SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT THỊ QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HĨA LỚP 10, 11 Khóa thi ngày thứ 3 tháng năm 2019 Mơn thi: Tốn lớp 11 ĐỀ THI CHÍNH THỨC thời hạn làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề bao gồm 01 trang) Câu I (5,0 điểm) Giải phương trình: sin x cos x  sin x  cho x1 x2 nhị nghiệm phương trình: x  x  a  , x3 x4 hai nghiệm phương trình: x  12 x  b  Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo máy tự lập thành cấp cho số nhân Hãy tìm a, b Câu II (3,0 điểm) mang đến k số tự nhiên và thoải mái thỏa mãn:  k  2014 k k 1 k 5 k  C51C2014   C55C2014  C2019 chứng tỏ rằng: C50C2014 tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: m    x2   x2    x4   x2   x2 Câu III (3,0 điểm) mang lại dãy số  un  khẳng định bởi: u1  sin1; un  un 1  sin n , với n  , n  n2 chứng tỏ dãy số  un  xác định dãy số bị chặn Câu IV (3,0 điểm) mang đến tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân a D với DC  minh chứng rằng: AD  BC call G trung tâm tam giác BCD , tính cosin góc hai tuyến đường thẳng AG CD , biết góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD ) 300 Câu V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A(2;1) , B (1; 2) , trung tâm G tam giác nằm đường thẳng x  y   tìm kiếm tọa độ đỉnh C biết diện tích s tam giác 27 ABC Câu VI (3,0 điểm) cho số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c  chứng tỏ rằng:      1 2  1  1   a  b  c  Đẳng thức xảy nào?  2  a b  b  c  c  a  -HẾT - Thí sinh khơng áp dụng tài liệu MTCT Cán coi thi khơng phân tích và lý giải thêm chúng ta tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………… Huớng dẫn chấm Toán 11 Câu Câu I (5đ) (3đ) (2đ) câu chữ Giải phương trình: sin 3x cos x  sin x  sin x cos x  sin x  (1) Ta có: sin x  (1  cos x) s inx Điểm (1)  ((1  cos x) cos2 x  1) sin x  1.0đ  (1  cos2x)(1+4cos 2 x ) sin x  1.0đ sin x  k  x 1.0đ cos2x=-1 mang lại x1 x2 hai nghiệm phương trình: x  3x  a  , x3 x4 nhì nghiệm phương trình: x  12 x  b  Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp cho số nhân Hãy search a, b hotline q công bội CSN  x2  x1q; x3  x1q ; x4  x1q Theo viet ta có:  x1 (1  q )   x1  x2   x x  a   x1 x2  a     x3  x4  12  x1q (1  q )  12 x x  b  x3 x4  b  Suy q  + q =  x1  , giải a = 2, b = 32 +q = -2  x1  3 , giải a = -18, b = -288 Câu II (3đ) (1.5đ) cho k số tự nhiên thỏa mãn:  k  2014 k k 1 k 5 k chứng tỏ rằng: C50C2014  C51C2014   C55C2014  C2019 Ta có: (1  x)5 (1  x)2014  (1  x)2019 M  (1  x)5  C50  C51 x  C52 x  C53 x  C54 x  C55 x5 1.0đ 1.0đ 0.5đ 2013 2013 năm trước 2014 k N  (1  x) 2014  C2014  C2014 x   C2014 x k   C2014 x  C2014 x 2018 2018 2019 2019 k phường  (1  x) 2019  C2019  C2019 x   C2019 x k   C2019 x  C2019 x k 0.5đ Ta có hệ số x phường C , p = M.N k nhưng số hạng chứa x M.N : k 2019 k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 4 k 4 k 5 k 5 C50C2014 x k  C51 xC2014 x  C52 x 2C2014 x  C53 x3C2014 x  C54 x 4C2014 x  C55 x5C2014 x (1.5đ) k k 1 k 5 k Vậy : C50C2014  C51C2014   C55C2014  C2019 tìm kiếm m để phương trình sau gồm nghiệm thực: m  0.5đ   x2   x2    x4   x2   x2 ĐK: 1  x  , Đặt t   x   x , t thường xuyên  1;1 t   t    x   t   0;  t  t  Pttt: m(t  2)  t  t   m  t2 t  t  ; t  0;  , f (t ) liên tục  0;  Xét f (t )  t2 f "(t )  t  4t  0, t  0; (t  2)   0.5đ 0.5đ 0.5đ  f (t ) nghịch vươn lên là  0;  Vậy pt cho tất cả nghiệm thực f ( 2)    m   f (0) Câu III (3đ) mang đến dãy số  un  khẳng định bởi: u1  sin1; un  un 1  sin n , cùng với n2 n  , n  minh chứng dãy số  un  khẳng định dãy số bị chặn 1     2, n  N * , 2 n 1 1 1          2 1.2 2.3 n n.