Thể tích là một dạng toán cơ bản trong lịch trình Toán THCS tương tự như THPT. Vậy thể tích là gì? những công thức tính thể tích tứ diện? tốt những công thức tính thể tích tứ diện trong oxyz?… Trong văn bản của nội dung bài viết dưới đây, randy-rhoads-online.com sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kiến thức cụ thể về nhà đề cách tính thể tích, cùng tò mò nhé!


Mục lục

2 cách tính thể tích hình chóp2.1 cách tính thể tích khối chóp4 cách tính thể tích hình trụ5 cách tính thể tích hình cầu7 công thức thể tích khối tròn xoay

Định nghĩa thể tích là gì?

Thể tích của một đồ dùng theo định nghĩa đó là lượng không gian mà một vật đó chiếm. Đơn vị của thể tích là ( m^3 ) (lập phương của khoảng cách).

Bạn đang xem: Thể tích hình elip


Cách tính thể tích hình chóp

Cách tính thể tích khối chóp

Công thức tính thể tích hình chóp : (V= frac13.S.h)

Trong kia ( S ) chính là diện tích mặt đáy, còn ( h ) là chiều cao từ đỉnh đến mặt đáy hình chóp.

Từ phương pháp trên, tùy vào ngoại hình đáy của hình chóp mà ta có các công thức không giống nhau.

Thể tích hình chóp tam giác
*
Công thức tính thể tích hình chóp tam giác

(V= frac13.fraca.b2.h)

Trong đó ( a,b ) theo lần lượt là độ nhiều năm cạnh đáy và mặt đường cao của tam giác đáy

Thể tích hình chóp thang
*
Công thức tính thể tích hình chóp thang

(V= frac13.frac(a+b)c2.h)

Trong kia ( a,b ) là độ lâu năm hai lòng hình thang, ( c ) là chiều cao của hình thang.

Thể tích hình chóp chữ nhật
*
Công thức tính thể tích hình chóp chữ nhật

(V= frac13.a.b.h)

Trong kia ( a,b ) là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.

Ví dụ:

Tính thể tích hình chóp ( S.ABC ) biết rằng hình chóp gồm độ dài tất cả cách cạnh số đông là ( a )

Cách giải:

*

Lấy ( M ) là trung điểm ( BC )

Do ( Delta ABC gồm AB=BC=CA =a ) nên (Rightarrow Delta ABC) đều.

Lấy ( O ) là trọng tâm tam giác (Rightarrow SO ot (ABC)) cùng ( O in AM ) sao để cho ( AO = 2 MO )

Theo định lý Pitago, ta có:

(AM = sqrtAB^2-BM^2=fracasqrt32)

Do ( Delta ABC ) đều cần ( AM ) vừa là trung đường vừa là con đường cao của tam giác

(Rightarrow S_Delta ABC=frac12.a.fracasqrt32=fraca^2sqrt34)

Mặt không giống : (AO =frac23AM=fracasqrt3)

(Rightarrow SO =sqrtSA^2-AO^2=fracasqrt2sqrt3)

Như vậy ta có: (V_S.ABC=frac13.fraca^2sqrt34.fracasqrt2sqrt3=fraca^36sqrt2)

***Chú ý: Ta bao gồm công thức tính độ dài con đường cao của tam giác đa số cạnh ( a )

Đường cao (=fracsqrt3a2)

Từ kia (Rightarrow) diện tích tam giác số đông cạnh ( a ) là : (fracsqrt3a^24)

Cách tính thể tích hình chóp cụt

*
Công thức tính thể tích hình chóp cụt

Hình chóp cụt là phần chóp nằm giữa đáy cùng thiết dện cắt vì chưng mặt phẳng tuy vậy song với lòng hình chóp

Thể tích hình chóp cụt: (V=frac13.h.(S_1+S_2+sqrtS_1.S_2))

Trong kia ( h ) là khoảng cách giữa hai mặt đáy còn ( S_1,S_2 ) lần lượt là diện tích hai mặt đáy.

