Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $overrightarrow u $ được điện thoại tư vấn là vectơchỉ phương của mặt đường thẳng $Delta $ giả dụ $overrightarrow u e overrightarrow 0 $ cùng giá của $overrightarrow u $ tuy nhiên song hoặc trùng với$Delta $.

Bạn đang xem: Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Nhận xét

-Nếu $overrightarrowu $ là 1 trong vectơ chỉ phương của đường thẳng$Delta $thì $koverrightarrow u left( k e 0 ight)$ cũng là một trong vectơ chỉ phương của$Delta $. Do đó một đường thẳng tất cả vô số vectơchỉ phương.

-Một con đường thẳng trọn vẹn được xác minh nếu biết một điểm cùng một vectơ chỉphương của mặt đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của con đường thẳng

Định nghĩa

Trong khía cạnh phẳng Oxy đến đường thẳng$Delta $đi quađiểm $M_0left( x_0;y_0 ight)$ với nhận $overrightarrow u =left( u_1;u_2 ight)$ có tác dụng vectơ chỉ phương. Với từng điểm M(x ; y)bất kì trong mặt phẳng, ta có $overrightarrow MM_0 = left( x -x_0;y - y_0 ight)$. Lúc đó $M in Delta Leftrightarrowoverrightarrow MM_0 $ cùng phương cùng với $overrightarrow uLeftrightarrow overrightarrow MM_0 = toverrightarrow u $.

$ Leftrightarrow left{ eginarray*20l x - x_0 = tu_1 \ y - y_0 = tu_2 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarray*20l x = x_0 + tu_1 \ y = y_0 + tu_2 endarray ight.left( 1 ight)$

Hệ phương trình (1) được call là phương trình tham số của đường thẳng$Delta $,trong kia t là tham số.

Cho tmột giá chỉ trị ví dụ thì ta xác minh được một điểm trê tuyến phố thẳng$Delta $.

3. Vectơ pháp đường của đường thẳng

Định nghĩa

Vectơ $overrightarrow n $ được điện thoại tư vấn là vectơ pháp tuyến của đường thẳng$Delta $ trường hợp $overrightarrow n e 0$ với $overrightarrow n $ vuông góc với vectơ chỉ phương của$Delta $.

Nhận xét

Nếu $overrightarrow n $ là một trong vectơ pháp đường của con đường thẳng$Delta $ thì $koverrightarrow n left( k e 0 ight)$ cũnglà một vectơ pháp con đường của$Delta $. Do đó một con đường thẳng gồm vô số vectơ pháp tuyến.

Một con đường thẳng trọn vẹn được khẳng định nếubiết một điểm cùng một vectơ pháp con đường của nó.

4. Phương trình bao quát của đưòng thẳng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đến đường trực tiếp $Delta $đi qua điểm $M_0left( x_0;y_0 ight)$ và nhận$overrightarrow n left( a;b ight)$ có tác dụng vectơ pháp tuyến.

Với từng điểm M(x ; y) bất cứ thuộc khía cạnh phẳng, ta có: $overrightarrow MM_0 = left( x - x_0;y - y_0 ight)$.

Khi đó:

$eginarray*20l Mleft( x;y ight) in Delta Leftrightarrow vec n ot overrightarrow MM_0 \ Leftrightarrow aleft( x - x_0 ight) + bleft( y - y_0 ight) = 0 \ Leftrightarrow ax + by + left( - ax_0 - by_0 ight) = 0 \ Leftrightarrow ax + by + c = 0 endarray$

Với $c = - ax_0 - by_0$.

Định nghĩa

Phương trình ax + by + c =0 với a và b không đồng thời bởi 0, được hotline là phương trình tổng thể của con đường thẳng.

Nhận xét

Nếu mặt đường thẳng$Delta $có phương trình là ax + by + c = 0 thì$Delta $có vectơ pháp tuyếnlà $overrightarrow n = left( a;b ight)$ và gồm vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = left( - b;a ight)$.

