khi ấy, ta chỉ việc chuyển những lượng ấy về đúng vị trí với sử dụng phương pháp nhânlượng phối hợp là đủ.Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp chất nhận được ta dám biến đổi các biểu thức một biện pháp tựdo hơn, thoải mái hơn, không xẩy ra gò bó những quá ở câu hỏi lựa chọn biểu thức thật thích hợp hayđánh giá như trong các cách khác




Bạn đang xem: Nhân lượng liên hợp

*
*

Bạn sẽ xem ngôn từ tài liệu Phương pháp nhân lượng liên hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ, để thiết lập tài liệu về máy các bạn click vào nút download ở trên


Xem thêm: Phân Tích Nhân Vật Ngô Tử Văn Chuyện Chức Phán Sự Đền Tản Viên Của Nguyễn

http://onluyentoan.vnPHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢPGIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈLê Phúc Lữ12Phương pháp nhân lượng liên hợp là 1 cách giải không còn xa lạ được áp dụng không hề ít trongcác việc giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ. Phương pháp giải đơn giản và dễ dàng và tác dụng nàykhông rất nhiều giúp ta tiếp cận bài toán theo hướng tự nhiên và thoải mái hơn mà còn giúp ta tự chế tạo ra đượcnhiều bài toán mớ lạ và độc đáo một giải pháp dễ dàng, thông qua đó rất có thể tự tập luyện thêm các kỹ năngcho mình. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm nắm rõ hơn về phương pháp nhân lượngliên hợp cũng giống như những điều cần để ý khi áp dụng nó.1 kiến thức và kỹ năng cần lưu giữ và một số bài toán mở đầu1.1 kỹ năng và kiến thức cần nhớỞ chương trình THCS, chúng ta đã khá quen thuộc với những bài toán về biến đổi biểu thứcvô tỉ bằng cách dùng đại lượng tương xứng để khử căn nhằm mục tiêu làm xuất hiện thêm nhân tử. Điều đóđược triển khai nhờ các hằng đẳng thức cơ bản sau3:• a2 − b2 = (a− b)(a+ b)⇔ a− b = a2 − b2a+ b.• a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)⇔ a− b = a3 − b3a2 + ab+ b2.• a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2 + b2)⇔ a− b = a4 − b4(a+ b)(a2 + b2).• · · ·• an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1).Sử dụng ý tưởng phát minh này, trong số bài toán về phương trình cùng hệ phương trình, chúng ta có thểnhóm hoặc thêm bớt các đại lượng phù hợp vào những biểu thức chứa căn rồi làm xuất hiện cácđa thức. Nhờ vấn đề phân tích những đa thức đó thành nhân tử làm mở ra ra quá số chung, ta1Sinh viên ngôi trường Đại học FPT, tp Hồ Chí Minh. Nickname chienthan sống Diễn lũ Cùng nhau vượtĐại dương 2Bài viết được trình diễn lại bởi chương trình soạn thảo LaTeX vì chưng can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõnguồn của khi đăng sở hữu trên các trang website khác.3Ở đây ta tạm gọi là những biểu thức đã thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại của phép chia.1http://onluyentoan.vn2 Lê Phúc Lữđưa câu hỏi đã mang đến về những phương trình tích rất gần gũi và trường đoản cú đó xử lý tiếp. Tất yếu là cónhiều yếu đuối tố khác cần chú ý nhưng với các bài toán thường thì thì phát minh tổng quát mắng là:Giả sử trong phương trình, hệ phương trình đề nghị xét, chúng ta có biểu thức dạng√P (x) vớiP (x) là 1 đa thức như thế nào đó. Bằng phương pháp nhẩm nghiệm, ta kiếm được x = a là một nghiệm củanó. Khi đó, ta sẽ cung ứng biểu thức trên đại lượng −√P (a) để có được thay đổi sau√P (x)−√P (a) =P (x)− p (a)√P (x) +√P (a).