Ví dụ:

Cho hình chóp cụt ( ABC.A’B’C’ ) gồm ABC là tam giác phần đông cạnh bằng ( a ) với ( A’B’C’ ) là tam giác các cạnh bằng ( 2a ). Biết khoảng cách hai lòng là ( a ) , tính thể tích khối chóp cụt.

Cách giải:

*
Ví dụ minh họa cách làm tính thể tính hình chóp cụt

Vì hai lòng của hình chóp cụt là tam giác đều bắt buộc ta có :

(S_ABC=frac12.a.fracasqrt32=fraca^2sqrt34)

(S_A’B’C’=frac12.2a.frac2asqrt32=a^2sqrt3)

Thay vào cách làm trên ta được:

(V=frac13.a.(fraca^2sqrt34+a^2sqrt3+sqrtfraca^2sqrt34.a^2sqrt3 ;; )=frac7a^34sqrt3)

Cách tính thể tích hình nón

Hình nón là 1 trong dạng đặc biệt của hình chóp với đáy là hình tròn. Cho nên công thức tính thể tích hình nón vẫn tựa như như cách làm tính thể tích hình tròn, ví dụ như sau: 

*
Công thức tính thể tính hình nón

Thể tích hình nón : (V= frac13.pi R^2.h)

Trong kia ( R ) là nửa đường kính đáy, ( h ) là độ cao của hình chóp

Thể tích hình nón cụt : (V=frac13.pi .h.(R_1^2+R_2^2+R_1R_2))

Trong kia ( h ) là khoảng cách giữa hai dưới mặt đáy còn ( R_1;R_2 ) theo thứ tự là bán kính hai đáy

Ví dụ:

Cho hình nón tất cả độ dài mặt đường sinh là ( 2a ) và nửa đường kính đáy là ( a ). Tính thể tích khối nón?.

Cách giải:

*
Ví dụ minh họa phương pháp tính thể tích hình nón

Gọi ( O ) là đỉnh nón, ( H ) là trung tâm đường tròn đáy và ( A ) là một trong điểm nằm trên đường tròn đáy

Ta có:

( OA = 2a ; HA =R= a )

(Rightarrow OH =sqrtOA^2-HA^2=sqrt4a^2-a^2=asqrt3)

Vậy thể tích hình nón là : (V = frac13.pi.a^2.asqrt3=fracpi a^3sqrt3)

Cách tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ: (V = S.h)

Trong đó:

( V ) là thể tích hình trụ.( S ) là diện tích đáy.( h ) là chiều cao của hình trụ.

Tùy vào hình trạng đáy mà ta chia hình trụ làm hai loại: hình tròn tròn và hình lăng trụ.

Cách tính thể tích hình tròn tròn

*
Công thức tính thể tích hình tròn tròn

Hình trụ tròn là hình bao gồm hai mặt đáy là hai hình tròn song song với nhau và bởi nhau.

Công thức tính thể tích hình tròn rỗng ( hình tròn trụ tròn) : (V = pi R^2.h)

Trong đó ( R ) là bán kính đáy với ( h ) là chiều cao hình trụ.

Công thức tính thể tích bể dầu nằm ngang

Đây là dạng bài toán thực tế rất hay chạm chán trong các đề thi. Câu hỏi tổng quát mắng như sau:

Ví dụ: 

Cho một bể dầu hình tròn có nửa đường kính đáy ( R ) chiều cao ( k ) để nằm ngang xung quanh đất. Đổ dầu vào bồn làm thế nào cho mực dầu trong bồn cách nắp bình ( ở mặt nằm ngang phía bên trên bồn ) khoảng cách là ( h ). Tính lượng dầu đã tất cả trong bình?. 