(n  1) 1 1 1          2  2 n 1 n n Ta có: 1.0đ sin1 sin sin n    2 n  1 1 Suy : 2         un      2, n  N * n  n 1 Vậy dãy số  un  khẳng định dãy số bị chặn bởi qui nạp ta cm được: un  Câu IV (3đ) (1đ) 1.0đ 1.0đ mang đến tứ diện ABCD tất cả tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân D cùng với DC  a chứng minh rằng: AD  BC hotline M trung điểm BC, ta có: ABC phải AM  BC , DBC cân cần 1.0đ DM  BC  BC  ( AMD)  BC  AD (2đ) call G trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc hai tuyến đường thẳng AG CD, biết góc nhị mặt phẳng (ABC) (BCD) 300 Theo gt ta tất cả góc MA MD 300 Kẻ GN//CD, nối AN a +TH1: góc DAM 300, ta có: MD  a  MG  , ABC đề xuất AM  a 0.5đ Áp dụng định lí cosin đến AMG a 13 CD a a , GN  ANC gồm AN   vào ANG 6 5 có cos(AGN)= gọi góc ( AG; CD)   cos = 65 65 13 +TH2: Góc AMD 1500 Tính tương tự ta có: cos = ta có AG  0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu V (3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mang lại tam giác ABC, với A(2; 1), B(1;-2), trung tâm G tam giác nằm con đường thẳng x + y = tìm kiếm tọa độ đỉnh C biết diện tích s tam giác ABC 27  1  call M trung điểm AB, ta có : M  ;  hotline C(a ; b), 2   a  b 1  a  b 1     a  b   0, (1) , suy G  ; d   3  còn mặt khác AB : 3x  y    d (C ; AB)  diện tích s S 3a  b  27 AB.d (C ; AB)   10 2 1.0đ , 10 3a  b  10  27  3a  b   27, (2) 1.0đ trường đoản cú (1) (2) ta có hệ:  a   C  9; 5    a  b  b  5     3a  b  32    9  a   a  b    C  9 ; 17        17  2  3a  b  22  b   Câu VI (3đ) 1.0đ mang lại số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c  minh chứng rằng:      1 2  1  1   a  b  c  Đẳng thức xảy nào?  2  a b  b  c  c  a  2 Từ mang thiết ta gồm  a , b , c  Áp dụng BĐT Cauchy ta gồm : 4  (3  a )      a2 2 3 a 3 a 4 Tương tự:    b2 ;    c2 3b  c2     vì đó:  2  1 2  1 2  1  (a  2)(b  2)(c  2), (1)  a b  b  c  c  a  Áp dụng BĐT Bun… ta có: (a  2)(b  2)  (a  1)(b  1)  a  b   (a  b)  (a  b)  3 = ((a  b)2  2)  (a  2)(b  2)(c  2)  ((a  b)2  2)(c  2) 2  2(a  b)  2c  3(a  b  c) , (2) 2  2 2 1.0đ 1.0đ  trường đoản cú (1) (2) ta BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c=1 1.0đ ... C2014 x  C2014 x 2018 2018 2019 2019 k p.  (1  x) 2019  C2019  C2019 x   C2019 x k   C2019 x  C2019 x k 0.5đ Ta có hệ số x phường C , phường = M.N k mà lại số hạng đựng x M.N : k 2019 k k 1 k 1...Huớng dẫn chấm – Toán 11 Câu Câu I (5đ) (3đ) (2đ) ngôn từ Giải phương trình: sin 3x cos x  sin x  sin x cos x  sin x  (1) Ta có: sin x  (1  cos x) s inx Điểm (1)  ((1  cos x) cos2...  2014 k k 1 k 5 k chứng tỏ rằng: C50C2014  C51C2014   C55C2014  C2019 Ta có: (1  x)5 (1  x)2014  (1  x )2019 M  (1  x)5  C50  C51 x  C52 x  C53 x  C54 x  C55 x5 1.0đ 1.0đ