Phương pháp áp dụngTa biến đổi đẳng thức vectơ mang lại trước về dạng: $overrightarrow OM $ = $vec v$, trong đó điểm O cố định và vectơ $vec v$ đã biết.

Bạn đang xem: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ


Thí dụ 1:
Cho ΔABC các nội tiếp đường tròn chổ chính giữa O.a. Minh chứng rằng $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow 0 $.b. Hãy xác định các điểm M, N, p sao cho:$overrightarrow OM $ = $overrightarrow OA + overrightarrow OB $; $overrightarrow ON $ = $overrightarrow OB + overrightarrow OC $; $overrightarrow OP $ = $overrightarrow OC + overrightarrow OA $.
a. Do ΔABC đều yêu cầu O chính là trọng trọng tâm ΔABC, cho nên ta có ngay:$overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow 0 $.b. Call A1, B1, C1 theo máy tự là trung điểm của BC, AC, AB.
*

Kẻ Ax // BC.Kẻ Cy // AB.Giao của Ax và Cy đó là điểm M bắt buộc tìm.Thí dụ 3:
Cho ΔABC đều, nội tiếp con đường tròn vai trung phong O.a. Hãy xác minh các điểm M, N, p sao cho:$overrightarrow OM $ = $overrightarrow OA $ + $overrightarrow OB $, $overrightarrow ON $ = $overrightarrow OB $ + $overrightarrow OC $, $overrightarrow OP $ = $overrightarrow OC $ + $overrightarrow OA $.b. Chứng minh rằng $overrightarrow OA $ + $overrightarrow OB $ + $overrightarrow OC $ = $overrightarrow 0 $.
*