*
Công thức tính thể tích bồn dầu ở ngang

Cách giải:

Như ta đang biết, thể tích hình tròn bằng diện tích s đáy nhân cùng với chiều cao. Cho nên vì vậy để tính thể tích phần dầu gồm trong bình thì ta buộc phải tính được diện tích dưới đáy của bình bị dầu chỉ chiếm ( phần diện tích tô màu xanh), kí hiệu là ( S_1 )

Ta có:

(S_1= (S_(O)-S_stackrelfrownAB)+S_Delta AOB= pi R^2 (1- fraccos^-1fracR-hRpi)+ (R-h)sqrt2Rh-h^2)

Vậy thể tích dầu chứa trong bình là:

(V= (pi R^2 (1- fraccos^-1fracR-hRpi)+ (R-h)sqrt2Rh-h^2).k)

Ví dụ:

Một bể hình trụ đang chứa dầu tất cả chiều dài ( 5m ) nửa đường kính đáy ( 1m ) được đặt lên trên mặt phẳng nằm ngang, cùng với nắp bồn để trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Bạn ta đã rút dầu vào bồn, phần dầu còn sót lại có chiều cao ( 1.5m ) (tính từ đáy bể đến mặt dầu). Tính thể tích của phần dầu đang rút ra (giả thiết độ dày thành bồn không đáng kể)

Cách giải:

*
Ví dụ minh họa cách làm tính thể tích bể dầu nằm ngang

Áp dụng vào phương pháp với ( R=1m , h=0.5m ) ta được :

(S_stackrelfrownAMB=S_stackrelfrownAB-S_Delta AOB=pi R^2.fraccos^-1fracR-hRpi+ (R-h)sqrt2Rh-h^2 = fracpi3-fracsqrt34) ( ( m^2 ) )

Vậy thể tích phần dầu sẽ rút ra là :

(V= 5.(fracpi3-fracsqrt34)) (( m^3 ) )

Công thức tính thể tích lăng trụ

Hình lăng trụ là hình bao gồm hai lòng là hai nhiều giác song song và bằng nhau, các ở kề bên song tuy nhiên và bởi nhau.

*
Công thức tính thể tích lăng trụ

Thể tích hình lăng trụ: (V = S.h)

Trong kia ( S ) là diện tích s đáy , ( h ) là độ cao hình trụ.

Một số hình lăng trụ đặc biệt:

Hình vỏ hộp chữ nhật là hình lăng trụ bao gồm đáy là hình chữ nhật cùng các ở kề bên vuông góc với đáy.

Thể tích hình hộp chữ nhật: ( V = a.b.h )

*
Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật

Trong kia ( a,b ) theo lần lượt là chiều dài, chiều rộng của đáy, ( h ) là độ cao của hình hộp

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau

Công thức thể tích khối lập phương: ( V = a^3 )

*
Công thức thể tích khối lập phương

Trong đó ( a ) là độ lâu năm cạnh của hình lập phương

Ví dụ:

Cho lăng trụ xiên ( ABC.A’B’C’ ) có đáy là tam giác những cạnh ( a ). Biết lân cận có độ dài bởi (asqrt3) và chế tạo ra với lòng một góc (60^circ). Tính thể tích hình lăng trụ.

Cách giải:

*
Tìm phát âm ví dụ minh họa điển hình

Gọi ( H ) là hình chiếu của ( C’ ) lên ( (ABC) )

Khi kia ( CH ) chính là đường cao của hình lăng trụ.

(CH = CC’.sin 60^circ=frac3a2)

(S_ABC=frac12.a.fracasqrt32=fraca^2sqrt34)

Vậy thể tích hình lăng trụ ( ABC.A’B’C’ ) là:

(V= S_ABC.CH =fraca^2sqrt34.frac3a2=frac3sqrt3a^38)

Cách tính thể tích hình cầu

Cách tính thể tích khối cầu

*
Công thức tính thể tích hình cầu

(V= frac43pi R^3)

Trong kia ( R ) là bán kính hình cầu

Cách tính thể tích hình quạt cầu

*
Công thức tính thể tích hình quạt cầu

Hình quạt ước là 1 phần của hình cầu xác định bởi mặt biên của một hình nón gồm đỉnh nằm tại tâm của hình cầu

Thể tích hình quạt cầu : (V= frac23pi R^2.h)

Trong đó ( R ) là bán kính hình cầu , ( h ) là độ cao của chỏm cầu

Ví dụ:

Cho hình lập phương ( ABCD.A’B’C’D’ ) tất cả độ dài cạnh bởi ( a ). Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình lập phương đó