Đa thức p (x) − p (a) ở trên tử rõ ràng hoàn toàn có thể phân tích thành (x − a)G(x) nên sau khi làmcác các bước thêm bớt tương tự vào đều đại lượng còn lại, bọn họ sẽ giành được ngay nhântử phải tìm.Như thế, tổng quát hơn, nếu ta bao gồm phương trình dạng f(x) = 0 với f(x) khẳng định trên miền Dvà ta đã biết nó tất cả nghiệm là x = a ∈ D thì ta có thể chuyển đổi đưa nó về dạng (x− a)g(x) = 0và quy về cách xử trí phương trình new g(x) = 0.Trong những trường phù hợp thì g(x) sẽ vô nghiệm trên D, tuy nhiên một số trường phù hợp khác thìnó sẽ vẫn tồn tại nghiệm nữa và điều này đòi hỏi vô số cách xử lý ham mê hợp.1.2 những ví dụ minh họaVí dụ 1. Giải phương trình sau:√x+ 1 +√x+ 4 +√x+ 9 +√x+ 16 =√x+ 100.Lời giải. Điều kiện: x > −1. Ta thấy x = 0 là 1 trong nghiệm của phương trình nên rất có thể tiếnhành thay đổi như sau(√x+ 1− 1)+ (√x+ 4− 2)+ (√x+ 9− 3)+ (√x+ 16− 4) = (√x+ 100− 10)⇔ (x+ 1)− 12√x+ 1 + 1+(x+ 4)− 22√x+ 4 + 2+(x+ 9)− 32√x+ 9 + 3+(x+ 16)− 42√x+ 16 + 4=(x+ 100)− 102√x+ 100 + 10⇔ x√x+ 1 + 1+x√x+ 4 + 2+x√x+ 9 + 3+x√x+ 16 + 4=x√x+ 100 + 10⇔x = 01√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10Xét phương trình:1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10. (1)Ta có√x+ 100 + 10 >√x+ 1 + 1 > 0 nên1√x+ 1 + 1>1√x+ 100 + 10,suy ra1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4>1√x+ 100 + 10, ∀x > −1và cho nên vì vậy phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đang cho bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị x = 0.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 3Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:(a) 3√x+√x+ 3 = 3; (b) 3√2x+ 1 + 3√x = 1.Lời giải. (a) Điều kiện xác định: x > −3. Phương trình đã cho tương tự với(3√x− 1)+ (√x+ 3− 2) = 0⇔ x− 13√x2 + 3√x+ 1+x− 1√x+ 3 + 2= 0⇔ (x− 1)(13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2)= 0⇔x− 1 = 013√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0Từ đây, ta thấy x = một là một nghiệm của phương trình. Xét x 6= 1, khi đó theo các chuyển đổi ởtrên, ta có13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0.Tuy nhiên, vấn đề đó không thể xảy ra do√x+ 3 + 2 > 0 và3√x2 + 3√x+ 1 =(3√x+12)2+34> 0.Vậy phương trình đã cho bao gồm một nghiệm tuyệt nhất x = 1.(b) Phương trình đang cho tương đương với(3√2x+ 1− 1)+ 3√x = 0⇔ (2x+ 1)− 13√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 2x3√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 3√x 2 3√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0⇔x = 023√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0Dễ thấy23√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 > 0, ∀x ∈ Rnên trường đoản cú trên, ta suy ra x = 0 là nghiệm tuyệt nhất của phương trình đã cho.Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình sau:√x2 + 15 = 33√x2 +√x2 + 8− 2.Lời giải. Phương trình sẽ cho tương đương với(√x2 + 15− 4) = 3( 3√x2 − 1)+ (√x2 + 8− 3)⇔ x2 − 1√x2 + 15 + 4=3(x2 − 1)3√x4 +3√x2 + 1+x2 − 1√x2 + 8 + 3.http://onluyentoan.vn4 Lê Phúc LữNhư vậy, ta gồm x2 = 1 hoặc1√x2 + 15 + 4=33√x4 +3√x2 + 1+1√x2 + 8 + 3.Tuy nhiên, do√x2 + 8 + 3 3√2. Phương trình đang cho tương đương với(3√x2 − 1− 2)+ (x− 3) = (√x3 − 2− 5)⇔ (x− 3)<1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4>=(x− 3)(x2 + 3x+ 9)√x3 − 2 + 5⇔x = 31 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5Xét phương trình:1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 . (1)Ta tất cả các review sau:• V phường = x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 >x2 + 3x+ 9√x3 + 5> x2 + 3x+ 9x2+x2+ 5= 2 +2(2x− 1)x2 + x+ 10> 2.• V T 3√2, ta gồm V T 9.Thật vậy, ta có(x2 + 4x+ 7)<4 + 2 3√3x+ 5 +3√(3x+ 5)2>=<(x+ 2)2 + 3> <(3√3x+ 5 + 1)2+ 3>> 9và đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi{x+ 2 = 03√3x+ 5 + 1 = 0⇔ x = −2.Từ phía trên ta suy ra (1) có nghiệm độc nhất x = −2. Vậy phương trình đã đến có toàn bộ hainghiệm là x = 1 và x = −2.Cách 2. Ta sẽ chuyển đổi phương trình đã đến theo cách khác như sau:x3 + 3x2 − 3 3√3x+ 5 = 1− 3x⇔ (x3 + 3x2 − 4) + 3 (x+ 1− 3√3x+ 5) = 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3<(x+ 1)3 − 3x− 5>(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3(x3 + 3x2 − 4)(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)21 + 3(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2 = 0.Biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với đa số x ∈ R đề xuất ta suy ra phương trình đã đến cóhai nghiệm là x = 1 cùng x = −2.http://onluyentoan.vn6 Lê Phúc LữNhận xét. Ở cách trước tiên của câu (b), bởi vì chỉ tìm kiếm được một nghiệm của phương trình làx = 1 nên giải mã dẫn đến một phương trình khác mà ta cần dùng bất đẳng thức reviews đểtìm nghiệm còn lại. Trong lúc đó, ở cách 2, vị đã kiếm được cả hai nghiệm của phương trình đãcho nên hoàn toàn có thể chủ rượu cồn nhóm những hạng tử để tạo cho nhân tử chung là (x− 1)(x+2), còn lạibiểu thức trong ngoặc đã luôn dương với tất cả x nên việc giải phương trình coi như hoàn tất.Các cách phân tích để sở hữu được bí quyết nhóm trên đã được ra mắt rõ ở những bài sau. Dưới đây làcách thông dụng khi giải câu hỏi này, đó đó là đưa về hệ phương trình đối xứng, một cáchgiải quan trọng dùng để xử lý các bài phương trình gồm bậc nhị vế là nghịch đảo của nhau.Cách 3. Phương trình đang cho có thể được viết dưới dạng(x+ 1)3 − 2 = 3 3√3x+ 5.Đặt 3√3x+ 5 = y + 1 thì ta có (y + 1)3 = 3x+ 5. Từ đây cùng từ phương trình nghỉ ngơi trên, ta gồm hệ{(x+ 1)3 = 3y + 5(y + 1)3 = 3x+ 5Trừ vế theo vế các phương trình, ta được(x− y) <(x+ 1)2 + (x+ 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 3> = 0⇔ x = y(Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với tất cả x, y ∈ R). Cầm cố y = x ngược quay trở lại vàohệ, ta được phương trình tương ứng là(x+ 1)3 = 3x+ 5.Giải ra với thử lại, ta cũng rất được các nghiệm x = 1 cùng x = −2.Ví dụ 5. Giải những phương trình sau:(a) (x+ 3)√2x2 + 1 = x2 + x+ 3; (b) (x+ 3)√x2 + 5 = 2x2 + 3x+ 1.Lời giải. (a) hay thấy x = −3 ko là nghiệm của phương trình cần ta chỉ việc xét x 6= −3là đủ. Khi đó, phương trình vẫn cho có thể được viết lại bên dưới dạng√2x2 + 1 =x2 + x+ 3x+ 3⇔√2x2 + 1− 1 = x2x+ 3⇔ 2x2√2x2 + 1 + 1=x2x+ 3⇔x = 0 2√2x2 + 1 + 1=1x+ 3Từ đây ta suy ra x = 0 là một trong nghiệm của phương trình đã cho. Xét phương trình còn lại, tathấy phương trình này tương đương với√2x2 + 1 + 1 = 2x+ 6⇔ √2x2 + 1 = 2x+ 5⇔x > −522x2 + 1 = 4x2 + 25 + 20x⇔x > −52x2 + 10x+ 12 = 0⇔x > −52x = −5 +√13 ∨ x = −5−√13⇔ x = −5 +√13.Vậy phương trình vẫn cho gồm hai nghiệm là x = 0 và x = −5 +√13.