* các trường hợp đặc biệt

Cho mặt đường thẳng $Delta $có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (1)

a) trường hợp a= 0 phương trình (1) đổi mới by + c= 0 hay $y = - fraccb$.

Khi đó đường thẳng $Delta $vuông góc cùng với trục Oy tại điểm $left( 0; - fraccb ight)$.

b) Nếub = 0 phương trình (1) biến chuyển ax +c = 0 hay $x = - fracca$.

Khi đó con đường thẳng $Delta $vuông góc với trục Ox tại điểm $left( - fracca;0 ight)$.

c) ví như c= 0 phương trình (1) biến chuyển ax +by = 0.

Khi đó đường thẳng $Delta $đi qua gốc tọa độ O.

d) trường hợp a,b, c đều không giống 0 ta rất có thể đưa phương trình (1) về dạng $fracxa_0 + fracyb_0 = 1$.

với $a_0 = - fracca,b_0 = - fraccb$. (2). Phương trình này được điện thoại tư vấn là phương trình mặt đường thẳng theo đoạn chắn, đườngthẳng này giảm Ox và Oy lần lượt tại $Mleft( a_0;0 ight)$ cùng $Nleft( 0;b_0 ight)$.

5. Vị trí kha khá của hai đường thẳng

Xét hai tuyến phố thẳng $Delta _1$ và $Delta _2$ tất cả phương trìnhtổng quát theo lần lượt là $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ cùng $a_2x + b_2y + c_2 = 0$.

Toạ độ giao điểm của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ là nghiệm của hệphương trình:

$left{ eginarray*20l a_1x + b_1y + c_1 = 0 \ a_2x + b_2y + c_2 = 0 endarray ight.(I)$

Ta có các trường đúng theo sau:

a) Hệ (I) gồm một nghiệm $left( x_0;y_0 ight)$, khi đó$Delta _1$ cắt$Delta _2$ tạiđiểm $M_0left( x_0;y_0 ight)$.

b) Hệ (I) có vô số nghiệm, lúc đó $Delta _1$ trùng với$Delta _2$.

Xem thêm: Soạn Văn 8 Từ Ngữ Địa Phương Và Biệt Ngữ Xã Hội (Trang 56), Soạn Văn 8: Từ Ngữ Địa Phương Và Biệt Ngữ Xã Hội

c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó$Delta _1$ cùng $Delta _2$ ko cóđiểm chung, hay $Delta _1$ tuy nhiên song cùng với $Delta _2$.

6. Góc giữa hai tuyến phố thẳng

Góc giữa hai tuyến đường thẳng $Delta _1$ và $Delta _2$ được kí hiệulà $left( widehat Delta _1,Delta _2 ight)$ hoặc $left( Delta _1,Delta _2 ight)$.

Cho hai tuyến đường thẳng

$eginarray*20l Delta _1:a_1x + b_1y + c_1 = 0 \ Delta _2:a_2x + b_2y + c_2 = 0 endarray$

Đặt $varphi = left( widehat Delta _1,Delta _2 ight)$ thì ta thấy $varphi$ bằng hoặc bù với góc giữa$overrightarrow n __1$ cùng $overrightarrow n __2$ trong đó $overrightarrow n __1$, $overrightarrow n __2$ theo thứ tự là vectơ pháp đường của$Delta _1$ và $Delta _2$. Vày $cos varphi ge 0$ bắt buộc tasuy ra

$cosvarphi = left| cos left( overrightarrow n_1,overrightarrow n_2 ight) ight| = fracleft overrightarrow n_2 ight$

Vậy

$cos varphi = frac a_1a_2 + b_1b_2 ightsqrt a_1^2 + b_1^2 sqrt a_2^2 + b_2^2 $.

7. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến chọn lựa một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy mang lại đường thẳng$Delta $cóphương trình ax + by + c = 0 và điểm$M_0left( x_0;y_0 ight)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ mang lại đường trực tiếp $Delta $, kí hiệu là $dleft( M_0,Delta ight)$), được xem bởicông thức sau:

$dleft( M_0,Delta ight) = fracsqrt a^2 + b^2 $