Cách giải:

*
Tìm hiểu cách tính thể tích hình quạt cầu

Tâm của hình cầu là vấn đề ( O ) trung điểm mỗi đường chéo của hình lập phương

Ta có:

(AC = sqrtAB^2+BC^2=asqrt2)

(R=fracAC’2=fracsqrtAC^2+CC’^22=fracasqrt32)

Vậy thể tích hình ước ngoại tiếp lập phương ( ABCD.A’B’C’D’ ) là :

(V=frac43pi. R^3=frac43pi.frac3sqrt3a^38=fracpi sqrt3a^32)

Các công thức tính thể tích tứ diện trong Oxyz

*
Các công thức tính thể tích tứ diện vào Oxyz

Tổng quát mắng : mang đến tứ diện ( ABCD ) gồm độ dài các cạnh ( BC=a , CA=b, AB=c , AD=d, BD=e , CD = f ). Lúc đó thể tích tứ diện ( ABCD ) được xem như sau:

(V=frac112.sqrtM+N+P-Q)

Trong đó:

(M=a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2))

(N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2))

(P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2))

(Q=(abc)^2+(cde)^2+(efa)^2+(bdf)^2)

Tùy vào từng dạng của tứ diện mà ta áp vào phương pháp trên sẽ sở hữu được những phương pháp tính khác nhau:

Khối tứ diện đều phải có cạnh bởi ( a )

(V=fraca^3sqrt212)

Khối tứ diện vuông: ( AB,AC,AD ) đôi một vuông góc

(V=fracAB.AC.AD6)

Khối tứ diện ngay sát đều: Có những cặp cạnh đối đều nhau : (left{eginmatrix AB=CD=a\BC=DA=b \ CA=BD=c endmatrix ight.)

(V=fracsqrt212.sqrt(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2))

Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối lập : (left{eginmatrix AB=a \ CD=b \ d(AB,CD)=d\ (AB,CD)= alpha endmatrix ight.)

(V=fraca.b.d.sin alpha6)

Khối tứ diện biết nhì mặt kề nhau : (left{eginmatrix S_ABC=S_1\ S_ABD=S_2 \ AB=a \ ((ABD),(ABC))=alpha endmatrix ight.)

(V=frac2.S_1.S_2.sin alpha3a)

Khối tứ diện biết các góc tại một đỉnh : (left{eginmatrix AB=a\AC=b \ AD=c endmatrix ight.) cùng (left{eginmatrix widehatBAC=alpha \ widehatCAD=eta \widehatDAB=gamma endmatrix ight.)

(V=fracabc6.sqrt1+2cos alpha . cos eta . cos gamma -cos^2alpha-cos^2eta -cos^2 gamma)

Ví dụ:

Cho khối tứ diện ( ABCD ) có các cặp cạnh đối diện bằng nhau : (left{eginmatrix AB=CD=8\BC=DA=5 \ CA=BD=7 endmatrix ight.)

Tính thể tích khối tứ diện?.

Cách giải:

Áp dụng công thức mặt trên, ta bao gồm :

(V=fracsqrt212.sqrt(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2))

(=fracsqrt212.sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2))

(=frac20sqrt113) đơn vị thể tích.

Công thức thể tích khối tròn xoay

Khối tròn luân phiên quanh trục hoành

*
Công thức thể tích khối tròn xoay

Cho hình ( (H) ) là đồ vật thể khối tròn xoay tạo ra bởi số lượng giới hạn bởi đồ vật thị của các hàm số ( y=f(x) , y=g(x) , x=a, x=b ) quay quanh trục ( Ox )

(V_(H) = pi. |int_a^b(f^2(x)-g^2(x))dx|)

Khối tròn xoay quanh trục tung 

*
Tìm hiểu bí quyết thể tích khối tròn luân phiên quanh trục tung

Cho hình ( (H) ) là trang bị thể khối tròn xoay sản xuất bởi số lượng giới hạn bởi thứ thị của những hàm số ( x=f(y) , x=g(y) , y=a, y=b ) quay quanh trục ( Ox )

(V_(H) = pi. |int_a^b(f^2(y)-g^2(y))dx|)