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng phối hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ 7(b) tương tự như bài trên, ta thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình. Xét x 6= −3, ta cóphương trình tương đương√x2 + 5 =2x2 + 3x+ 1x+ 3⇔√x2 + 5− 3 = 2x2 + 3x+ 1x+ 3− 3⇔ x2 − 4√x2 + 5 + 3=2(x2 − 4)x+ 3⇔x2 − 4 = 01√x2 + 5 + 3=2x+ 3Nếu x2 − 4 = 0 thì ta gồm x = ±2 cùng hai quý giá này vừa lòng phương trình đang cho. Còn vớix2 − 4 6= 0 thì từ biến đổi trên, ta có1√x2 + 5 + 3=2x+ 3⇔ x+ 3 = 2√x2 + 5 + 6⇔ x− 3 = 2√x2 + 5⇔{x > 3x2 + 9− 6x = 4(x2 + 5) ⇔{x > 33x2 + 6x+ 11 = 0Rõ ràng không tồn tại giá trị như thế nào của x thỏa mãn nhu cầu hệ này. Cùng như thế, ta đi đến tóm lại phươngtrình đã cho có hai nghiệm là x = −2 với x = 2.Ví dụ 6. Giải những phương trình sau:(a)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 4− 2x;(b)√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x;(c)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 2x.Lời giải. (a) Điều kiện: x > 1. Với đk này, ta dễ dàng thấy:• V T > √x+ 3 > 2 với đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi x = 1.• V p. 6 2 cùng đẳng thức cũng xảy ra khi và chỉ khi x = 1.Do vậy, để hoàn toàn có thể xảy ra trường đúng theo V T = V p. Như đang nêu nghỉ ngơi đề bài xích thì ta phải gồm V T = V p = 2,tức x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm độc nhất x = 1.(b) Điều kiện: x > 1. Ta nhẩm được x = 1 là nghiệm của phương trình và điều đó gợi mang lại tanghĩ đến việc đổi khác phương trình như sau√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = √x+ 3− 2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −(x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x.Ta thấy rằng cùng với x > 1 thì vế trái của phương trình trên là 1 trong đại lượng ko âm, trongkhi kia vế phải luôn mang cực hiếm 6 0. Do đó, để rất có thể xảy ra được lốt đẳng thức như trênthì cả nhị đại lượng này buộc phải đồng thời bởi 0, có nghĩa là x = 1. Vậy x = một là nghiệm duy nhấtcủa phương trình vẫn cho.http://onluyentoan.vn8 Lê Phúc Lữ(c) Điều kiện: x > 1. Biến đổi tương từ bỏ như trên, ta được√x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = (x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x⇔ √x− 1<1 + 2√x2 − 3x+ 5−√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x>= 0⇔√x− 1 = 01 + 2√x2 − 3x+ 5 =√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2xĐến đây, bằng cách giải phương trình máy nhất, ta kiếm được một nghiệm là x = 1. Xét tiếpphương trình trang bị hai, ta thấy1 + 2√x2 − 3x+ 5 = 1 +√2 > 1 +√2x2 > 1 + x.Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì x = (x− 1) + 1 > 2√x− 1. Vày vậy, ta có√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x6√x− 1(4x+ 3)2x6x2· (4x+ 3)2x=4x+ 34 2. Ta có phương trình đang cho tương đương với2(x− 3) +(√x+ 6− 3√x− 2)= 0⇔ 2(x− 3) + (x+ 6)− 9(x− 2)√x+ 6 + 3√x− 2 = 0⇔ (x− 3)<1− 4√x+ 6 + 3√x− 2>= 0⇔ 0, ∀x ∈<−13, 6>nên ngôi trường hợp thiết bị hai cần yếu xảy ra. Từ trên đây ta suy ra phương trình đã cho chỉ gồm mộtnghiệm duy nhất là x = 5.Ví dụ 8. Giải những phương trình với bất phương trình sau:(a) 3√2x+ 2 + 3√2x+ 1 =3√2x2 + 3√2x2 + 1;(b)√3− x+√2 + x = x3 + x2 − 4x− 4 + |x|+ |x− 1|;(c) 2√x2 + x+ 1x+ 4+ x2 − 4 6 2√x2 + 1.Lời giải. (a) Ta thấy rằng ở hai vế đều sở hữu dạng hàm số f(t) = 3√t+ 3√t+ 1 nên có thể dùngtính đơn điệu của hàm số nhằm giải dễ dàng. Ở đây, ta dùng phương pháp nhân phối hợp nhằmlàm xuất hiện nhân tử phổ biến ở nhì vế. Trước hết, ta viết lại phương trình bên dưới dạng(3√2x2 + 1− 3√2x+ 2)+(3√2x2 − 3√2x+ 1)= 0.Bằng giải pháp nhân những lượng liên hợp tương ứng, ta có3√2x2 + 1− 3√2x+ 2 = 2x2 − 2x− 13√(2x2 + 1)2 + 3√(2x2 + 1)(2x+ 2) + 3√(2x+ 2)2=2x2 − 2x− 1Avà3√2x2 − 3√2x+ 1 = 2x2 − 2x− 13√(2x2)2 + 3√2x2(2x+ 1) + 3√(2x+ 1)2=2x2 − 2x− 1B.Do đó, phương trình đang cho tương tự với(2x2 − 2x− 1)(1A+1B)= 0.Tuy nhiên, vì chưng A, B > 0 đề nghị từ đây ta có2x2 − 2x− 1 = 0⇔ x = 1−√32∨ x = 1 +√32.Vậy phương trình đã cho bao gồm hai nghiệm là x = 1−√32và x = 1+√32.http://onluyentoan.vn10 Lê Phúc Lữ(b) Điều kiện: −2 6 x 6 3. Phương trình vẫn cho tương tự với(√3− x− |x− 1|)+ (√2 + x− |x|) = x3 + x2 − 4x− 4⇔ −x2 + x+ 2√3− x+ |x− 1| +−x2 + x+ 2√2 + x+ |x| = (x+ 2)(x+ 1)(x− 2)⇔ (2− x)(x+ 1)√3− x+ |x− 1| +(2− x)(x+ 1)√2 + x+ |x| + (x+ 2)(x+ 1)(2− x) = 0⇔ (2− x)(x+ 1)<1√3− x+ |x− 1| +1√2 + x+ |x| + (x+ 2)>= 0.Do 1√3−x+|x−1| +1√2+x+|x| + (x+ 2) > 0, ∀x ∈ <−2, 3> yêu cầu từ trên, ta có(2− x)(x+ 1) = 0⇔ x = −1 ∨ x = 2.Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = −1 cùng x = 2.(c) Điều kiện: x > −4. Bất phương trình sẽ cho tương đương với2(√x2 + x+ 1x+ 4− 1)+ x2 − 3 6 2√x2 + 1− 1⇔ 2 ·x2+x+1x+4− 1√x2+x+1x+4+ 1+ x2 − 3 64x2+1− 12√x2+1+ 1⇔ 2 (x2 − 3)√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ (x2 − 3) + x2 − 3(2 +√x2 + 1)√x2 + 16 0.Và như thế, ta thu được(x2 − 3)<2√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ 1 +1(2 +√x2 + 1)√x2 + 1>6 0.Dễ thấy biểu thức trong vết ngoặc thứ hai luôn luôn dương với mọi x > −4, do đó ta hoàn toàn có thể viếtlại bất phương trình trên thànhx2 − 3 6 0⇔ −√3 6 x 6√3.Kết phù hợp với điều kiện xác minh x > −4, ta chiếm được T = <−√3, √3> là tập nghiệm của bấtphương trình vẫn cho.Nhận xét. Với câu (b) của lấy ví dụ này, ta thấy có lộ diện thêm những đa thức cất dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng vấn đề này sẽ gây trở ngại hơn trong vấn đề giải quyết, vìphương trình chứa dấu trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất thì thường cực nhọc phân tích thành nhân tử. Mà lại nhờ việcsử dụng phương thức nhân lượng liên hợp, việc này đã có giải hối hả và khá nhẹnhàng. Lúc ấy, ta chỉ việc chuyển các lượng ấy về đúng vị trí cùng sử dụng cách thức nhânlượng liên hợp là đủ.Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp chất nhận được ta dám thay đổi các biểu thức một giải pháp tựdo hơn, dễ chịu hơn, không trở nên gò bó các quá ở bài toán lựa chọn biểu thức thật tương thích hayđánh giá như trong số cách khác.