Các bài toán về phép đồng dạng và cách giải

Với các bài toán về phép đồng dạng và phương pháp giải Toán lớp 11 có đầy đủ cách thức giải, lấy ví dụ như minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học viên ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài xích tập phép đồng dạng từ đó đạt điểm trên cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

*

*

I. định hướng ngắn gọn

1. Phép trở thành hình F hotline là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và hình ảnh M’; N’ của bọn họ có:

*

2. Thừa nhận xét:

- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1

- Phép vị trường đoản cú V(I;k) là phép đồng dạng tỉ số |k|

- nếu như thực hiện tiếp tục phép đồng dạng tỉ số k cùng phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk

- Phép đồng dạng tỉ số k là đúng theo thành của một phép dời hình và một phép vị từ bỏ tỉ số k hoặc - k. Nó cũng là hợp thành của một phép vị từ tỉ số k hoặc - k và một phép dời hình

3. Phép đồng dạng tỉ số k gồm các tính chất sau:

- Biến cha điểm thẳng sản phẩm thành ba điểm thẳng hàng cùng bảo toàn vật dụng tự giữ các điểm ấy

- biến đổi đường trực tiếp thành đường thẳng, vươn lên là tia thành tia, biến chuyển đoạn thẳng tất cả độ dài bằng a thành đoạn thẳng bao gồm độ dài bằng ka

- trở thành tam giác thành tam giác đồng dạng cùng với tỉ số đồng dạng là k, biến chuyển góc thành góc bằng nó

- biến đổi đường tròn nửa đường kính R thành con đường tròn nửa đường kính kR

4. Nhị hình đồng dạng

Hai hình được điện thoại tư vấn là đồng dạng cùng nhau nếu tất cả một phép đồng dạng biến chuyển hình này thành những hình kia

*

II. Các dạng bài bác về phép đồng dạng

Dạng 1: Xác định hình ảnh của một hình qua 1 phép đồng dạng

Phương pháp giải: cần sử dụng định nghĩa và đặc thù của phép đồng dạng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy mang đến đường trực tiếp d có phương trình x + y – 2 = 0. Viết phương trình con đường thẳng d’ là hình ảnh của d qua phép đồng dạng tất cả được bằng cách thực hiện thường xuyên phép vị tự trung tâm I (-1; -1) tỉ số

*
với phép quay trung tâm O góc -45 độ

Lời giải

Gọi là hình ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1; -1) tỉ số

*
. Vì song song hoặc trùng cùng với d phải phương trình của nó gồm dạng x + y + c = 0

Lấy M(1;1) ∈ d

*

Vậy phương trình của d1: x + y = 0

Ảnh của d1 qua phép quay tâm O góc -45 độ là mặt đường thẳng Oy. Vậy phương trình d": x = 0

Ví dụ 2: đến đường trực tiếp d: x – y + 1 = 0. Viết phương trình d’ là hình ảnh của mặt đường thẳng d qua phép đồng dạng bằng phương pháp thực hiện tại qua phép vị tự trọng điểm I (1; 1), tỉ số k = 2 cùng phép tịnh tiến theo vectơ

*

Giải

Ta tất cả M(0;1) ∈ d

Qua phép vị tự vai trung phong I, tỉ số k = 2 ta có: V(I;2)(d) = d1

Suy ra phương trình d1 bao gồm dạng x – y + c = 0

Mặt khác:

*

Vậy d1: x - y + 2 = 0

Qua phép tịnh tiến theo vectơ

*
ta có:
*

Suy ra phương trình d2 có dạng: x – y + d = 0

*

Vậy d2 có phương trình x – y + 3 = 0

Qua phép đồng dạng con đường thẳng d: x – y + 1 = 0 trở nên đường thẳng d2: x – y + 3 = 0

Dạng 2: tìm phép đổng dạng biến hóa hình H thành những hình H’

Phương pháp giải: tìm kiếm cách thể hiện phép đồng dạng đó như là công dụng của việc thực hiện liên tiếp các phép trở nên hình quen thuộc biết

Ví dụ 3: cho hình chữ nhật ABCD. Call O là tâm đối xứng của nó. Hotline I, F, J, E thứu tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng gồm được từ việc thực hiện thường xuyên phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự trọng tâm B, tỉ số 2

Giải

*

- đem đối xứng qua đường thẳng IJ

IJ là con đường trung trực của AB với EF

Suy ra: DIJ(A) = B; DIJ(E) = F

O ∈ IJ => DIJ(O) = O => DIJ(ΔAEE) = ΔBFO

ΔBFO qua phép vị tự trung ương B tỉ số 2

Ta có:

*

Suy ra: C = V(B;2) ; d = V(B;2)(O) => ΔBCD = V(B;2)(ΔBFO)

Vậy ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng theo đề bài là tam giác BCD

Ví dụ 4: mang lại hai hình chữ nhật tất cả tỉ số thân chiều rộng cùng chiều dài bằng

*
. Chứng minh rằng luôn luôn có một phép đồng dạng biến hóa hình này thành các hình kia

Giải

Giả sử ta có hai hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cùng

*

Phép tịnh tiến

*
vươn lên là hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A"B1C1D1

Phép quay Q(A;α) cùng với α = (A"B1; A"B") trở nên hình chữ nhật A"B1C1D1 thành hình chữ nhật A"B2C2D2

*
Từ kia suy ra phép vị từ bỏ V(A";k) cùng với
*
sẽ vươn lên là hình chữ nhật thành A"B2C2D2 thành những hình chữ nhật A’B’C’D’

Vậy phép đồng dạng tất cả được bằng phương pháp thực hiện thường xuyên các phép biến chuyển hình

*
sẽ biến hóa hình chữ nhật ABCD thành các hình chữ nhật A’B’C’D’

Dạng 3: sử dụng phép đồng dạng để giải toán

Phương pháp giải: sử dụng các đặc điểm của phép đồng dạng

Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng a với b cắt nhau cùng điểm C. Kiếm tìm trên a với b các điểm A và B tương ứng làm sao cho tam giác ABC vuông cân ở A.