Trong số đông các việc thì hai tuyến đường thẳng ( x=a;x=b ) hoặc ( y=a;y=b ) được tìm bằng cách giải phương trình ( f(x)=g(x) ) hoặc ( f(y)=g(y) )

Mở rộng:

*
Ví dụ minh họa bí quyết thể tích khối tròn xoay

Cho hình ( (H) ) là đồ dùng thể khối tròn xoay chế tạo bởi số lượng giới hạn bởi thứ thị của những hàm số ( y=f(x) , y=g(x) , y= h(x) ) xoay quanh trục ( Ox )

(V_(H) =pi. |int_a^b(f^2(x)-g^2(x))dx|+ pi. |int_b^c(g^2(x)-h^2(x))dx|)

Trong đó ( a,b,c ) thứu tự là nghiệm của những phương trình: (left{eginmatrix f(x)=g(x)\ g(x)=h(x) \ h(x)=f(x) endmatrix ight.)

Công thức tính thể tích khối tròn xoay elip

*
Công thức tính thể tích khối tròn xoay elip

Cho hình ( (H) ) là vật dụng thể tạo bởi vì Elip có độ lâu năm đáy béo ( 2a ), đáy bé xíu ( 2b ), trọng tâm ( I ) cách ( O ) một quãng ( h ) quay xung quanh ( Ox ). Lúc ấy thể tích hình ( (H) ) được xem theo công thức:

(V_H = 2pi^2.abh)

Trường hợp sệt biệt:

Hình tròn là một trong hình Elip đặc trưng có ( a=b=R ) đề xuất thể tích khối lúc quay hình tròn trụ bán kính ( R ) xung quanh trục ( Ox ) là:

( V=2 pi^2 R^2.h )

Tổng quát: Thể tích khối lúc quay một hình bất kỳ có trọng tâm đối xứng cùng có diện tích s ( S ) xung quanh trục ( Ox ) là:

( V= 2pi .h.S )

Ví dụ:

Cho hình phẳng được số lượng giới hạn bởi hai đồ gia dụng thị hàm số ( y=x ) với (y= sqrtx) xoay quanh trục ( Ox ) tạo thành thành hình khối ( H ). Tính thể tích ( H )

Cách giải:

Giải phương trình : (x= sqrtx Leftrightarrow x=0) hoặc ( x=1 )

Vậy khối tròn xoay được tạo nên bởi số lượng giới hạn đồ thị ( y=x ,y= sqrtx) cùng ( x=0;x=1 )

Áp dụng cách làm tính thể tích khối tròn luân phiên ta được :

(V_H = pi.|int_0^1(x^2-x)dx | =fracpi6)

Tổng kết chung về kiểu cách tính thể tích

Để tính thể tích hình trụ, hình nón, hình chóp thì ta yêu cầu tính được diện tích đáy và độ cao của nó.Để tích thể tích hình cầu, ta yêu cầu tính được bán kính ( R ) của nóĐể tính thể tích tứ diện vào ( Oxy ) ta hoàn toàn có thể áp dụng cách làm tính thể tích hình chóp hoặc đo lường và thống kê được một vài cực hiếm độ lâu năm cạnh hoặc góc làm việc đỉnh rồi vận dụng công thức.Để tính thể tích khối tròn xoay, ta tính giá trị nghiệm của nhị hàm số rồi sử dụng công thức tích phân.Để tính thể tích khối tròn xoay Elip, ta cần tính được diện tích s của Elip tuyệt tính được độ dài hai trục của Elip.

Xem thêm: Đoạn Văn Tiếng Anh Giới Thiệu Về Bản Thân Bằng Tiếng Anh Ấn Tượng Nhất

Bài viết trên trên đây của randy-rhoads-online.com đã giúp đỡ bạn tổng hợp lý thuyết và các công thức tính thể tích. Mong muốn những kiến thức và kỹ năng trong nội dung bài viết sẽ giúp ích cho chính mình trong quá trình học tập và phân tích chủ đề phương pháp tính thể tích. Chúc bạn luôn luôn học tốt!.