Với điểm M thoả mãn: $overrightarrow OM $ = $overrightarrow OA $ + $overrightarrow OB $⇒ M là đỉnh thứ bốn của hình bình hành AOBM⇒ cm là 2 lần bán kính của (O), vày ΔABC đều.Với điểm N thoả mãn: $overrightarrow ON $ = $overrightarrow OB $ + $overrightarrow OC $ ⇒ N là đỉnh thứ bốn của hình bình hành BOCN⇒ AN là đường kính của (O), vì ΔABC đều.Với điểm p. Thoả mãn: $overrightarrow OP $ = $overrightarrow OC $ + $overrightarrow OA $ ⇒ phường là đỉnh thứ bốn của hình bình hành AOCP⇒ BP là 2 lần bán kính của (O), bởi vì ΔABC đều.Vậy, các điểm M, N, phường nằm trên tuyến đường tròn (O) làm thế nào để cho CM, AN, BP là những đường kính của đường tròn (O).b. Dựa vào hiệu quả câu a) cùng $overrightarrow OC $ = $overrightarrow MO $, ta gồm ngay:$overrightarrow OA $ + $overrightarrow OB $ + $overrightarrow OC $ = $overrightarrow OM $ + $overrightarrow MO $ = $overrightarrow MO $ + $overrightarrow OM $ = $overrightarrow MM $ = $overrightarrow 0 $.Thí dụ 4:
Cho ΔABC.a. Tìm điểm I làm thế nào cho $overrightarrow IA $ + 2$overrightarrow IB $ = $vec 0$.b. Kiếm tìm điểm K sao để cho $overrightarrow KA $ + 2$overrightarrow KB $ = $overrightarrow CB $.c. Search điểm M làm sao để cho $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + 2$overrightarrow MC $ = $vec 0$.
a. Ta trở nên đổi: $vec 0$ = $overrightarrow IA $ + 2$(overrightarrow IA + overrightarrow AB )$ = 3$overrightarrow IA $ + 2$overrightarrow AB $⇔ $overrightarrow IA $ = - $frac23overrightarrow AB $, suy ra điểm I được trọn vẹn xác định.b. Ta biến chuyển đổi: $vec 0$ = $overrightarrow KA $ + $overrightarrow KB $ + ($overrightarrow KB $ + $overrightarrow BC $) = $overrightarrow KA $ + $overrightarrow KB $ + $overrightarrow KC $⇔ K là giữa trung tâm ΔABC.c. Gọi E, F, N là trung điểm AB, BC, EF, ta có:$vec 0$ = ($overrightarrow MA $ + $overrightarrow MC $) + ($overrightarrow MB $ + $overrightarrow MC $) = 2$overrightarrow ME $ + 2$overrightarrow MF $ = 4$overrightarrow MN $ ⇔ M ≡ N.Thí dụ 5:
mang lại trước hai điểm A, B và hai số thực α, β bằng lòng α + β ≠ 0.a. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I chấp thuận α$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow IB $ = $vec 0$.b. Từ bỏ đó, suy ra cùng với điểm bất kỳ M, ta luôn luôn có:α$overrightarrow MA $ + β$overrightarrow MB $ = (α + β)$overrightarrow MI $.
a. Ta có:α$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow IB $ = $vec 0$ ⇔ α$overrightarrow IA $ + β($overrightarrow IA $ + $overrightarrow AB $) = $vec 0$ ⇔ (α + β)$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow AB $ = $vec 0$⇔ (α + β)$overrightarrow AI $ = β$overrightarrow AB $⇔$overrightarrow AI $ = $fraceta alpha + eta $$overrightarrow AB $.Vì A, B cố định và thắt chặt nên vectơ $fraceta alpha + eta $$overrightarrow AB $ không đổi, do đó tồn tại tuyệt nhất điểm I thoả mãn đk đầu bài.b. Ta có:α$overrightarrow MA $ + β$overrightarrow MB $ = α($overrightarrow MI $ + $overrightarrow IA $) + β($overrightarrow MI $ + $overrightarrow IB $) = (α + β)$overrightarrow MI $ + (α$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow IB $) = (α + β)$overrightarrow MI $, đpcm.Nhận xét quan trọng:1. Trường hợp α = β = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB
.2. Việc trên được mở rộng tự nhiên và thoải mái cho tía điểm A, B, C với bộ ba số thực α, β, γ cho trước hài lòng α + β + γ ≠ 0, tức là:
a. Tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn: α$overrightarrow IA $ + β$overrightarrow IB $ + γ$overrightarrow IC $ = $vec 0$.​
b. Từ kia suy ra với điểm ngẫu nhiên M, ta luôn luôn có α$overrightarrow MA $ + β$overrightarrow MB $ + γ$overrightarrow IC $ = (α + β + γ)$overrightarrow MI $.​
3. Việc không ngừng mở rộng cho n điểm
A$_i$, i = $overline 1,n $ và bộ n số thực αi, i = $overline 1,n $ chấp nhận $sumlimits_i = 1^n alpha _i $≠ 0, xin dành cho mình đọc.4. Công dụng trên được sử dụng để giải bài bác toán:“ cho n điểm A$_i$, i = $overline 1,n $ và bộ n số thực αi, $overline 1,n $ bằng lòng $sumlimits_i = 1^n alpha _i $≠ 0. Search số thực k với điểm cố định I làm sao để cho đẳng thức vectơ $sumlimits_i = 1^n alpha _ioverrightarrow MA_i $ = k$overrightarrow MI $, (1)thoả mãn với tất cả điểm M. ”Phương pháp giảiVì (1) thoả mãn với tất cả điểm M, cho nên đúng với M ≡ I, khi đó:$sumlimits_i = 1^n alpha _ioverrightarrow IA_i $ = k$overrightarrow II $ = $vec 0$. (2)Xác định lấy điểm I từ (2).Từ (2), suy ra: $sumlimits_i = 1^n alpha _ioverrightarrow MA_i $ = $sumlimits_i = 1^n alpha _i $$overrightarrow MI $. (3)Từ (1) với (3), suy ra: $sumlimits_i = 1^n alpha _i $$overrightarrow MI $ = k$overrightarrow MI $ ⇔ k = $sumlimits_i = 1^n alpha _i $.Thí dụ 6: cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý. Trong những trường hòa hợp hãy kiếm tìm số k cùng điểm cố định và thắt chặt I, J, K làm sao để cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với tất cả điểm M.a. 2$overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ = k$overrightarrow MI $.b. $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + 2$overrightarrow MC $ = k$overrightarrow MJ $.c. $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + $overrightarrow MC $ + 3$overrightarrow MD $ = k$overrightarrow MK $.