Lời giải:

Ta thấy góc lượng giác

*

Do đó hoàn toàn có thể xem B là ảnh của A qua phép đồng dạng F gồm được bằng phương pháp thực hiện liên tiếp phép quay trung tâm C, góc -450 và phép vị tự trung khu C, tỉ số √2

Vì A ∈ a buộc phải B ∈ a"" = F(a) , B lại ở trong a

Do đó B là giao của a” với b

*

Ví dụ 6: mang lại tam giác ABC, dựng ra phía ngoài tam giác ABC những tam giác đông đảo BCA’, CAB’, ABC’. Call theo thứ tự là trọng điểm của ba tam giác gần như BCA’, CAB’, ABC’. Minh chứng tam giác O1O2O3 là tam giác đều

Lời giải:

Để chứng minh tam giác O1O2O3 là tam giác những ta xét những phép đồng dạng sau:

Kí hiệu F(I,φ, k) = V(I,k) Q(I;φ)là phép đồng dạng gồm được bằng phương pháp thực hiện thường xuyên phép xoay Q(I;φ) cùng phép vị trường đoản cú V(I,k). Ta xét các phép đồng dạng:

*

Gọi I, J, K, H là những điểm trên CA",CA,BA",BO3,BO1 sao cho CI = CO1, CJ = CO2, BK = BO1, bh = AB, BE = BA" khi đó

F1(O1) = V(C,√3) Q(C;30) (O1) = V(C,√3)(I) = A"

Tương tự:

*

Vậy F2F1(O2) = F2(A) = O3 và F2F1(O1) = F2(A") = O1

Mặt không giống F = F1F2 là phép đồng dạng gồm tỉ số k = k1k2 = √3

*
= 1 với φ1 + φ2 = 600 buộc phải F đó là phép quay trọng tâm O1 góc con quay 600

Do đó: Q(O1,600)(O2) = O3 cần tam giác O1O2O3 là tam giác đều

*

III. Bài xích tập áp dụng

Bài 1: Chứng minh rằng hai đa giác đều sở hữu cùng số cạnh luôn luôn đồng dạng cùng với nhau

Bài 2: mang đến hình thang ABCD gồm AB tuy nhiên song cùng với CD, AD = a, DC = b còn nhì đỉnh A, B vậy định. Call I là giao điểm của hai tuyến đường chéo

a. Tra cứu tập hợp các điểm c khi D cầm cố đổi

b. Tra cứu tập hợp các điểm I khi c với D biến đổi như vào câu a

Bài 3: mang lại hình chữ nhật ABCD trọng điểm I. điện thoại tư vấn E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, CI, FC. Phép đồng dạng hòa hợp thành vị phép vị tự chổ chính giữa C tỉ số k = 2 cùng phép đối xứng vai trung phong I vươn lên là tứ giác IGHF thành:

A. AIFD

B. BCFI

C. CIEB

D. DIEA

Bài 4: Trong phương diện phẳng tọa độ Oxy, phép đồng dạng F đúng theo thành vì chưng phép vị tự tâm O (0; 0) tỉ số k = 3 với phép đối xứng trục Ox, biến đổi đường trực tiếp d: x – y – 1 = 0 thành đường thẳng d’ tất cả phương trình:

A. X - y + 3 = 0

B. X + y - 3 = 0

C. X + y + 3 = 0

D. X - y + 2 = 0

Bài 5: đến điểm I (2; 1) điểm M (-1; 0) phép đồng dạng thích hợp thành vày phép vị tự trọng điểm I tỉ số k = -2 cùng phép đối xứng trục Ox phát triển thành M thành M’’ có tọa độ từng nào ?

Bài 6: trong mặt phẳng tọa độ Oxy đến hai điểm A (-2; -3) và B (4; 1). Phép đồng dạng tỉ số

*
biến điểm A thành A", biến điểm B thành B". Tính độ dài A"B"

Bài 7: vào các xác minh sau, xác minh nào sai?

A. Thực hiện thường xuyên hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng

B. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1

C. Phép vị tự có đặc thù bảo toàn khoảng cách

D. Phép vị tự không là phép dời hình

Bài 8: Cho hình vuông ABCD trọng tâm O. M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm những cạnh AB, BC, CD, DA. Phép dời hình nào sau đây biến tam giác AMO thành tam giác CPO?

A. Phép tịnh tiến vectơ

*

B. Phép đối xứng trục MP

C.


Bạn đang xem: Phép đồng dạng lớp 11


Xem thêm: Bài Toán Lớp 12 - Mục Lục Giải Bài Tập Sgk Toán 12

Phép quay trọng điểm A góc con quay 180 độ

D. Phép quay trung khu O góc con quay -180 độ

Bài 9: Phép đổi thay hình gồm được bằng phương pháp thực hiện liên tiếp hai phép biến hóa hình sau đấy là một phép đồng dạng tỉ số k = 3