Hàm số lũy vượt là những hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Các hàm số lũy thừa có tập khẳng định khác nhau, tùy theo (alpha): 

- trường hợp (alpha) nguyên dương thì tập những định là (R).

Bạn đang xem: Tập xác định của hàm số lũy thừa

- nếu như (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập các định là (Rackslash left 0 ight\).

- Nếu (alpha ) ko nguyên thì tập các định là (left( 0; + infty ight)).

Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập xác định là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập xác định (R), trong những khi đó các hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều gồm tập khẳng định ((0; +∞)). Vị vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( xuất xắc (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là gần như hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy vượt với số nón tổng quát 

- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai hầu hết (x ∈ (0; +∞)) với (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)

- nếu như hàm số (u=u(x)) nhận cực hiếm dương và tất cả đạo hàm trong vòng (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x ight)) cũng tất cả đạo hàm trên (J) cùng " = alpha u^alpha - 1left( x ight)u"left( x ight)>

3. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số mũ nguyên dương

Trong trường thích hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy vượt (y=x^n) có tập khẳng định là (R) và có đạo hàm bên trên toàn trục số. Cách làm tính đạo hàm số lũy thừa tổng thể được mở rộng thành (forall x in R,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)> nếu (u= u(x) ) có đạo hàm trong khoảng (J).


4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón nguyên âm

Nếu số nón là số nguyên âm thì hàm số lũy quá (y=x^n) tất cả tập xác định là (Rackslash left 0 ight\) và có đạo hàm tại những (x) khác (0), bí quyết đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành (forall x e 0,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)>

nếu (u= u(x) e 0) có đạo hàm trong khoảng (J).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số (y = sqrtx) có thể coi là mở rộng lớn của hàm lũy quá (y = x^frac1n) (tập khẳng định của (y = sqrtx) chứa tập xác minh của (y = x^frac1n) và trên tập xác định của (y = x^frac1n) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrtx) bao gồm tập xác định (R). Trên khoảng chừng ((0; +∞) ) ta có (y = sqrtx = x^frac1n) và (left( x^frac1n ight)" = dfrac1nx^frac1n - 1), cho nên vì vậy (left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1).


Công thức này còn đúng cả cùng với (x 0) tính theo công thức:

< left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1>

Tóm lại, ta có ( left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1) đúng với đa số (x) tạo nên hai vế tất cả nghĩa.

Xem thêm: Hỗn Hợp X Gồm 3 Este Đơn Chức Tạo Thành Từ Cùng Một Ancol Y Và

Sử dụng luật lệ đạo hàm hàm hòa hợp ta suy ra: giả dụ (u=u(x)) là hàm tất cả đạo hàm trên khoảng tầm (J) và thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại (u(x) > 0, ∀x ∈ J) lúc (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì

uleft( x ight) ight)" = dfracu"left( x ight)nsqrtu^n - 1left( x ight)>

6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng ((0; +∞))

*

Chú ý: Khi khảo sát hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) cố gắng thể, buộc phải xét hàm số bên trên toàn tập xác minh của nó (chứ chưa phải chỉ xét trên khoảng chừng ((0; +∞)) như trên).