1. Góc giữa hai tuyến đường thẳng trong không gian là gì?
Trong không gian cho 2 con đường thẳng a, b bất kỳ. Xuất phát điểm từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a’, b’ lần lượt tuy vậy song với a và b. Ta phân biệt rằng khi điểm O biến đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a với b không vậy đổi.
Bạn đang xem: Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc thân 2 con đường thẳng cùng đi sang 1 điểm với lần lượt tuy vậy song với hai tuyến phố thẳng đang cho.
2. Cách khẳng định góc giữa hai tuyến phố thẳng
Ngoài câu hỏi làm như trong định nghĩa, để xác định góc giữa 2 con đường thẳng a cùng b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng kia rồi vẽ một đường thẳng qua O và tuy nhiên song với con đường thẳng còn lại.
Hoặc ta rất có thể sử dụng tích vô hướng:
Nếu (overrightarrowu) là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng a cùng (overrightarrowv) là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng b và (left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)=alpha ) thì góc giữa 2 mặt đường thẳng a với b bằng (alpha ) nếu như (0le alpha le 90^circ ) và bởi (180^circ -alpha ) giả dụ (90^circ giả dụ 2 mặt đường thẳng a và b tuy nhiên song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bởi (0^circ ). Góc giữa 2 mặt đường thẳng là góc tất cả số đo (0le alpha le 90^circ ).3. Phương pháp tính góc giữa hai tuyến đường thẳng
Để tính được góc giữa hai đường thẳng trong không gian, nếu xác minh (dựng) được góc giữa hai tuyến đường thẳng trong không gian và gắn nó vào một tam giác rõ ràng thì hoàn toàn có thể sử dụng các hệ thức lượng vào tam giác để tìm số đo của góc đó:
Định lý hàm số cosin vào tam giác ABC: (cos widehatBAC=fracAB^2+AC^2-BC^22.AB.AC)Tương tự ta có: (cos widehatABC=fracBA^2+BC^2-AC^22.BA.BC) với (cos widehatACB=fracCA^2+CB^2-AB^22.CA.CB)Chú ý: (overrightarrowAB.overrightarrowAC=AB.ACcos widehatBAC=frac12left( AB^2+AC^2-BC^2 ight))Ngoài ra, nhằm tính góc giữa hai véc-tơ $vecu, vecv $ chúng ta sử dụng có mang tích vô hướng: $$vecu . vecv = |vecu|.|vecv|.cos(left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)$.
Tính góc giữa hai tuyến phố thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ (overrightarrowAB) cùng (overrightarrowCD) phụ thuộc vào công thức (cos left( overrightarrowAB;overrightarrowCD ight)=fracoverrightarrowAB.overrightarrowCD overrightarrowAB ightRightarrow cos left( AB;CD ight)=frac) từ kia suy ra góc giữa hai tuyến đường thẳng AB cùng CD.
4. Bài bác tập góc giữa hai đường thẳng trong ko gian
Ví dụ 1. Cho hình lập phương $A B C D cdot A^prime B^prime C^prime D^prime$ có cạnh là $a$. Tính góc giữa những cặp đường thẳng sau đây:
$A B$ và $A^prime D^prime$.$A D$ và $A^prime C^prime$.$B C^prime$ với $B^prime D^prime$.Lời giải.
Ví dụ 2. mang đến hình chóp $S . A B C$ có $S A=S B=S C=A B=A C=a sqrt2$ với $B C=2 a$. Tính góc giữa hai tuyến phố thẳng $A C$ với $S B$.
Lời giải.
Ta bao gồm $S A B$ cùng $S A C$ là tam giác đều, $A B C$ với $S B C$ là tam giác vuông cân cạnh huyền $B C$.Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là trung điểm của $S A, A B, B C$, ta có $M N / / S B, N p / / A C$ buộc phải $(A C, S B)=(N P, M N)$.
eginaligned&M N=fracS B2=fraca sqrt22, N P=fracA C2=fraca sqrt22 . \&A P=S P=fracB C2=a, S A=a sqrt2endaligned
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC bao gồm đáy là tam giác phần đông cạnh a, (SAot left( ABC ight)) và (SA=asqrt3). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB cùng SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.
Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra (AM=CE=fraca2).
Khi kia (AE//CMRightarrow left( widehatAE;CM ight)=left( widehatAN;AE ight)=varphi .)
Mặt không giống (SC=sqrtSA^2+AC^2=2aRightarrow ) độ dài con đường trung con đường AN là (AN=fracSC2=a.AE=CM=fracasqrt32.)
Do (Delta ABC) đều đề xuất (CMot AMRightarrow ) AMCE là hình chữ nhật.
Khi đó (CEot AE) mà (CEot SARightarrow CEot left( SAE ight)Rightarrow CEot SE.)
(Delta SEC) vuông tại E tất cả đường trung tuyến (EN=frac12SC=a.)
Ta có: (cos widehatNAE=fracAN^2+AE^2-NE^22.AN.AE=fracsqrt34>0Rightarrow cos varphi =fracsqrt34.)
Cách 2: Ta có: (overrightarrowAN=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight);overrightarrowCM=overrightarrowAM-overrightarrowAC=frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC.)
Khi đó (overrightarrowAN.overrightarrowCM=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight)left( frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC ight)=frac14overrightarrowAB.overrightarrowAC-frac12AC^2=frac14a^2cos 60^circ -fraca^22=frac-3a^28.)
Lại có: (AN=fracSC2=a;CM=fracasqrt32Rightarrow cos varphi =fraclefta.fracasqrt32=fracsqrt34.)
Bình luận: phụ thuộc vào hai cách làm bên trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc thực hiện công ráng vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở phải dễ ràng hơn siêu nhiều!.
Ví dụ 4.
Xem thêm: Địa Lí 8 Bài 1 Vị Trí Địa Lí Địa Hình Và Khoáng Sản, Please Wait
Cho hình chóp S.ABC có (SA=SB=SC=AB=a;AC=asqrt2) và (BC=asqrt3). Tính cosin góc giữa hai tuyến đường thẳng SC cùng AB.
Cách 1: call M, N, phường lần lượt là trung điểm của SA, SB cùng AC. Khi ấy (left{ eginalign
& MP//SC \
& N//AB \
endalign ight.Rightarrow left( widehatSC;AB ight)=left( widehatMP;MN ight).)
Ta có: (MN=fracAB2=fraca2;MP=fracSC2=fraca2.)
Mặt khác (Delta SAC) vuông trên S (Rightarrow SP=fracAC2=fracasqrt22.)
(BP^2=fracBA^2+BC^22-fracAC^24=frac32a^2Rightarrow BP=fracasqrt62.)
Suy ra (PN^2=fracPS^2+PB^22-fracSB^24=frac3a^24Rightarrow NP=fracasqrt32.)
Khi kia (cos widehatNMP=fracMN^2+MP^2-NP^22.MN.MP=-frac12Rightarrow widehatNMP=120^circ Rightarrow varphi =left( widehatSC;AB ight)=60^circ .)
Cách 2: Ta có: (overrightarrowAB=overrightarrowSB-overrightarrowSARightarrow overrightarrowAB.overrightarrowSC=left( overrightarrowSB-overrightarrowSA ight).overrightarrowSC=overrightarrowSB.overrightarrowSC-overrightarrowSA.overrightarrowSC)
(=frac12left( SB^2+SC^2-AC^2 ight)-frac12left( SA^2+SC^2-AB^2 ight)=-fraca^22.)
Suy ra (cos left( SC;AB ight)=fraclefta.a=frac12Rightarrow left( SC;AB ight)=60^circ .)