Tiếp theo loạt bài viết về nguyên hàm và tích phân, trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm tích phân cùng các tính chất của tích phân.

Bạn đang xem: Tính chất của tích phân

Định nghĩa tích phân

Cho  là 1 hàm số liên tục trên đoạn và giả sử  là một trong những nguyên hàm của  bên trên đoạn . Khi đó hiệu  được call là tích phân tự a mang đến b của hàm số .

Tích phân từ a đến b của  được cam kết hiệu là: 

Ta có:  (với  là một nguyên hàm của )

Ta thường thực hiện ký hiệu  để chỉ hiệu .

Vậy ta có: 

Ví dụ 1 là 1 trong những nguyên hàm của hàm số  trên đoạn <1;2> đề xuất tích phân từ một đến 2 của .

Vậy ta có:

Lưu ý: Ta hiểu được nếu  là một trong nguyên hàm của  trên thì  (với C là một trong những thuộc R) cũng là một trong nguyên hàm của  trên . Vậy nếu ta sử dụng nhằm tính tích phân từ a mang đến b của  thì gồm khác so với sử dụng  hay không? Câu vấn đáp là không có gì khác vị vì:

Vậy lúc tính tích phân của  ta có thể sử dụng nguyên hàm là  hoặc  tùy ý. Tuy nhiên để tránh tinh vi thì ta thường sử dụng  (trừ một số trong những trường hợp sệt biệt).

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a)

b) 

c) 

Lưu ý: Ta có một vài quy mong sau:

1)

2)

Tính hóa học của tích phân

Tính chất 1: với k là 1 trong những hằng số thì ta tất cả tính chất sau:

Nghĩa là ta có thể đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân.

Ví dụ 3 = 4left< left( – frac12 ight) – left( – frac11 ight) ight> = 2>

Tính chất 2: Ta có thể bóc tích phân trường đoản cú a đến b của một tổng hay như là một hiệu thành tổng hoặc hiệu của hai tích phân.

dx = intlimits_a^b f(x)dx pm intlimits_a^b g(x)dx >

Ví dụ 4

Tính chất 3: Với một số c nằm giữa a và b thì ta gồm thể tách bóc tích phân từ a cho b thành tổng của nhị tích phân từ a đến c với từ c đến b.

với Ví dụ 5: Tính tích phân: 

Phân tích: Ta gồm bảng xét dấu của  trên đoạn <0; 2>

*
*

Trên đoạn <0; 1> thì  nên .

Trên đoạn <1; 2> thì nên .

Xem thêm:
Những Bài Hát Của Nhạc Của Sơn Tùng M, Những Bài Hát Của Nhạc Sĩ Sơn Tùng M

Giải

< = intlimits_0^1 left( 1 – x ight)dx + intlimits_1^2 left( x – 1 ight)dx = left( x – fracx^22 ight)left| eginarrayl1\0endarray ight. + left( fracx^22 – x ight)left| eginarrayl2\1endarray ight. = 1>

Lưu ý: Trong lấy ví dụ như 4 ta rất có thể không cần cân nhắc dấu của  mà chỉ việc đưa vệt trị tuyệt đối hoàn hảo ra ko kể tích phân. Ta đã giải như sau:

< = left| intlimits_0^1 left( x – 1 ight)dx ight| + left| intlimits_1^2 left( x – 1 ight)dx ight| = left| eginarrayl1\0endarray ight. ight| + left| eginarrayl2\1endarray ight. ight|>

< = left| frac12 ight| + left| – frac12 ight| = 1>

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tính các tích phân sau:

1) $$intlimits_0^1 (5x^4 – x^2 + 3)dx $$ 2) $$intlimits_0^1 (2x -2)^4 dx$$

3) $$intlimits_0^2 e^ – x + 5dx $$ 4) $$intlimits_ – 1^0 frac3 – 2x + 1 dx$$

5) $$intlimits_0^fracpi 8 cos ^22xdx $$ 6) $$intlimits_1^2 frac2x^3 – 5x^2x^2 dx$$

7) $$intlimits_1^4 x – 2 ight $$ 8) $$intlimits_0^1 dx$$

Như vậy trong bài bác này họ cần phải nắm được quan niệm tích phân cùng các tính chất của tích phân. Giải được một trong những bài tập tích phân cơ bản. Trong bài bác sau ta sẽ mày mò về các phương pháp tính tích phân bao hàm phương pháp đổi trở thành loại 1, đổi biến loại 2 với tích phân từng phần.