Phân tích nhiều thức thành nhân tử là kỹ năng cơ sở cho các bài học tập về nhân chia đối chọi thức, nhiều thức đặc biệt trong những biểu thức phân số tất cả chứa biến chuyển trong công tác toán 8 và cả các lớp sau này.

Bạn đang xem: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử


Chính vì chưng vậy, mà việc nắm vững các cách phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung, team hạng tử, hay phương pháp dùng hằng đẳng thức là vấn đề rất bắt buộc thiết. Bài viết dưới đây vẫn tổng phù hợp các cách thức phân tích nhiều thức thành nhân tử và áp dụng giải các dạng bài bác tập này.

I. Các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

* Phương pháp:

Tìm nhân tử phổ biến là những 1-1 thức, đa thức có mặt trong toàn bộ các hạng tử.

- so với mỗi hạng tử thành tích của nhân tử phổ biến và một nhân tử khác.

- Viết nhân tử chung ra phía bên ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử sót lại của mỗi hạng tử vào trong lốt ngoặc (và cả vết của chúng).

 * Ví dụ. so với các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)

 b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)

2. Phân tích nhiều thức thành nhân tử với cách thức dùng hằng đẳng thức

* Phương pháp:

- biến hóa đa thức chúng ta đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để triển khai xuất hiên nhân tử chung.

Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ:

 ♦ (A+B)2= A2+2AB+B2

 ♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2

 ♦ A2–B2= (A-B)(A+B)

 ♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3

 ♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3

 ♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)

 ♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)

 ♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.

 a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

 b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2  + 9x2y4)

 c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3. Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức nhóm những hạng tử

* Phương pháp:

- phối hợp các hạng tử phù hợp thành từng nhóm.

- Áp dụng liên tiếp các phương thức đặt nhân tử thông thường hoặc sử dụng hằng đẳng thức.

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)

= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)

 b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Cách thêm giảm 1 hạng tử hoặc tách hạng tử để phân tích nhiều thức thành nhân tử

* Phương pháp:

- áp dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để lấy về nhóm hạng tử phổ biến hoặc cần sử dụng hằng đẳng thức

 * Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2

= (x2+2-2x)(x2+2+2x)

 b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2

= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)

 c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)

 =3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)

 hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2

 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)

5. Phối hợp nhiều phương pháp để phân tích nhiều thức thành nhân tử

* Phương pháp: Sử dụng các cách thức trên theo máy tự ưu tiên.

- phương thức đặt nhân tử chung.

- phương thức dùng hằng đẳng thức.

- phương thức nhóm những hạng tử.

 * Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

 a) 3xy2 - 6xy + 3x

= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong bước này A là y B là 1)

 b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2

= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)

= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong đoạn này A là x; B là 1)

= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong bước này A là x+ 1 còn B là y)

*

II. Vận dụng giải một vài dạng bài tập phân tích nhiều thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích nhiều thức thành nhân tử

 a) 3x - 6y;

 b)

*
;

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;

 d)

*
;

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x).

* giải mã bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

 a) 3x - 6y = 3(x-2y)

 b)

*
*

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

 d) 

*
*

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x)

- Ta thấy: y - x = –(x – y) bắt buộc ta có:

 10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính cực hiếm của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2001 và y = 1999.

* giải mã bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

- lưu lại ý: với dạng bài tập này họ cần so sánh hạng tử để mở ra nhân tử chung rồi phân tích thành nhân tử trước khi tính giá trị.

a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b) x(x - 1) - y(1 - x)

- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) đề nghị ta có:

 x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

- Thay x = 2001 cùng y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;

b) x3 – 13x = 0

* lời giải bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

*
*

- kết luận có 2 giá trị x hợp ý là x = 2000 và x = 1/5.

b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0

*
 ⇔
*

- Kết luận: Có tía giá trị của x thỏa mãn nhu cầu là x = 0, x = √13 cùng x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:  chứng tỏ rằng 55n + 1 – 55n chia hết mang lại 54 (với n là số tự nhiên)

* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: 

- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54

- vì chưng 54 chia hết mang lại 54 bắt buộc 55n.54 luôn luôn chia hết đến 54 với n là số từ nhiên.

⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.

Bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2

c) ; d)

* lời giải bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2

b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)

= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2

c)

*
*
*

d) 

*
*

Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)  ; b) (a + b)3 – (a – b)3 

c) (a + b)3 + (a – b)3 ;

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.

* lời giải bài 44 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: 

a)

*
*
*

b) (a + b)3 – (a – b)3

= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>

= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3 + (a – b)3

= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>

= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>

= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3

Bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 2 - 25x2 = 0

b) 

* giải mã bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) 2 - 25x2 = 0 

*
*
*

- Kết luận: vậy gồm 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 với x= √2/5.

b) 

*
*
*

- Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22

* giải thuật bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

a) x2 –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

* lời giải bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 – xy + x – y

+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử thiết bị 1 cùng thứ 2, hạng tử thứ 3 với thứ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) cách 2: Nhóm hạng tử sản phẩm công nghệ 1 cùng thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và lắp thêm 4

 x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)

+) phương pháp 2: Nhóm hạng tử đầu tiên với hạng tử trang bị 3; hạng tử thứ hai với hạng tử thứ 4:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).

Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 4x –y2 + 4

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

* lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 4x – y2 + 4

= (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2 

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 

= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)

= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>

= 3<(x + y)2 – z2>

= 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 

= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) 

= (x – y)2 – (z – t)2

= <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)>

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* giải thuật bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

*
 
*

- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

*
*
*

- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x2 + x.

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

c) 2xy – x2 – y2 + 16

* giải thuật bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x3 – 2x2 + x

= x.x2 – x.2x + x.1

= x(x2 – 2x + 1)

= x(x – 1)2

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)

= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>

= 2<(x + 1)2 – y2>

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16

= 16 – (x2 – 2xy + y2) 

= 42 – (x – y)2

= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với tất cả số nguyên n.

* lời giải bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

- Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)

- do 5 ⋮ 5 đề nghị 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

Xem thêm: Bài Tập Về 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ, 99 + Lời Giải

⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết đến 5 cùng với n ∈ Ζ

Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 3x + 2

b) x2 + x – 6

c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta ko thể áp dụng ngay các phương pháp đã học nhằm phân tích tuy vậy nếu bóc tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta bao gồm x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 cùng từ đó tiện lợi phân tích tiếp.

Cũng có thể tách bóc 2 = - 4 + 6, khi ấy ta gồm x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ bỏ đó tiện lợi phân tích tiếp)