Bài 2GIỚI HẠN CỦA HÀM sốA. KIẾN THỨC CẦN phái mạnh vữngGiới hạn hữu hạn của hàm sô tại một điểmĐịnh nghĩa 1: Cho khoảng tầm K đựng điểm Xo cùng hàm sô" y = f(x) xác minh trên K hoặc trên K ịxo). Nếu với mọi dãy sô" (xn), xn e K {xol nhưng mà limxn = Xo ta đều sở hữu limf(xn) = L thì ta nói hàm sô" y = f(x) có giới hạn là sô" L khi X dần tới Xo, kí hiệu lim f(x) = L tốt f(x) —> L khi X —> Xo-Định lí 1.a) đưa sử lim f(x) = L và lim g(x) = M thì:X—>x(,X—>x„• lim = L±Mx->x0b) trường hợp f(x) > 0 là lim f(x) — L là L > 0 và lim ựf(x) = VẼ.x->x„x->x„Giới hạn một bênĐịnh nghĩa 2: mang đến hàm số f(x) khẳng định trong khoảng chừng (x0, b). Nếu với mọi dãy sô" (xn), xn G (x0, b) mà lại limxn = Xo ta phần đa có:f(x) —> L thì ta nói L là giới hạn bên cần của f(x) lúc X —> Xo- lúc đó ta kí hiệu: lim f(x) = L.x-»xjTrong trường hợp f(x) xác định trên khoảng chừng (a, Xo), ta có lim f(x) = L (L là giới hạn bên trái của f(x) khi X —> Xo).x->xõĐịnh lí 2.lim f(x) = L lim f(x) = lim f(x) = Lx-»x„X-»xJx->x,’,Giới hạn của hàm sô" tại vô cựcĐịnh nghĩa 3: mang đến hàm sô" f(x) khẳng định trên khoảng (a, + co) (khoảng (-00, a)). Nếu với mọi dãy sô" (xn) mà xn > a (xn L thì ta nói L là số lượng giới hạn của f(x) lúc X —> + 00 (x —>-00).Khi kia ta kí hiệu: lim f(x) = L I lim f(x) = L >X->+COX->-00Ịhay f(x) —> L lúc X —> + co (f(x) —> L khi X —> - 00)Giới hạn vô rất của hàm sô"Định nghĩa 4: mang lại hàm sô" y = f(x) xác định trên khoảng chừng (a, + 00) hay khoảng chừng (—co, a). Nếu với tất cả dãy sô" (xn) mà xn > a (xn +CO (x -> - 00) ta đều phải sở hữu íKx) -> - 00 (f(x) -> + 00) thì ta nói hàm sô" f(x) có số lượng giới hạn là - 00 (+ 00) lúc xn —> + 00 (x —> - co). Lúc ấy ta kí hiệu:lim f(x) =- 00 I lim f(x) = + 001X->+ccx->+coỉĐịnh nghĩa tựa như với các trường đúng theo khác.Một số giới hạn đặc biệt:lim xk = + co, k nguyên dươngX->+00lim xk là -00 nếu k lẻ, là +00 nếu k chẵn.X—>-005. Một sô" phép tắc về giới hạn vô cực a) Quỵ tắc tìm giới hạn của tíchlim f(x)x-»x0lim g(x)x->x0lim f(x).g(x) x-»x„L > 0+ 00+ 00-00— 00L x0Dấu của g(x)g(x)L±00Tùy ý0L > 00++ 00e —- 00L 4 3x-2x->+“’ X +3GiảiX +1 í 21a. Đặt f(x) = -^—7-, TXĐ: D = R 0 3x-2<3Jlim xn = 4n->+00■ 2Xét hàng số (xn), xn G R vàXét số lượng giới hạn của hàng sô": (flxn)) ví như có:n->+cotop (xn+n—>4-co H3x„ ~2)n—>+00 xlim X + lim 14,1n->+00n-»+co " 1lim 3xn - lim 212-2n—>+õon—>+coVậy theo định nghĩa ta có: limf (x)V —"= lim4±lx->4 3x - 2b. Giống như a:Đặt f(x) =2 + 5x2„_ , TXĐ: D = R x2+3Xét hàng số (xn) với xn e (a;+co) vàlim xn = +00n->+002_5x2Ta có: lim f (xn) = lim — nn—>+» v 7II—>+co-|- 3X2An= lim —n—>+00■ xỉẾ’5= lim4-5x„2 lim V-_5x:X?lim 1 + —rx:--5= +c°= -54-002 —5x2Vậy theo khái niệm ta có: lim f (x) = lim - ■V xxrr."V—X." - —1_ "2= -52. Cho hàm số f (x) =VX4-1 (nếu x>0) , , _. Ấ ..1và các dãy số (u„) cùng với un - —, với2x (nếu X 0?GiảiTa có: lim un = lim — = 0; lim đất nước hình chữ s = lim - nk= -lim—= 0nVì: — > 0 nênnvà+M X +1Giải.. X/x + 3 -3c. Lim— —X Vó X - 6f. Lim -2Vlĩzlx->+=03 + XlimX->+00x->-3 X + 1-3 + 1= ^=-4-2n JV = 0 với lim (u) = 1 * lim f (vn) = 0 n "n—X-Ur/-" ""Do kia không tồn tại giới hạn của f(x) lúc X —> 0 .4_x2b. Đặt f(x) = ——7-, TXĐ: D = R -2= 2-x4-x24-x2c. Cùng với Vx 6, ta CÓ:Vx + 3 -3 _ (v(x + 3) -3j(Vx + 3 +3)X —6(x — 6)(ựx +3 +3)Vậy lim—-— = limX—>6x-»61_6d. Lim ——- = limJ 6X 2- —V X xf--l k X2-Ế= lim —= -2X->+cO 41X1; 17c. Lim —-—liml721 = 0+oo= lim^- + 1X,.X„ 1:~2x2 +x-l ..f. Lim —-7—-— = lim —= lim X. LimX—>+cox-*+10i.(-2) = -coỉ. Limx->r x-11; 2X-7c. Lim—*x-14. Tìm những giới hạn sau:3x-5a. Lim——-—77Giải3x-5lim _x->2(x-2)2lim ^=2_ 3.2-5= (2-2)2-5—— = +000_Ị_0= +co(vì khi X —> 1 thì X - 1+ thì X - 1 > 0) x“r x-10Quan liền kề đồ thị cùng nêu nhận xét về quý giá hàm số đã mang đến khi X -> -00, X —> 3~, X —> -3+Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính những giới hạn sau:lim f (x) cùng với f(x) được xét trên khoảng (-oo;-3)X—>-00 v 7lim f (x) cùng với f (x) được xét trên khoảng tầm (3; -3)x->3“lim f (x) với f (x) được xét trên khoảng (-3; 3)Giảia. Từ thứ thị thấy:f (x) —> 0 lúc X -» -co;f (x) -> -co lúc X -»3";f (x) —> +00 khi X —> -3+ b. Ta có:lim f (x) -= J™ - " " - T * -“x->-« X -9 x->-co 2721X 1 —7lim 1 —73 + 232-9V X JX )lim f (x) = lim x->3“ v ’ x“rx2-9(vì trên (3; -3) thì X2 - 9 0)6. Tính:b.c.-2x + 5d.lim ————5-2xGiải1 . 1Ị_X” X’ X4= lim X4. Lim I 1 —"V + “T _X—>+00X—>+co IX X4= +00.1 = +cob. Lim í-2x3 + 3x2 -5)= lim X3X—>-00 V" X—>—co-2+ê-^X XI 35- lim X3. Lim -2+—ị-X—♦—001x x-2x + 5 = lim Jx2I I..I ,2,5• = lim X . 1+ —1VXX/25= lim ịx| lim J1-—+ —7 =+00.1 =+00 X—>—coX—>—co Y XXd. Lim x^+w 5 - 2x= lim+ l + x—-—— = limx<--2 xxí—-2X= lim1-2XMột thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Hotline d với d’ theo lần lượt là khoảng cách từ một đồ thật AB với từ hình ảnh A’B’ của nó tới quang tâm o của thấu kính(hình dưới). Bí quyết thấu kính là ■“ + "7 = 7 •d d" fA"ir;Tìm biểu thức xác minh hàm sô" d = ợ?(d).Tìm lim (ơ(d) , lim ý?(d), lim ý9(d). Giải thích ý nghĩa sâu sắc của những kếtd->f’d->f’d->+coquả tìm kiếm được.Giải,„x. 1 .


Bạn đang xem: Toán lớp 11 giới hạn của hàm số


Xem thêm: Mô Hình Agile Scrum - Agile Và Scrum: Giống Hay Khác Nhau

1 _ 1111 dfTa có: . + -r = -T d == g(d)d d" fd" f d d-fTính:./.X1:„ fd f2 lim g(d) = lim ——- = -— = +CO (vì d - f > 0) lúc d -> r) d^f 7 d-ir d - f 0Ý nghĩa: Khi đồ dẫn mang đến tiêu điếm nhưng lớn hơn tiêu điểm thì có hình ảnh ở 00.fdlim ợ?(d) = lim ——— = -00 (vì d - f Dd-ư- d - fÝ nghĩa: Khi vật dẫn cho tiêu điểm nhưng trọng tâm tiêu điểm với quang trọng điểm thì có hình ảnh ảo ngoài vô cực.lim ộ?(d) = lim - lim f = fd—>+co v / d->+co — £ d—>+co8dÝ nghĩa: Khi vật ở xa vô cực thì khoảng cách từ hình ảnh đến quang đãng tâm bằng tiêu cực.