Xem thêm: Cây Nha Đam Trị Bệnh Gì ? 15 Công Dụng Của Cây Nha Đam Với Sức Khỏe Và Làm Đẹp


a. Vì (1) thoả mãn với đa số điểm M, do đó đúng với M ≡ I, lúc đó:2$overrightarrow IA $ + $overrightarrow IB $ = k$overrightarrow II $ = $vec 0$. (1.1)Từ (1.1), ta được: 2$overrightarrow IA $ + ($overrightarrow IA $ + $overrightarrow AB $) = $vec 0$ ⇔ $overrightarrow IA $ = -$frac13$$overrightarrow AB $ ⇒ khẳng định được điểm I.Từ (1.1), ta được: 2$overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ = (2 + 1)$overrightarrow MI $ = 3$overrightarrow MI $. (1.2)Từ (1) và (1.2), suy ra: 3$overrightarrow MI $ = k$overrightarrow MI $ ⇔ k = 3.b. Vày (2) thoả mãn với đa số điểm M, cho nên vì thế đúng với M ≡ J, khi đó:$overrightarrow JA $ + $overrightarrow JB $ + 2$overrightarrow JC $ = k$overrightarrow JJ $ = $vec 0$. (2.1)Gọi E là trung điểm AB, từ bỏ (2.1), ta được: 2$overrightarrow JE $ + 2$overrightarrow JC $ = $vec 0$ ⇔ J là trung điểm của CE.Từ (2.1), ta được: $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + 2$overrightarrow MC $ = (1 + 1 + 2)$overrightarrow MJ $ = 4$overrightarrow MJ $ (2.2)Từ (2) và (2.2), suy ra: 4$overrightarrow MJ $ = k$overrightarrow MJ $ ⇔ k = 4.c. Vì chưng (3) thoả mãn với tất cả điểm M, vì thế đúng với M ≡ K, khi đó: $overrightarrow KA $ + $overrightarrow KB $ + $overrightarrow KC $ + 3$overrightarrow KD $ = k$overrightarrow KK $ = $vec 0$. (3.1) hotline G là trung tâm ΔABC, từ bỏ (3.1), ta được: 3$overrightarrow KG $ + 3$overrightarrow KD $ = $vec 0$ ⇔ K là trung điểm của GD.Từ (3.1), ta được: $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ + $overrightarrow MC $ + 3$overrightarrow MD $ = 6$overrightarrow MK $. (3.2)Từ (3) cùng (3.2), suy ra: 6$overrightarrow MK $ = k$overrightarrow MK $ ⇔ k = 6.Chú ý:
vấn đề tìm điểm rất có thể được mở rộng thành việc tìm tập hợp điểm (quĩ tích). Với các bài toán quĩ tích ta phải nhớ rằng:1. Trường hợp |$overrightarrow MA $| = |$overrightarrow MB $|, cùng với A, B mang đến trước thì M thuộc mặt đường trung trực của đoạn AB.2. |$overrightarrow MC $| = k|$overrightarrow AB $|, với A, B, C cho trước thì M thuộc mặt đường tròn vai trung phong C, bán kính bằng k.AB.3. Nếu $overrightarrow MA $ = k$overrightarrow BC $, cùng với A, B, C mang lại trước thìa. Với k ∈ (mathbbR) điểm M thuộc con đường thẳng qua A tuy nhiên song với BC.b. Cùng với k ∈ (mathbbR)+ điểm M ở trong nửa con đường thẳng qua A tuy nhiên song với BC theo hướng $overrightarrow BC $.c. Với k ∈ (mathbbR)- điểm M nằm trong nửa đường thẳng qua A tuy vậy song với BC ngược phía $overrightarrow BC $. tỉ dụ 7: Cho ΔABC, tìm tập hợp số đông điểm M thoả mãn:a. $overrightarrow MA $ + k$overrightarrow MB $ - k$overrightarrow MC $ = $overrightarrow 0 $. (1)b. (1 - k)$overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ - k$overrightarrow MC $ = $overrightarrow 0 $. (2)
a. Ta đổi khác (1) về dạng: $overrightarrow MA $ = k($overrightarrow MC $ - $overrightarrow MB $) ⇔ $overrightarrow MA $ = k$overrightarrow BC $⇔ M thuộc đường thẳng qua A song song cùng với BC.b. Ta biến đổi (2) về dạng: $overrightarrow MA $ + $overrightarrow MB $ - k($overrightarrow MA $ + $overrightarrow MC $) = $overrightarrow 0 $. (3)Gọi E, F theo sản phẩm công nghệ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:(3) ⇔ 2$overrightarrow ME $ - 2k$overrightarrow MF $ = $overrightarrow 0 $ ⇔ $overrightarrow ME $ = k$overrightarrow MF $⇔ M thuộc con đường trung bình EF của ΔABC.