Bạn đang xem bản rút gọn gàng của tài liệu. Coi và download ngay phiên bản đầy đủ của tư liệu tại phía trên (717.9 KB, 103 trang )




Bạn đang xem: Tính diện tích mặt cong

§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 10 : Tính diện tích s phần mặtS2 : x2+y2+z2 = 42z= x +ynằm trên mặt nónĐể tính diện tích s mặt cong S nhờ vào tích phân kép, taphải khẳng định được hình chiếu D của phương diện congxuống 1 trong các 3 mặt tọa độ.Với lấy một ví dụ này, ta đang tìm hình chiếu của S xuống mặtz=0 bằng phương pháp khử z tự 2 phương trình vẫn choz2 = 4-x2-y2 = x2+y2 ↔ x2+y2 = 2Từ phương trình trên, ta được hình chiếu của Sxuống mặt z = 0 là hình tròn trụ Dxy : x2+y2 ≤ 2Sau đó, bởi tìm hình chiếu xuống mặt z = 0 nên ta sẽtính z=f(x,y) từ bỏ phương trình phương diện S §1: Tích phân kép – Ứng dụngVì phương diện S nằm phía trên mặt nón tức là z ≥ 0 nên ta lấy−x ′ zx =224−x−yz = 4 − x 2 − y 2 ⇒ −y z′ =22 y4−x−y222′′Suy ra :1 + z x + zy =4 − x2 − y 2S=2∫∫24−x −yx 2 + y 2 ≤22π04−r222dxdy = ∫ dϕ ∫ r22 −d (4 − r 2 )S = ∫ dϕ ∫02π0Vậy:4−r20dr2= 2π ( −2 4 − r 2 )0= 4p(2 -2) §1: Tích phân kép – Ứng dụng222Ví dụ 11:Tính diện tích phần mặt cầu S x + y + z = 13Nằm giữa 2 khía cạnh phẳng z = y , z =y ,( z ≥ 0, y ≥ 0)32 khía cạnh phẳng đã cho đều tuy vậy song với trục Ox (Ptkhơng đựng x) đề xuất ta vẫn tìm hình chiếu của S xuốngmặt phẳng x = 0zChiếu 2 mặt phẳng xuống khía cạnh x = 0ta được 2 con đường thẳng thuộc đi quagốc tọa độ tức là chưa xuất hiện miềnđóng D.Do đó, ta sẽ cần lấy thêm hìnhchiếu của mặt ước xuống mặtphẳng x = 0 là hình trònOy §1: Tích phân kép – Ứng dụngMặt mong và cả 2mặt phẳng giảm nóđều dìm mặt x = 0là mặt đối xứngnên phần khía cạnh Scũng thừa nhận x = 0 làmặt đối xứngMiền D bên trên mp x=0x2+y2+z2=2Do đó, ta đã tínhdiện tích phầnphía xung quanh x = 0rồi nhân đơiTa viết lại phương trình khía cạnh S theo y, z: x=f(y,z) với x ≥ 0 §1: Tích phân kép – Ứng dụngx=−y ′ xy =221−y−z22 ⇒1− y − z−z x′ =22 z1−y−z22⇒ 1 + x y′ + xz′ =VậyS = 2∫∫D121− y − z121− y − z2π31101− r 2dydz = 2 ∫ dϕ ∫ r2π4dr §1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 12: Tính diện tích phần khía cạnh trụ S: x2+y2=4nằm phía trong mặt trụ R: x2+z2 = 4Ta sẽ chiếu phần mặt Sxuống mặt phẳng y = 0 vìhình trụ R song song vớitrục Oy, với được hình trònx2+z2=4 (R)x 2 + z2 ≤ 4Do tính đối xứng qua cácmặt tọa độ của cả 2 mặt trụnên ta chỉ tính diện tích s mộtphần tám mặt S, ở tronggóc x≥0, y ≥0, z ≥0x2+y2=4 (S) §1: Tích phân kép – Ứng dụngKhi đó, ta đi tính y = f(x,z) từ bỏ phương trình phương diện S.y = 4 − x2−x ′222y=′′⇒ 1+ y x + yz = x2⇒4−x4 − x2y ′ = 0 zVậy, diện tích cần tính làV = 8 ∫∫2D4−x21= 16 ∫04−x24− x 200dxdy = 8 ∫ dx ∫22( z )04− x 224 − x22dzdx = 16 ∫ dx = 320 §1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 12: Tính diện tích s phần khía cạnh nón z2 = x2+y2 bị cắtbởi 4 khía cạnh x - y = 1, x + y = 1, x – y = -1, x + y = -14 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùngsong song với trục Oz, chế tạo ra trong khơng gian 1 hình trụkín tất cả hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vng ABCDMặt nón dấn mặt phẳngOxy là mặt đối xứng nênphần nón phía trong trụ kíntrên cũng dấn Oxy là mặtđối xứng, ta tính diện tíchphía bên trên mp Oxy rồi nhânđơiBCAD §1: Tích phân kép – Ứng dụngz = x2 + y 2x ′ zx =22x+y⇒y z′ =22 yx+y⇒ 1 + z′x 2 + zy′ 2 = 2Khi đó, hàm dưới vết tích phân bởi hằng sốnên tích phân buộc phải tính là diện tích miền đem tíchphân nhân với hằng số.Vậy S = 2.2. √2 §1: Tích phân kép – Ứng dụngy+x=-1z2=x2+y2, z≥0-y+x=1y+x=1y-x=1 §1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 13 : mang đến vật thể Ω số lượng giới hạn bởi y=x2, x=y2, z=0,z=y2. Tính1. Diện tích s phần mặt phẳng z=0 phía trong Ω2.

Xem thêm: Con Cá Đọc Tiếng Anh Là Gì ?

Thể tích Ω3. Diện tích phần phương diện trụ z = y2 phía bên trong ΩTrong 4 mặt tạo nên thành Ω,có 2 khía cạnh cùng tuy vậy songvới trục Oz là y=x2 cùng x=y2Từ đó ta được hình chiếucủa Ω xuống phương diện z = 0 làmiền DD