1. Phần bù đại số
Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ khi ấy $A_ij=(-1)^i+jM_ij,$ cùng với $M_ij$ là định thức cảm nhận từ định thức của ma trận $A$ bằng cách bỏ đi dòng $i$ cùng cột $j$ được hotline là phần bù đại số của thành phần $a_ij.$
Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight).$
Tính những phần bù đại số $A_11,A_12,A_13,A_14.$
Giải.
Bạn đang xem: Phần bù đại số
Ta có:
$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$
Công thức triển khai Laplace
Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc đó
$det (A)=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in ext (i=1,2,...,n)$
đây là cách làm khai triển định thức ma trận $A$ theo mẫu thứ $i.$
$det (A)=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj ext (j=1,2,...,n)$
đây là cách làm khai triển định thức ma trận $A$ theo cùng thứ $j.$
Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight)$ theo bí quyết khai triển dòng 1.
Giải. Có$det (A)=1.A_11+2.A_12-1.A_13+m.A_14,$ trong số ấy
$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$
Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$
Ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&1&2&2\ - 3&1&5&1\ - 2&5&0&0\ 2& - 1&3& - 1 endarray ight|.$
Giải. Để ý chiếc 3 của định thức tất cả 2 phần tử bằng 0 yêu cầu khai triển theo dòng này sẽ chỉ gồm hai số hạng
Có
Ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray*20c 0&1&2& - m\ - 2& - 1&2&1\ 0& - 3&4&2\ 0& - 5&1&1 endarray ight|.$
Giải. Để ý cột 1 bao gồm 3 thành phần bằng 0 yêu cầu khai triển theo cột 1 ta có
Ví dụ 4: Tính định thức
Giải. Để ý cột 3 có phần tử đầu tiên là 1, vậy ta sẽ biến đổi sơ cấp cho cho định thức theo cột 3
Ví dụ 5: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ 2& - 4&3&1\ - 3&2&1&2 endarray ight|.$
Giải. Có
Ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 3&2&1&2 endarray ight).$ Tính tổng các phần bù đại số của các bộ phận thuộc loại 4 của ma trận $A.$
Giải. Thay các thành phần ở loại 4 của ma trận A bởi $-2,$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 2& - 2& - 2& - 2 endarray ight)$ bao gồm định thức bởi 0 vì tất cả hai loại giống nhau với hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 kiểu như nhau.
Vậy $det (B)=-2A_41-2A_42-2A_43-2A_44=0Leftrightarrow A_41+A_42+A_43+A_44=0.$
Ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ - 4&5& - 6&7 endarray ight).$ Tính $A_41+2A_42+3A_43+4A_44.$
Giải. Thay các thành phần ở loại 4 của ma trận A lần lượt bởi vì $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ 1&2&3&4 endarray ight)$ có định thức bởi 0 vì có hai chiếc giống nhau và hai ma trận $A,B$ có những phần bù đại số của các bộ phận dòng 4 giống nhau
Vậy $det (B)=1A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0Leftrightarrow A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0.$
Ví dụ 8: Cho D là 1 trong những định thức cấp cho n có toàn bộ các thành phần của một chiếc thứ i bằng 1. Chứng minh rằng:
Tổng các phần bù đại số của các bộ phận thuộc mỗi chiếc khác loại thứ i đều bởi 0.Định thức D bởi tổng phần bù đại số của toàn bộ các thành phần của nó.Ví dụ 9: Tính định thức $left| eginarray*20c - 2&5&0& - 1&3\ 1&0&3&7& - 2\ 3& - 1&0&5& - 5\ 2&6& - 4&1&2\ 0& - 3& - 1&2&3 endarray ight|.$
Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c 1& - 2&3&2& - 5\ 2&1&2& - 1&3\ 1&4&2&0&1\ 3&5&2&3&3\ 1&4&3&0& - 3 endarray ight|.$
3. Định thức của ma trận tam giác
Định thức của ma trận tam giác bởi tích các bộ phận nằm trên đường chéo cánh chính
Thật vậy, đối với ma trận tam giác trên khai triển theo cột 1 có:
đối với ma trận tam giác dưới khai triển theo loại 1.
4. Tính định thức dựa vào các đặc thù định thức, cách làm khai triển Laplace và biến hóa về ma trận tam giác
Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|underlineunderline c2 + c3 + ... + công nhân + c1 left| eginarray*20c a + (n - 1)b&b&...&b\ a + (n - 1)b&a&...&b\ ...&...&...&...\ a + (n - 1)b&b&...&a endarray ight|\ = left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 1&a&...&b\ ...&...&...&...\ 1&b&...&a endarray ight|\ underlineunderline - d_1 + d_i left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 0&a - b&...&b\ ...&...&...&...\ 0&0&...&a - b endarray ight| = left( a + (n - 1)b ight)(b - b)^n - 1. endarray$
Hiện tại randy-rhoads-online.com thi công 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 cùng Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành tài chính của tất cả các trường:
Khoá học cung cấp đầy đủ kỹ năng và cách thức giải bài xích tập những dạng toán đi kèm mỗi bài bác học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng tự luận tất cả lời giải cụ thể tại website sẽ giúp học viên học cấp tốc và vận dụng chắc chắn rằng kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên lấy điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường ghê tế.
Xem thêm: Sách Giáo Khoa Môn Hóa Lớp 10 Kết Nối Tri Thức, Chân Trời Sáng Tạo, Cánh Diều
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được full bộ này:
- ĐH tài chính Quốc Dân
- ĐH ngoại Thương
- ĐH thương Mại
- học viện chuyên nghành Tài Chính
- học viện ngân hàng
- ĐH kinh tế tài chính ĐH giang sơn Hà Nội
và những trường đại học, ngành kinh tế tài chính của những trường ĐH khác trên khắp cả nước...